Full text of "Grundlagen der geometrie"

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BERKEI

LIBR A

UNJVERSITY OF
\CAUFORNJA

MATH.-
ST AT.

GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE

VON

Dr. DAVID HILBERT,

O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT GÖTTINGEN.

ZWEITE, DURCH ZUSÄTZE VERMEHRTE UND MIT FÜNF ANHÄNGEN
VERSEHENE AUFLAGE.

MIT ZAHLREICHEN IN DEN TEXT GEDRUCKTEN FIGUREN.

LEIPZIG,
DRUCK UND VERLAG VON B. ö. TEUBNER.

1903.

MATH-STAT.

ALLE EECHTE, EINSCHLIESZLICH DBS ÜBEESETZUNGSEECHTS, VOBBEHALTEN.

TU,.

.T.
L132ARY

Inhalt.

Grundlagen der Geometrie.

Aus der Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauß -Weber - Denkmals in Göttingen, Leipzig 1899.

Seite

Einleitung 1

Kapitel I. Die fünf Axiomgruppen.

§ 1. Die Elemente der Geometrie und die fünf Axiomgruppen 2

§ 2. Die Axiomgruppe I: Axiome der Verknüpfung 2

§ 3. Die Axiomgruppe II: Axiome der Anordnung 4

§ 4. Folgerungen aus den Axiomen der Verknüpfung und der Anordnung . . 5

§ 5. Die Axiompruppe III: Axiome der Kongruenz 7

§ 6. Folgerungen aus den Axiomen der Kongruenz 10

§ 7. Die Axiomgruppe IV: Axiom der Parallelen (Euklidisches Axiom) ... 15

§ 8. Die Axiomgruppe V: Axiome der Stetigkeit 16

Kapitel IL Die Widerspruchslosigkeit und gegenseitige Unabhängigkeit

der Axiome.

§ 9. Die Widerspruchslosigkeit der Axiome 18

§ 10. Die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms (Nicht-Euklidische Geometrie) . 20

§ 11. Die Unabhängigkeit der Kongruenzaxiome 20

§ 12. Die Unabhängigkeit der Stetigkeitsaxiome V (Nicht - Archimedische

Geometrie) 22

Kapitel III. Die Lehre von den Proportionen.

§ 13. Komplexe Zahlensysteme 24

§ 14. Beweis des Pascalschen Satzes 26

§ 15. Die Streckenrechnung auf Grund des Pascalschen Satzes 31

§ 16. Die Proportionen und die Ähnlichkeitssätze 35

§ 17. Die Gleichungen der Geraden und Ebenen 36

Kapitel IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene.

§ 18. Die Zerlegungsgleichheit und Inhaltsgleichheit von Polygonen 39

§ 19. Parallelogramme und Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe .... 41

§ 20. Das Inhaltsmaß von Dreiecken und Polygonen 42

§ 21. Die Inhaltsgleichheit und das Inhaltsmaß 45

Kapitel V. Der Desarguessche Satz.
§ 22. Der Desarguessche Satz und der Beweis desselben in der Ebene mit Hilfe

der Kongruenzaxiome 47

§ 23. Die Nichtbeweisbarkeit des Desarguesschen Satzes in der Ebene ohne

Hilfe der Kongruenzaxiome 49

M775838

IV Inhalt.

Seite

§ 24. Einführung einer Streckenrechnung ohne Hilfe der Kongruenzaxiome auf

Grund des Desarguesschen Satzes 53

§ 25. Das kommutative und assoziative Gesetz der Addition in der neuen

Streckenrechnung 55

§ 26. Das assoziative Gesetz der Multiplikation und die beiden distributiven

Gesetze in der neuen Streckenrechnung 56

§ 27. Die Gleichung der Geraden auf Grund der neuen Streckenrechnung ... 60
§ 28. Der Inbegriff der Strecken aufgefaßt als komplexes Zahlensystem .... 63
§ 29. Aufbau einer räumlichen Geometrie mit Hilfe eines Desarguesschen

Zahlensystems 64

§ 30. Die Bedeutung des Desarguesschen Satzes 66

Kapitel VI. Der Pascalsche Satz.

§ 31. Zwei Sätze über die Beweisbarkeit des Pascalschen Satzes 67

§ 32. Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Archimedischen Zahlen-
system 68

§ 33. Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Nicht -Archimedischen

Zahlensystem 69

§ 34. Beweis der beiden Sätze über den Pascalschen Satz (Nicht -Pascalsche

Geometrie) 71

§ 35. Beweis eines beliebigen Schnittpunktsatzes mittels des Desarguesschen

und des Pascalschen Satzes 72

Kapitel VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I— IV.
§ 36. Die geometrischen Konstruktionen mittels Lineals und Eichmaßes .... 73
§ 37. Analytische Darstellung der Koordinaten konstruierbarer Punkte .... 76
§ 38. Die Darstellung algebraischer Zahlen und ganzer rationaler Funktionen

als Summe von Quadraten 78

§ 39. Kriterium für die Ausführbarkeit geometrischer Konstruktionen mittels

Lineals und Eichmaßes 79

Schlußwort 82

Anhang I.

Über die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte, aus Math.

Ann. Bd. 46 83

Anhang II.
Über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck,

aus den Proceedings of the London Math. Society Vol. 35 88

Anhang III.
Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefsky sehen Geometrie, aus Math. Ann.

Bd. 57 1903 107

Anhang IV.
Über die Grundlagen der Geometrie, aus Math. Ann. Bd. 56 1902 121

Anhang V.
Über Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung, aus den Transactions of the

Americain Math. Society Vol. 2 1901 162

Verzeichnis der Begriffsnamen.

Die den Begriffsnamen beigefügten Zahlen bezeichnen diejenigen Seiten des Buches, auf denen der

Begriff erklärt ist.

Axiom der Abgeschlossenheit des Systems
der Bewegungen 125.

— Archimedisches 16, 92.

— der Gruppeneigenschaft des Systems
der Bewegungen 124.

— der Dreiv ikskongruenz 9.

— der Dreieckskongruenz in engerer Fas-
sung 91.

— der Nachbarschaft 92.

— Parallelen- 15, 92.

— sich schneidender und nicht schnei-
dender Geraden 109.

— der unendlichen Anzahl der Drehungen
124.

— Vollständigkeits- 16.

Axiome der Anordnung 4, 83, 89, 108.

— der Kongruenz 7, 90, 108.

— der Stetigkeit 16, 84, 92.

— der Verknüpfung 2, 83, 89, 107.

Bewegung 124.

Desarguesscher Satz (Satz 33) 48.
Drehung 124.

Ebene 2, 122, 123.

— Zahlen- 122.
Eichmaß 74.

Elemente der linearen Geometrie 2.

— — ebenen Geometrie 2.

räumlichen Geometrie 2.

Ende einer Halbgeraden 110.

Figur 14.

Geometrie, Nicht-Archimedische 22.

— Nicht-Desarguessche 49.

— Nicht-Euklidische 20.

— Nicht-Pascalsche 71.

— Nicht-Pythagoräische 102*
Gerade 2.

— wahre 158.

Halbdrehung 150.

Inhaltsgleichheit 39, 101.
Inhaltsmaß des Dreiecks 43.
Polygons 44.

Jordansche Kurve 122.
Jordansches Gebiet 122.

Kongruenz von Strecken 7.

Winkeln 8.

■*- — Dreiecken 10.

Figuren 14.

Kreis 16.

— wahrer 124.

— Zahlen- 128.

Nebenwinkel 10.

Parallelenaxiom 15, 92.
Pascalscher Satz (Satz 21) 27.
Polygon 6.

— Zerfallen und Zusammensetzen 39.
Punkt 2, 123.

Rechter Winkel 10.

Scheitelwinkel 10.

Seite eines Punktes auf einer Geraden 6.

— einer Geraden in einer Ebene 6.

— einer Ebene 7.
Spiegelbild 110.
Strecke 4.

Streckenprodukt 32.
Streckenzug 6.

Winkel 8.

Zahlenebene 122.
Zahlenkreis 128.
Zahlensystem, komplexes 26.

— Archimedisches 26.

— Nicht-Archimedisches 26.

— Desarguessches 64.
Zerlegungsgleichheit 39, 101.
Zwischen 4.

So fängt denn alle menschliche Erkenntnis
mit Anschauungen an, geht von da zu Begriffen
und endigt mit Ideen.

Kant, Kritik der reinen Vernunft,
Elementarlehre 2. T. 2. Abt.

Einleitung.

Die Geometrie bedarf — ebenso wie die Arithmetik — zu ihrem
folgerichtigen Aufbau nur weniger und einfacher Grundsätze. Diese Grund-
sätze heißen Axiome der Geometrie. Die Aufstellung der Axiome der
Geometrie und die Erforschung ihres Zusammenhanges ist eine Aufgabe,
die seit Euklid in zahlreichen vortrefflichen Abhandlungen der mathe-
matischen Literatur1) sich erörtert findet. Die bezeichnete Aufgabe läuft
auf die logische Analyse unserer räumlichen Anschauung hinaus.

Die vorliegende Untersuchung ist ein neuer Versuch, für die Geometrie
ein vollständiges und möglichst einfaches System von Axiomen auf-
zustellen und aus denselben die wichtigsten geometrischen Sätze in der
Weise abzuleiten, daß dabei die Bedeutung der verschiedenen Axiom-
gruppen und die Tragweite der aus den einzelnen Axiomen zu ziehenden
Folgerungen möglichst klar zu Tage tritt.

1) Man vergleiche die zusammenfassenden und erläuternden Berichte von
G. Veronese, „Grundzüge der Geometrie", deutsch von A. Schepp, Leipzig 1894 (An-
hang), und F. Klein, „Zur ersten Verteilung des Lobatschefsky-Vreisea", Math. Ann.
Bd. 50.

Hilbert, Grundlagen der Geometrie.

Kapitel I.
Die fünf Axiomgruppen.

§ 1.

Die Elemente der Geometrie und die fünf Axiomgruppen.

Erklärung. Wir denken drei verschiedene Systeme von Dingen:
die Dinge des ersten Systems nennen wir Punkte und bezeichnen sie mit
A, B, Ct ...; die Dinge des zweiten Systems nennen wir Gerade und
bezeichnen sie mit a,b,c,...; die Dinge des dritten Systems nennen
wir Ebenen und bezeichnen sie mit a, ß, f, . . ; ; die Punkte heißen auch
die Elemente der linearen Geometrie, die Punkte und Geraden heißen die
Elemente der ebenen Geometrie und die Punkte, Geraden und Ebenen heißen
die Elemente der räumlichen Geometrie oder des Raumes.

Wir denken die Punkte, Geraden, Ebenen in gewissen gegenseitigen
Beziehungen und bezeichnen diese Beziehungen durch Worte wie „liegen",
„zwischen", „parallel", „kongruent", „stetig"; die genaue und voll-
ständige Beschreibung dieser Beziehungen erfolgt durch die Axiome der
Geometrie.

Die Axiome der Geometrie gliedern sich in fünf Gruppen; jede ein-
zelne dieser Gruppen drückt gewisse zusammengehörige Grundtatsachen
unserer Anschauung aus. Wir benennen diese Gruppen von Axiomen in
folgender Weise:

I 1 — 8. Axiome der Verknüpfung,
II 1 — 4. Axiome der Anordnung,

EU 1 — 6. Axiome der Kongruenz,

IV. Axiom der Parallelen,

V 1 — 2. Axiome der Stetigheit.

§ 2.
Die Axiomgruppe I: Axiome der Verknüpfung.

Die Axiome dieser Gruppe stellen zwischen den oben erklärten Be-
griffen Punkte, Geraden und Ebenen eine Verknüpfung her und lauten
wie folgt:

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 2. 3

I 1. Zwei von einander verschiedene Punkte A, B bestimmen stets eine
Gerade a.

Statt „bestimmen" werden wir auch andere Wendungen gebrauchen,
z. B. a „geht durch" A „und durch" B, a „verbindet" A „und"
oder „mit" B. Wenn A ein Punkt ist, der mit einem anderen Punkte
zusammen die Gerade a bestimmt, so gebrauchen wir auch die Wen-
dungen: A „liegt auf" a, A „ist ein Punkt von" a, „es gibt den
Punkt" A „auf" a u. s. w. Wenn A auf der Geraden a und außerdem
auf einer anderen Geraden b liegt, so gebrauchen wir auch die Wendung:
„die Geraden" a „und" b „haben den Punkt A gemein" u. s. w.

I 2. Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden be-
stimmen diese Gerade.

I 3. Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte, in einer
Ebene gibt es stets wenigstens drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte.

I 4. Drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkte A, B, C
bestimmen stets eine Ebene cc.

Wir gebrauchen auch die Wendungen: A, B, C „liegen in" cc;
A, B, C „sind Punkte von" cc u. s. w.

I 5. Irgend drei Punkte einer Ebene, die nicht auf ein und derselben
Geraden liegen, bestimmen die Ebene cc.

I 6. Wenn zwei Punkte A, B einer Geraden a in einer Ebene cc
liegen, so liegt jeder Punkt von a in der Ebene cc.

In diesem Falle sagen wir: die Gerade a liegt in der Ebene cc
u. s. w.

I 7. Wenn zwei Ebenen cc, ß einen Punkt A gemein haben, so haben
sie wenigstens noch einen weiteren Punkt B gemein.

18. Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte.

Die Axiome I 1 — 3 mögen die ebenen Axiome der Gruppe I heißen
zum Unterschied von den Axiomen I 4 — 8, die ich als die räumlichen
Axiome der Gruppe I bezeichne.

Von den Sätzen, die aus den Axiomen I 1 — 8 folgen, erwähne ich
nur diese beiden:

Satz 1. Zwei Geraden einer Ebene haben einen oder keinen Punkt
gemein; zwei Ebenen haben keinen Punkt oder eine Gerade gemein; eine
Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben keinen oder einen
Punkt gemein.

Satz 2. Durch eine Gerade und einen nicht auf ihr liegenden Punkt,
sowie auch durch zwei verschiedene Geraden mit einem gemeinsamen
Punkt gibt es stets eine und nur eine Ebene.

4 Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 3.

§ 3.
Die Axiomgruppe II: Axiome der Anordnung1).

Die Axiome dieser Gruppe definieren den Begriff „zwischen" und er-
möglichen auf Grund dieses Begriffes die Anordnung der Punkte auf einer
Geraden, in einer Ebene und im Räume.

Erklärung. Die Punkte einer Geraden stehen in gewissen Be-
ziehungen zueinander, zu deren Beschreibung uns insbesondere das Wort
^wischen" dient.

II 1. Wenn A, B, C Funkte

A 7? C

-f: ~ einer Geraden sind, und B zwi-

schen A und C liegt, so liegt B

auch zwischen C und A.

II 2. Wenn A und C zwei Punkte einer Geraden sind, so gibt es

stets wenigstens einen Punkt

■A JB C D B, der zwischen A und C
1 i 1 1

liegt, und ivenigstens einen
Punkt D, so daß C zwischen A und T> liegt.

II 3. Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets einen und
nur einen, der zwischen den beiden andern liegt.

Erklärung. Wir betrachten auf einer Geraden a zwei Punkte A
und 2?; wir nennen das System der beiden Punkte A und B eine Strecke
und bezeichnen dieselbe mit AB oder mit BA. Die Punkte zwischen A
und B heißen Punkte der Strecke AB oder auch innerhalb der Strecke
AB gelegen; die Punkte A, B heißen Endpunkte der Strecke AB. Alle
übrigen Punkte der Geraden a heißen außerhalb der Strecke AB gelegen.
II 4. Es seien A, B, C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte

und a eine Gerade in der Ebene ABC, die
keinen der Punkte A, B, C trifft: wenn dann
die Gerade a durch einen Punkt der Strecke
AB geht, so geht sie gewiß auch entweder
durch einen Punkt der Strecke BC oder
durch einen Punkt der Strecke AC.

Die Axiome II 1 — 3 enthalten nur Aus-
sagen über die Punkte auf einer Geraden
und mögen daher die linearen Axiome der

1) Diese Axiome hat zuerst M. Pasch in seinen Vorlesungen über neuere Geo-
metrie, Leipzig 1882, ausführlich untersucht. Insbesondere rührt das Axiom II 4 in-
haltlich von M. Pasch her.

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 3, 4. 5

Gruppe II heißen; das Axiom II 4 enthält eine Aussage über die Elemente
der ebenen Geometrie und heiße daher das ebene Axiom der Gruppe II.

§4.
Folgerungen ans den Axiomen der Verknüpfung und der Anordnung.

Aus den Axiomen I und II folgen die nachstehenden Sätze:

Satz 3. Zwischen irgend zwei Punkten einer Geraden gibt es stets
unbegrenzt viele Punkte.

Satz 4. Sind irgend vier Punkte einer Geraden gegeben, so lassen
sich dieselben stets in der Weise mit A, B, C, D bezeichnen, daß der mit
B bezeichnete Punkt zwischen A und C und auch zwischen A und D
und ferner der mit C bezeichnete Punkt zwischen A und _D und auch
zwischen B und D liegt1).

Satz 5 (Verallgemeinerung von Satz 4). Sind irgend eine endliche
Anzahl von Punkten einer Geraden gegeben, so lassen sich dieselben stets
in der Weise mit A, B, C, B, E, . . . , K bezeichnen, daß der mit B be-
zeichnete Punkt zwischen A einerseits und C, B, E, . . . , K andererseits,

A B C D E K

*■ »- — . — h — i 1 1 > —

ferner C zwischen A, B einerseits und D, E, . . . , K andererseits, sodann
B zwischen A, B, C einerseits und E, . . . , K andererseits u. s. w. liegt.
Außer dieser Bezeichnungsweise gibt es nur noch die umgekehrte Be-
zeichnungsweise K, . . . , E, B, C, B, A, die von der nämlichen Beschaffen-
heit ist.

Satz 6. Jede Gerade a, welche in einer Ebene a liegt, trennt die nicht
auf ihr liegenden Punkte dieser Ebene a in zwei Gebiete, von folgender Be-
schaffenheit: ein jeder Punkt A
des einen Gebietes bestimmt
mit jedem Punkt B des an-
deren Gebietes eine Strecke

AB, innerhalb derer ein „^ **L

Punkt der Geraden a liegt;
dagegen bestimmen irgend
zwei Punkte A und A' ein
und desselben Gebietes eine
Strecke AA', welche keinen Punkt von a enthält2).

1) Dieser in der ersten Auflage als Axiom bezeichnete Satz ist von E. H. Moore,
Transactions of the American Mathematical Society 1902, als eine Folge der auf-
gestellten ebenen Axiome der Verknüpfung und der Anordnung erkannt worden.

2) Vgl. den Beweis bei M. Pasch 1. c. S. 25.

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 4.

Erklärung. Es seien A, A', 0, B vier Punkte einer Geraden a, so
daß 0 zwischen A und B, aber nicht zwischen A und A' liegt; dann
sagen wir: die Punkte A, A' liegen in der Geraden a auf ein und der-
selben Seite vom Punkte 0>

-4 A O Jß und die Punkte A, B liegen

4 1 — , 1 &

in der Geraden a auf ver-
schiedenen Seiten vom Punkte 0. Die sämtlichen auf ein und derselben
Seite von 0 gelegenen Punkte der Geraden a heißen auch ein von 0
ausgehender HaTbstrahl; somit teilt jeder Punkt einer Geraden diese in
zwei Halbstrahlen.

Erklärung. Indem wir die Bezeichnungen des Satzes 6 benutzen,
sagen wir: die Punkte A, A' liegen in der Ebene a auf ein und derselben
Seite von der Geraden a und die Punkte A, B liegen in der Ebene a auf
verschiedenen Seiten von der Geraden a.

Erklärung. Ein System von Strecken AB, BC, CD, . .., KL heißt
ein Streckenzug, der die Punkte A und L miteinander verbindet; dieser
Streckenzug wird auch kurz mit AB CD . . . KL bezeichnet. Die Punkte
innerhalb der Strecken AB,BC,CD,. . ,KL, sowie die Punkte A,B,C,D,
. . ., K, L heißen insgesamt die Punkte des Streckenzuges. Fällt insbeson-
dere der Punkt L mit dem Punkt A zusammen, so wird der Streckenzug
ein Polygon genannt und als Polygon ABCD . . . K bezeichnet. Die
Strecken AB, BC, CD, . . . , KA heißen auch die Seiten des Polygons.
Die Punkte A, B, C, D, . . . , K heißen die Ecken des Polygons. Polygone
mit 3, 4, . . . , n Ecken heißen bez. Dreiecke, Vierecke, . . ., n-Ecke.

Erklärung. Wenn die Ecken eines Polygons sämtlich voneinander
verschieden sind und keine Ecke des Polygons in eine Seite fällt und
endlich irgend zwei Seiten eines Polygons keinen Punkt miteinander
gemein haben, so heißt das Polygon einfach.

Mit Zuhilfenahme des Satzes 6 gelangen wir jetzt ohne erhebliche
Schwierigkeit zu folgenden Sätzen:

Satz 7. Ein jedes einfache Po-
lygon, dessen Ecken sämtlich in einer
Ebene a liegen, trennt die Punkte
dieser Ebene a, die nicht dem Strecken-
zuge des Polygons angehören, in zwei
Gebiete, ein Inneres und ein Äußeres,
von folgender Beschaffenheit: ist A
ein Punkt des Inneren (innerer
Punkt) und B ein Punkt des Äuße-
ren (äußerer Punkt), so hat jeder
Streckenzug, der A mit B verbindet,

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 4, 5. 7

mindestens einen Punkt mit dem Polygon gemein; sind dagegen A, A'
zwei Punkte des Inneren und B, B' zwei Punkte des Äußeren, so gibt
es stets Streckenzüge, die A mit Ä und B mit B' verbinden und keinen
Punkt mit dem Polygon gemein haben. Es gibt Gerade in cc, die ganz
im Äußeren des Polygons verlaufen, dagegen keine solche Gerade, die
ganz im Inneren des Polygons verläuft.

Satz 8. Jede Ebene a trennt die übrigen Punkte des Raumes in
zwei Gebiete von folgender Beschaffenheit: jeder Punkt A des einen Ge-
bietes bestimmt mit jedem Punkt B des andern Gebietes eine Strecke AB,
innerhalb derer ein Punkt von a liegt; dagegen bestimmen irgend zwei
Punkte von A und A eines und desselben Gebietes stets eine Strecke A Ä,
die keinen Punkt von a enthält.

Erklärung, Indem wir die Bezeichnungen dieses Satzes 8 benutzen,
sagen wir: die Punkte A, Ä liegen im Räume auf ein und derselben Seite
von der Ebene a und die Punkte A, B liegen im Räume auf verschiedenen
Seiten von der Ebene a.

Der Satz 8 bringt die wichtigsten Tatsachen betreffs der Anordnung
der Elemente im Räume zum Ausdruck; diese Tatsachen sind daher
lediglich Folgerungen aus den bisher behandelten Axiomen und es be-
durfte in der Gruppe II keines neuen räumlichen Axioms.

§ 5-
Die Axiomgruppe III: Axiome der Kongruenz.

Die Axiome dieser Gruppe definieren den Begriff der Kongruenz
und damit auch den der Bewegung.

Erklärung. Die Strecken stehen in gewissen Beziehungen zu-
einander, zu deren Beschreibung uns die Worte „kongruent" oder „gleich"
dienen.

III. 1. Wenn A, B zwei Tunkte auf einer Geraden a und ferner Ä
ein Punkt auf derselben oder einer anderen Geraden a ist, so kann man
auf einer gegebenen Seite der Geraden a von Ä stets einen und nur
eitlen Punkt B' finden, so daß die Strecke AB der Strecke AB' kongruent
oder gleich ist, in Zeichen:

AB = ÄB.

Jede Strecke ist sich selbst kongruent, d. h. es ist stets:

AB = AB und AB = BA.

Wir sagen auch kürzer: eine jede Strecke kann auf einer gegebenen
Seite einer gegebenen Geraden von einem gegebenen Punkte in eindeutig
bestimmter Weise abgetragen werden.

8 Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 6.

III. 2. Wenn eine Strecke AB soivohl der Strecke A'B' als auch
der Strecke A"B" kongruent ist, so ist auch A'B' der Strecke A"B" kon-
gruent, d. h. wenn

AB = A'B und AB = A"B",
so ist auch

A'B' = A"B".

III. 3. Es seien AB und BC zwei Strecken ohne gemeinsame Punkte
auf der Geraden a und ferner A'B' und B'C zwei Strecken auf der-

A. B C cu

— . — f — i ■ » —

A' B' C a'

1 1 1 1

selben oder einer anderen Geraden a ebenfalls ohne gemeinsame Punkte;
wenn dann ,

AB = A'B und BC=B'C
ist, so ist auch stets

AC=A'C.

Erklärung. Es sei cc eine beliebige Ebene und h, k seien irgend
zwei verschiedene von einem Punkte 0 ausgehende Halbstrahlen in a, die
verschiedenen Geraden angehören. Das System dieser beiden Halb-
strahlen h, k nennen wir einen Winkel und bezeichnen denselben mit
<^ (]i, k) oder mit <^ (k, h). Aus den Axiomen II 1 — 4 kann leicht ge-
schlossen werden, daß die Halbstrahlen h und k, zusammengenommen
mit dem Punkte 0 die übrigen Punkte der Ebene a in zwei Gebiete
von folgender Beschaffenheit teilen: Ist A ein Punkt des einen und B
ein Punkt des anderen Gebietes, so geht jeder Streckenzug, der A mit B
verbindet, entweder durch 0 oder hat mit h oder k wenigstens einen
Punkt gemein; sind dagegen A, AI Punkte desselben Gebietes, so gibt
es stets einen Streckenzug, der A mit Ä verbindet und weder durch 0,
noch durch einen Punkt der Halbstrahlen h, k hindurchläuft. Eines
dieser beiden Gebiete ist vor dem anderen ausgezeichnet, indem jede
Strecke, die irgend zwei Punkte dieses ausgezeichneten Gebietes ver-
bindet, stets ganz in demselben liegt; dieses ausgezeichnete Gebiet heiße
das Innere des Winkels (h, k) zum Unterschiede von dem anderen Ge-
biete, welches das Äußere des Winkels (h, k) genannt werden möge.
Die Halbstrahlen h, k heißen Schenkel des Winkels und der Punkt 0
heißt der Scheitel des Winkels.

Erklärung. Die Winkel stehen in gewissen Beziehungen zueinander,
zu deren Bezeichnung uns ebenfalls die Worte „kongruentf1 oder „gleich11
dienen.

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 5. 9

III. 4. Es sei ein Winkel «$C (h, &) w* ***«" -E&ewß « und eine
Gerade a in einer Ebene a, sowie eine bestimmte Seite von a auf a ge-
geben. Es bedeute h' einen Halbstrahl der Geraden a, der vom Punkte 0'
ausgeht: dann gibt es in der Ebene a einen und nur einen Halb-
strahl k', so daß der Winkel (h, k) kongruent oder gleich dem Winkel (Ji, kf)
ist und zugleich alle inneren Punkte des Winkels (Ji, k') auf der gegebenen
Seite von a liegen, in Zeichen:

^{h}k)^^{h',kr).

Jeder Winkel ist sich selbst kongruent, d. h. es ist stets

-£(Ä, *)==«£(*,*) und ^(h,k) = ^C(k,h).

Wir sagen auch kurz: ein jeder Winkel kann in einer gegebenen
Ebene nach einer gegebenen Seite an einen gegebenen Halbstrahl auf
eine eindeutig bestimmte Weise abgetragen werden.

III. 5. Wenn ein Winkel (h, k) sowohl dem Winkel (Ji, V) als auch
dem Winkel (h", k") kongruent ist, so ist auch der Winkel (Ji, k') dem
Winkel (h", k") kongruent, d. h. wenn

^(h,k) = ^(h',k') und ^Qi,k) = ^(h",k")

ist, so ist auch stets

^:{hf,k')^^{h",k").

Erklärung. Es sei ein Dreieck ABC vorgelegt; wir bezeichnen
die beiden von A ausgehenden durch B und C laufenden Halbstrahlen
mit h und k. Der Winkel (h, k) heißt dann der von den Seiten AB
und AC eingeschlossene oder der der Seite BC gegenüberliegende Winkel
des Dreieckes ABC] er enthält in seinem Inneren sämtliche innere Punkte
des Dreieckes ABC und wird mit ^BAC oder <£ A bezeichnet.

III. 6. Wenn für zwei Breiecke ABC und ÄHC die Kongruenzen
AB = ÄB, AC = A'C, ^BAC = ^B'A'C
gelten, so sind auch stets die Kongruenzen

^ABC = ^A'BC und ^ACB = ^ÄC'B'

erfüllt.

Die Axiome III 1 — 3 enthalten nur Aussagen über die Kongruenz
von Strecken; sie mögen daher die linearen Axiome der Gruppe III heißen.
Die Axiome III 4, 5 enthalten Aussagen über die Kongruenz von Winkeln.
Das Axiom III 6 knüpft das Band zwischen den Begriffen der Kongruenz
von Strecken und von Winkeln. Die Axiome III 4—6 enthalten Aus-
sagen über die Elemente der ebenen Geometrie und mögen daher die
ebenen Axiome der Gruppe HI heißen.

10 Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 6.

§ 6.
Folgerungen aus den Axiomen der Kongruenz.

Erklärung. Es sei die Strecke AB kongruent der Strecke A'B '.
Da nach Axiom III 1 auch die Strecke AB kongruent AB ist, so ist
nach Axiom III 2 auch AB' kongruent AB; wir sagen: die beiden
Strecken AB und A'B sind untereinander kongruent.

Erklärung. Sind A, B, C, D} . . . , K, L auf a und Ä, B',
G, D', . . . , IC, L' auf a zwei Reihen von Punkten, so daß die sämtlichen
entsprechenden Strecken AB und AB', AG und A'C, BC und B'C',...,
KL und K' L' bez. einander kongruent sind, so heißen die beiden Reihen
von Punkten untereinander kongruent; A und Ä, B und B, . . . , L und L'
heißen die entsprechenden Punkte der kongruenten Punktreihen.

Aus den linearen Axiomen III 1 — 3 schließen wir leicht fol-
gende Sätze:

Satz 9. Ist von zwei kongruenten Punktreihen A, B, . . . , K, L und
Af, B, . . . , K', L' die erste so geordnet, daß B zwischen A einerseits und
C, D, . . . , K, L andererseits, C zwischen A, B einerseits und I), . . . , K, L
andererseits, u. s. w. liegt, so sind die Punkte A', B , . . . . , K', L' auf die
gleiche Weise geordnet, d. h. B' liegt zwischen A' einerseits und C,
D'} . . . , K', L' andererseits, G zwischen A , B' einerseits und U, . . . ,
IT, 1! andererseits u. s. w.

Erklärung. Es sei Winkel Qi, k) kongruent dem Winkel (Ji, k').
Da nach Axiom III 4 der Winkel Qi, k) kongruent ^£i(h,k) ist, so folgt
aus Axiom III 5, daß -^ (Ji, k') kongruent <£ (h, k) ist; wir sagen: die
beiden Winkel (h, k) und (Ji, 1c) sind untereinander kongruent.

Erklärung. Zwei Winkel, die den Scheitel und einen Schenkel
gemein haben und deren nicht gemeinsame Schenkel eine gerade Linie
bilden, heißen Nebenwinkel. Zwei Winkel mit gemeinsamem Scheitel,
deren Schenkel je eine Gerade bilden, heißen Scheitelwinkel. Ein Winkel,
welcher einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, heißt ein rechter Winkel.

Zwei Dreiecke ABC und A'B'G heißen einander kongruent, wenn
sämtliche Kongruenzen

AB = ÄB, ac-äg, bc=bc,
^:a = ^:ä, <£# = <£#, «£c = ^c

erfüllt sind.

Satz 10 (Erster Kongruenzsatz für Dreiecke). Wenn für
zwei Dreiecke ABC und A'B G die Kongruenzen

AB=AB, AC~A'G, <£A = <$:A'
gelten, so sind die beiden Dreiecke einander kongruent.

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 6. 11

Beweis. Nach Axiom III 6 sind die Kongruenzen

$:B = $:B' und ^c = ^.c

erfüllt und es bedarf somit nur des Nachweises , daß die Seiten BC und
B'C einander kongruent sind. Nehmen wir nun im Gegenteil an, es
wäre etwa BC nicht kongruent B'C, und bestimmen auf B'C den

c c

Punkt IX, so daß BC = B'D' wird, so stimmen die beiden Dreiecke ABC
und A'B'D' in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel
überein; nach Axiom III 6 sind mithin insbesondere die beiden Winkel
^BAC und <£ B'A'D' einander kongruent. Nach Axiom III 5 müßten
mithin auch die beiden Winkel ^fiB'A'C und ^ZB'A'D' einander kon-
gruent ausfallen; dies ist nicht möglich, da nach Axiom III 4 ein jeder
Winkel an einen gegebenen Halbstrahl nach einer gegebenen Seite in
einer Ebene nur auf eine Weise abgetragen werden kann. Damit ist der
Beweis für Satz 10 vollständig erbracht.

Ebenso leicht beweisen wir die weitere Tatsache:

Satz 11 (Zweiter Kongruenzsatz für Dreiecke). Wenn in zwei
Dreiecken je eine Seite und die beiden anliegenden Winkel kongruent
ausfallen, so sind die Dreiecke stets kongruent.

Wir sind nunmehr im stände, die folgenden wichtigen Tatsachen zu
beweisen:

Satz 12. Wenn zwei Winkel ^C ABC und ^A'B'C einander
kongruent sind, so sind auch ihre Nebenwinkel <£; CBD und ^C CB D
einander kongruent.

Beweis. Wir wählen die Punkte A, C, D' auf den durch B' gehenden
Schenkel derart, daß

ÄB' = AB, C'B' = CB, D'B' = DB
wird. In den beiden Dreiecken ABC und A'B'C sind dann die

Im*J ''l'^xl^. II ^" t-W^* <\A^-4XA*A-^ L^Xf £ )X*~uJlX Zu>- f- <~ <Xa.<*,L. (Li*.

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 6.

Seiten AB und CB bez. den Seiten AB' und C'B' kongruent und, da
überdies die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel nach Voraus-
setzung kongruent sein sollen, so folgt nach Satz 10 die Kongruenz jener
Dreiecke, d. h. es gelten die Kongruenzen

AC=A'C und $:BÄC und ^B'A'C.

Da andererseits nach Axiom III 3 die Strecken AB und AB' einander
kongruent sind, so folgt wiederum aus Satz 10 die Kongruenz der Drei-
ecke CAB und C AB', d. h. es gelten die Kongruenzen

CB-C'B' und ^ABC=3zÄB'C

und hieraus folgt mittels Betrachtung der Dreiecke BGB und B'C'B'
nach Axiom III 6 die Kongruenz der Winkel <^ CBB und ^ G'B'B'.

Eine unmittelbare Folgerung aus Satz 12 ist der Satz von der Kon-
gruenz der Scheitelwinkel.

Satz 13. Es sei der Wickel (h, jfc) in der Ebene cc dem Winkel (Ji, Je)
in der Ebene cc kongruent und ferner sei l ein Halbstrahl der Ebene cc,
der vom Scheitel des Winkels (Ji, Je) ausgeht und im Inneren dieses Winkels
verläuft: dann gibt es stets einen Halbstrahl V in der Ebene cc', der vom

Scheitel des Winkels (Ji, Je) ausgeht^und im Inneren dieses Winkels (Ji, Je)
verläuft, so daß

wird.

Beweis. Wir bezeichnen die Scheitel der Winkel (h, Je) und Qi, Je)
bez. mit 0, 0' und bestimmen dann auf den Schenkeln h,k,Ji',Je die
Punkte A, B, Ä, B' derart, daß die Kongruenzen

OA=0'Ä und OB~0'B'

erfüllt sind. Wegen der Kongruenz der Dreiecke OAB und O'A'B'
wird

AB = A'B', <£ 0 AB = £ O'A'B', «£ OBA = <£ O'B'Ä.

Die Gerade AB schneide l in (7; bestimmen wir dann auf der Strecke
AB' den Punkt C, so daß A'C' = AC wird, so ist O'C der gesuchte
Halbstrahl V. In der Tat, aus AC=A'C und AB= AB' kann mittels

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 6.

Axiom III 3 leicht die Kongruenz BC = B'C geschlossen werden; nun-
mehr erweisen sich die Dreiecke OAC und O'A'C, sowie ferner die
Dreiecke OBC und O'B'C untereinander kongruent; hieraus ergeben sich
die Behauptungen des Satzes 13.

Auf ähnliche Art gelangen wir zu folgender Tatsache:
Satz 14. Es seien einerseits h,k,l und andererseits h',k',V je drei
von einem Punkte ausgehende und je in einer Ebene gelegene Halb-
strahlen: wenn dann die Kongruenzen

£(A,0==3:(Ä',r) und £(*, 0=^(^0

erfüllt sind, so ist stets auch

^(h,k)^^(h',k').

Auf Grund der Sätze 12 und 13 gelingt der Nachweis des folgenden
einfachen Satzes, den Euklid — meiner Meinung nach mit Unrecht —
unter die Axiome gestellt hat:

Satz 15. Alle rechten Winkel sind einander kongruent.

Beweis. Der Winkel BAD sei seinem Nebenwinkel CAD kongruent
und desgleichen sei der Winkel B'A'D' seinem Nebenwinkel C'A'D' kon-
gruent; es sind dann <£ BAD, <£ CAD, <£ B'A'D', <£ C'A'D' sämtlich
rechte Winkel. Wir nehmen im Gegensatz zu unserer Behauptung an,
es wäre der rechte Winkel B'A'D' nicht kongruent dem rechten

B" $ D

C B'

Winkel BAD, und tragen dann <£; B'A'D' an)[den Halbstrahl AB an,
so daß der entstehende Schenkel AD" entweder in das Innere des
Winkels BAD oder des Winkels CAD fällt; es treffe etwa die erstere
Möglichkeit zu. Wegen der Kongruenz der Winkel B'A'D' und BAD"
folgt nach Satz 12, daß auch der Winkel C'A'D' dem Winkel CAD"
kongruent ist, und da die Winkel B'A'D' und C'A'D' einander kon-
gruent sein sollen, so lehrt Axiom IV 5, daß auch der Winkel BAD''
dem Winkel CAD" kongruent sein muß. Da ferner <C BAD kongruent
4£ CAD ist, so können wir nach Satz 13 innerhalb des Winkels CAD
einen von A ausgehenden Halbstrahl AD'" finden, so daß <£ BAD" kon-

14 Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 6.

gruent ^C CAD'" und zugleich <^C DAD" kongruent <£ BAD'" wird.
Nun war aber <C BAD" kongruent <£ CAD" und somit müßte nach
Axiom III 5 auch <^ CAD" kongruent CAD" sein; das ist nicht
möglich, weil nach Axiom III 4 ein jeder Winkel an einen gegebenen
Halbstrahl nach einer gegebenen Seite in einer Ebene nur auf eine
Weise abgetragen werden kann; hiermit ist der Beweis für Satz 15
erbracht.

Wir können jetzt die Bezeichnungen „spitzer Winkel" und „stumpfer
Winkel" in bekannter Weise einführen.

Der Satz von der Kongruenz der Basiswinkel <^C A und <^ B im
gleichschenkligen Dreieck ABC folgt unmittelbar durch Anwendung des
Axioms III 6 auf Dreieck ABC und Dreieck BAC. Mit Hilfe dieses
Satzes und unter Hinzuziehung des Satzes 14 beweisen wir dann leicht
in bekannter Weise die folgende Tatsache:

Satz 16 (Dritter Kongruenzsatz für Dreiecke). Wenn in
zwei Dreiecken die drei Seiten entsprechend kongruent ausfallen, so sind
die Dreiecke kongruent.

Erklärung. Irgend eine endliche Anzahl von Punkten heißt eine
Figur; liegen alle Punkte der Figur in einer Ebene, so heißt sie eine
ebene Figur.

Zwei Figuren heißen kongruent, wenn ihre Punkte sich paarweise
einander so zuordnen lassen, daß die auf diese Weise einander zugeord-
neten Strecken und Winkel sämtlich einander kongruent sind.

Kongruente Figuren haben, wie man aus den Sätzen 12 und 9 er-
kennt, folgende Eigenschaften: Drei Punkte einer Geraden liegen auch
in jeder kongruenten Figur auf einer Geraden. Die Anordnung der Punkte
in entsprechenden Ebenen in Bezug auf entsprechende Gerade ist in kon-
gruenten Figuren die nämliche; das gleiche gilt von der Reihenfolge ent-
sprechender Punkte in entsprechenden Geraden.

Der allgemeinste Kongruenzsatz für die Ebene und für den Raum
drückt sich wie folgt aus:

Satz 17. Wenn (A, B,C,.. .) und (Ä, B', C , . . .) kongruente
ebene Figuren sind und P einen Punkt in der Ebene der ersten bedeutet,
so läßt sich in der Ebene der zweiten Figur stets ein Punkt P' finden
derart, daß (A, B, C, . . . , P) und (Ä, B', C", . . . , P') wieder kongruente
Figuren sind. Enthält die Figur (A, B, C, . . .) wenigstens drei nicht auf
einer Geraden liegende Punkte, so ist die Konstruktion von P' nur auf
eine Weise möglich.

Satz 18. Wenn (A, B, C, . . .) und (A', B', C, . . .) kongruente
Figuren sind und P einen beliebigen Punkt bedeutet, so läßt sich
stets ein Punkt P' finden, so daß die Figuren (A, B, C, . . . , P) und

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 7. 15

(A'f B', C, . . . , P') kongruent sind. Enthält die Figur (A,B,C,.. .)
mindestens vier nicht in einer Ebene liegende Punkte, so ist die Kon-
struktion von P' nur auf eine Weise möglich.

Der Satz 18 spricht das wichtige Resultat aus, daß die sämtlichen
räumlichen Tatsachen der Kongruenz und mithin der Bewegung im
Räume — unter Hinzuziehung der Axiomgruppen I und II — Folge-
rungen aus den sechs oben aufgestellten linearen und ebenen Axiomen
der Kongruenz sind.

§ 7.
Die Axiomgruppe IV: Axiom der Parallelen.

Aus den bisherigen Axiomen folgt in bekannter Weise der Euklidische
Satz, daß der Außenwinkel eines Dreieckes stets größer ist, als jeder der
beiden inneren Winkel.

Es sei nun a eine beliebige Ebene, a eine beliebige Gerade in a und
A ein Punkt in a und außerhalb a. Ziehen wir dann in a eine Gerade c,
die durch A geht und a schneidet, und sodann in a eine Gerade b durch
A, so daß die Gerade c die Geraden a, b unter gleichen Gegenwinkeln
schneidet, so folgt leicht aus dem erwähnten Satze vom Außenwinkel,
daß die Geraden a, b keinen Punkt miteinander gemein haben, d. h.
in einer Ebene a läßt sich durch einen Punkt A außer einer Geraden a
stets eine Gerade ziehen, welche jene Gerade a nicht schneidet.

Das Parallelenaxiom lautet nun:

IV (Euklidisches Axiom). Es sei a eine beliebige Gerade und A
ein Punkt außerhalb a: dann gibt es in der durch a und A bestimmten
Ebene a nur eine Gerade b, die durch A läuft und a nicht schneidet; die-
selbe heißt die Parallele zu a durch A.

Das Parallelenaxiom IV ist gleichbedeutend mit der folgenden Forderung:

Wenn zwei Geraden a, b in einer Ebene eine dritte Gerade c der-
selben Ebene nicht treffen, so treffen sie sich auch einander nicht.

In der Tat, hätten a, b einen Punkt A gemein, so würden durch A
in derselben Ebene die beiden Geraden a, b möglich sein, die c nicht
treffen; dieser Umstand widerspräche dem Parallelenaxiom IV. Ebenso leicht
folgt umgekehrt das Parallelenaxiom IV aus der genannten Forderung.

Das Parallelenaxiom IV ist ein ebenes Axiom.

Die Einführung des Parallelenaxioms vereinfacht die Grundlagen
und erleichtert den Aufbau der Geometrie in erheblichem Maße.

Nehmen wir nämlich zu den Kongruenzaxiomen das Parallelenaxiom
hinzu, so gelangen wir leicht zu den bekannten Tatsachen:

Satz 19. Wenn zwei Parallelen von einer dritten Geraden ge-
schnitten werden, so sind die Gegenwinkel und Wechselwinkel kongruent,

16 Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 7, 8.

und umgekehrt: die Kongruenz der Gegen- und Wechselwinkel hat zur
Folge, daß die Geraden parallel sind.

Satz 20. Die Winkel eines Dreiecks machen zusammen zwei
Rechte aus1).

Erklärung. Wenn M ein beliebiger Punkt in einer Ebene a ist,
so heißt die Gesamtheit aller Punkte A, für welche die Strecken MA
einander kongruent sind, ein Kreis; M heißt der Mittelpunkt des Kreises.

Auf Grund dieser Erklärung folgen mit Hilfe der Axiomgruppen III
— IV leicht die bekannten Sätze über den Kreis, insbesondere die Mög-
lichkeit der Konstruktion eines Kreises durch irgend drei nicht in einer
Geraden gelegene Punkte sowie der Satz über die Kongruenz aller
Peripheriewinkel über der nämlichen Sehne und der Satz von den
Winkeln im Kreisviereck.

§ 8.
Die Axiomgruppe V: Axiome der Stetigkeit.

V 1 (Axiom des Messens oder Archimedisches Axiom). Es
sei At ein beliebiger Punkt auf einer Geraden zwischen den beliebig ge-
gebenen Punkten A und B; man konstruiere dann die Punkte A%, Aä, Ai} ...,
so daß A1 zwischen A und A%, ferner A2 zwischen Ax und A3, ferner A3
zwischen A% und A± u. s. w. liegt und überdies die Strecken

AAX, A1A%, A2A3, A3Ai} . . .

A A, Az A3 A^ An.tBAw

— , . 1 1 , . 1 . — .

einander gleich sind: dann gibt es in der Beihe der Punkte A2, A3, A± . . .
stets einen solchen Punkt An, daß B zwischen A und An liegt.

V 2 (Axiom der Vollständigkeit). Die Elemente (Punkte, Ge-
raden, Ebenen) der Geometrie bilden ein System von Bingen, welches bei
Aufrechterhaltung sämtlicher genannten Axiome keiner Erweiterung mehr
fähig ist, d. h.: zu dem System der Punkte, Geraden, Ebenen ist
es nicht möglich, ein anderes System von Dingen hinzuzufügen,
so daß in dem durch Zusammensetzung entstehenden System
sämtliche aufgeführten Axiome I — IV, V 1 erfüllt sind.

Das Archimedische Axiom V 1 ist ein lineares Axiom.

1) Betreffs der Frage, inwieweit dieser Satz umgekehrt das Parallelenaxiom zu
ersetzen vermag, vergleiche man die Bemerkungen am Schluß von Kap. II § 12.

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. §8. 17

Hinsichtlich des Axioms der Vollständigkeit V 2 füge ich hier folgende
Bemerkungen hinzu.

Die Aufrechterhaltung sämtlicher Axiome, von der in diesem Axiom die
Rede ist, hat man so zu verstehen, daß nach der Erweiterung sämtliche
früheren Axiome in der früheren Weise gültig bleiben sollen, d. h.
sofern man die vorhandenen Beziehungen der Elemente, nämlich die vor-
handene Anordnung und Kongruenz der Strecken und Winkel nirgends
stört, also z. B. ein Punkt, der vor der Erweiterung zwischen zwei Punkten
liegt, dies auch nach der Erweiterung tut, Strecken und Winkel, die
vorher einander kongruent sind, dies auch nach der Erweiterung bleiben.

Die Erfüllbarkeit des Vollständigkeitsaxioms ist wesentlich
durch die Voranstellung des Archimedischen Axioms bedingt;
in der Tat läßt sich zeigen, daß zu einem System von Punkten, Geraden
und Ebenen, welche die Axiome I — IV erfüllen, stets noch auf mannig-
fache Weise solche Elemente hinzugefügt werden können, daß in dem
durch Zusammensetzung entstehenden Systeme die Axiome I — IV ebenfalls
sämtlich gültig sind; d. h. das Vollständigkeitsaxiom würde einen Wider-
spruch einschließen, wenn man den Axiomen I — IV nicht noch das Archi-
medische Axiom hinzufügt.

Das Vollständigkeitsaxiom ist nicht eine Folge des Archi.
medischen Axioms. In der Tat reicht das Archimedische Axiom allein
nicht aus, um mit Benutzung der Axiome I — IV unsere Geometrie als iden-
tisch mit der gewöhnlichen analytischen „Cartesischen" Geometrie nachzu-
weisen (vgl. § 9 und § 12). Dagegen gelingt es unter Hinzunahme des
Vollständigkeitsaxioms — obwohl dieses Axiom unmittelbar keine Aussage
über den Begriff der Konvergenz enthält — , die Existenz der einem Dede-
kindschen Schnitte entsprechenden Grenze und den Bolzanoschen Satz vom
Vorhandensein der Verdi chtungs stellen nachzuweisen, womit dann unsere
Geometrie sich als identisch mit der Cartesischen Geometrie erweist.

Durch die vorstehende Betrachtungsweise ist die Forderung der Stetig-
keit in zwei wesentlich verschiedene Bestandteile zerlegt worden, nämlich
in das Archimedische Axiom, dem zugleich die Rolle zukommt,
die Forderung der Stetigkeit vorzubereiten, und in das Voll-
ständigkeitsaxiom, das den Schlußstein des ganzen Axiomen-
systems bildet1).

In den nachfolgenden Untersuchungen stützen wir uns wesentlich nur
auf das Archimedische Axiom und setzen im allgemeinen das Vollständig-
keitsaxiom nicht voraus.

1) Man vergleiche auch die Bemerkungen am Schluß von § 17 sowie meinen Vor-
trag über den Zahlbegriff: Berichte der Deutschen Mathematiker- Vereinigung, 1900. —
Bei der Untersuchung des Satzes von der Gleichheit der Basiswinkel im gleich-

Hilbert, Grundlagen der Geometrie. 2

18 Kap. II. Die Widerspruchslosigkeit und Unabhängigkeit der Axiome. §9.

Kapitel IL

Die Widerspruchslosigkeit und gegenseitige Unabhängigkeit

der Axiome.

§ 9.
Die Widerspruchslosigkeit der Axiome.

Die Axiome der fünf in Kapitel I aufgestellten Axiomgruppen stehen
miteinander nicht in Widerspruch, d. h. es ist nicht möglich, durch logische
Schlüsse aus denselben eine Tatsache abzuleiten, welche einem der auf-
gestellten Axiome widerspricht. Um dies einzusehen, genügt es, eine Geo-
metrie anzugeben, in der sämtliche Axiome der fünf Gruppen erfüllt sind.

Man betrachte zunächst den Bereich £1 aller derjenigen algebraischen
Zahlen, welche hervorgehen, indem man von der Zahl 1 ausgeht und
eine endliche Anzahl von Malen die vier Rechnungsoperationen: Addition,
Subtraktion, Multiplikation, Division und die fünfte Operation | yl -j- c2 1
anwendet, wobei ra jedesmal eine Zahl bedeuten kann, die vermöge jener
fünf Operationen bereits entstanden ist.

Wir denken uns ein Paar von Zahlen (x, y) des Bereiches £1 als
einen Punkt und die Verhältnisse von irgend drei Zahlen (u : v : w) aus £1,
falls u, v nicht beide Null sind, als eine Gerade; ferner möge das Be-
stehen der Gleichung

ux + vy + w — 0

ausdrücken, daß der Punkt (x, y) auf der Geraden (u : v : w) liegt; damit
sind, wie man leicht sieht, die Axiome I 1 — 3 und IV erfüllt. Die Zahlen
des Bereiches £1 sind sämtlich reell; indem wir berücksichtigen, daß
dieselben sich ihrer Größe nach anordnen lassen, können wir leicht solche
Festsetzungen für unsere Punkte und Geraden treffen, daß auch die
Axiome II der Anordnung sämtlich gültig sind. In der Tat, sind (xt, yj,
(x2> Vi)> (x3) y$)> • • • irgend welche Punkte auf einer Geraden, so möge
dies ihre Reihenfolge auf der Geraden sein, wenn die Zahlen xlf Xi) x3, . . .
oder y1}y2, y3 . . . in dieser Reihenfolge entweder beständig abnehmen oder
wachsen; um ferner die Forderung des Axioms II 4 zu erfüllen, haben
wir nur nötig festzusetzen, daß alle Punkte {x, y), für die ux -\- vy -\- w
kleiner oder größer als 0 ausfällt, auf der einen bez. auf der anderen

schenkligen Dreieck bin ich anf ein weiteres Stetigkeitsaxiom geführt worden, das
ich Axiom der Nachbarschaft genannt habe; man sehe meine im Anhang ab-
gedruckte Abhandlung „Über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleich-
schenkligen Dreieck". Proceedings of the London Mathematical Society XXXV 1903.
Vgl. S. 92 und S. 107.

Kap. II. Die Widerspruchslosigkeit und Unabhängigkeit der Axiome. § 9. 19

Seite der Geraden (u : v : tv) gelegen sein sollen. Man überzeugt sich
leicht, daß diese Festsetzung sich mit der vorigen Festsetzung in Über-
einstimmung befindet, derzufolge ja die Reihenfolge der Punkte auf einer
Geraden bereits bestimmt ist.

Das Abtragen von Strecken und Winkeln erfolgt nach den bekannten
Methoden der analytischen Geometrie. Eine Transformation von der
Gestalt

x = x + a,

y = y + b

vermittelt die Parallelverschiebung von Strecken und Winkeln. Wird
ferner der Punkt (0, 0) mit 0, der Punkt (1, 0) mit E und ein beliebiger
Punkt (a, b) mit G bezeichnet, so entsteht durch Drehung um den Winkel
<£ COE, wenn 0 der feste Drehpunkt ist, aus dem beliebigen Punkte (x, y)
der Punkt (x, y)} wobei

x =

— x —

-[/ä* + P

x +

yä* -f fr" yä* + b

zu setzen ist. Da die Zahl

y^ + p»a|/l+(|y

O(o,o)

E(i,o)

wiederum dem Bereiche £1 angehört,
so gelten bei unseren Festsetzungen
auch die Kongruenzaxiome III und
offenbar ist auch das Archimedische
Axiom V 1 erfüllt. Das Axiom der
Vollständigkeit V 2 ist nicht erfüllt.

Jeder Widerspruch in den Fol-
gerungen aus unseren geometrischen Axiomen I — IV, V 1 müßte dem-
nach auch in der Arithmetik des Bereiches Si erkennbar sein1).

Wählen wir in der obigen Entwicklung statt des Bereiches Sl den
Bereich aller reellen Zahlen, so erhalten wir eine Geometrie, in der
sämtliche Axiome I — V gültig sind; diese Geometrie ist die gewöhnliche
Cartesische Geometrie.

Jeder Widerspruch in den Folgerungen aus den Axiomen I — V müßte
demnach in der Arithmetik des Systems der reellen Zahlen erkennbar sein.

1) Betreffs der Frage nach der Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome
vergleiche man meine Vorträge über den Zahlbegriff: Berichte der deutschen Mathe-
matiker-Vereinigung, 1900, sowie Mathematische Probleme, gehalten auf dem inter-
nationalen Mathematikerkongreß 1900, Göttinger Nachr. 1900, insbesondere Problem No. 2.

20 Kap. II. Die Widerspruchslosigkeit und Unabhängigkeit der Axiome. § 10, 11.

Die entsprechende Betrachtungsweise für die räumliche Geometrie
bietet keine Schwierigkeit.

Wie man erkennt, gibt es unendlich viele Geometrien, die den
Axiomen I — IV, V 1 genügen, dagegen nur eine, nämlich die Cartesische
Geometrie, in der auch zugleich das Vollständigkeitsaxiom V 2 gültig ist.

§ io.

Die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms (Nicht-Euklidische Geometrie).

Nachdem wir die Widerspruchslosigkeit der Axiome erkannt haben,
ist es von Interesse, zu untersuchen, ob sie sämtlich voneinander unab-
hängig sind. In der Tat zeigt sich, daß keine wesentlichen Bestandteile
der genannten Axiomgruppen durch logische Schlüsse aus den jedesmal
voranstehenden Axiomgruppen abgeleitet werden können.

Was zunächst die einzelnen Axiome der Gruppen I, II und III be-
trifft, so ist der Nachweis dafür leicht zu führen, daß die Axiome ein
und derselben Gruppe je unter sich unabhängig sind.

Die Axiome der Gruppen I und II liegen bei unserer Darstellung
den übrigen Axiomen zu Grunde, so daß es sich nur noch darum handelt,
für jede der Gruppen III, IV und V die Unabhängigkeit von den übrigen
nachzuweisen.

Das Parallelenaxiom IV ist von den übrigen Axiomen unabhängig;
dies zeigt man in bekannter Weise am einfachsten, wie folgt. Man wähle
die Punkte, Geraden und Ebenen der gewöhnlichen in § 9 konstruierten
(Cartesischen) Geometrie, soweit sie innerhalb einer festen Kugel ver-
laufen, für sich allein als Elemente einer räumlichen Geometrie und ver-
mittle die Kongruenzen dieser Geometrie durch solche lineare Trans-
formationen der gewöhnlichen Geometrie, welche die feste Kugel in sich
überführen. Bei geeigneten Festsetzungen erkennt man, daß in dieser
„NichtrEuklidischen" Geometrie sämtliche Axiome außer dem Euklidischen
Axiom IV gültig sind, und da die Möglichkeit der gewöhnlichen Geo-
metrie in § 9 nachgewiesen worden ist, so folgt nunmehr auch die Mög-
lichkeit der Nicht-Euklidischen Geometrie.

§ IL
Die Unabhängigkeit der Kongruenzaxiome.

Wir werden die Unabhängigkeit der Kongruenzaxiome erkennen, indem
wir den Nachweis führen, daß das Axiom III 6 oder, was auf das nämliche
hinausläuft, der erste Kongruenzsatz für Dreiecke, d. i. Satz 10 durch
logische Schlüsse nicht aus den übrigen Axiomen I, II, III 1 — 5, IV, V
abgeleitet werden kann.

Kap. IL Die Widerspruchslosigkeit und Unabhängigkeit der Axiome. § 11. 21

Wir wählen die Punkte, Geraden, Ebenen der gewöhnlichen Geometrie
auch als Elemente der neuen räumlichen Geometrie und definieren das
Abtragen der Winkel ebenfalls wie in der gewöhnlichen Geometrie, etwa
in der Weise, wie in § 9 auseinandergesetzt worden ist; dagegen definieren
wir das Abtragen der Strecken auf andere Art. Die zwei Punkte Ax, A2
mögen in der gewöhnlichen Geometrie die Koordinaten xx, yx, zx bez.
x2, y2, z2 haben; dann bezeichnen wir den positiven Wert von

Y(xx -x2 + yx- y2f + (yx - y2f -f Oi - *2)2
als die Länge der Strecke Ax A2 , und nun sollen zwei beliebige Strecken AXA2
und Ax A2 einander kongruent heißen, wenn sie im eben festgesetzten
Sinne gleiche Längen haben- .

Es leuchtet unmittelbar ein, daß in der so hergestellten räumlichen
Geometrie die Axiome I, II, III 1 — 2, 4 — 5, IV, V gültig sind.

Um zu zeigen, daß auch das Axiom III 3 erfüllt ist, wählen wir
eine beliebige Gerade a und auf ihr drei Punkte Ax, A2, A3, so daß A2
zwischen Ax und A3 liegt. Die Punkte x, y, z der Geraden a seien durch

die Gleichungen . . , , ,

° x — Xt -f X,

y = lit + [i',

z = vt -f V
gegeben, worin X, X', p, ii,v, v gewisse Konstante und t einen Parameter
bedeutet. Sind tx, t2 (< tx), t3 (< t2) die Parameterwerte, die den Punkten
Ax, A2, A3 entsprechen, so finden wir für die Längen der drei Strecken
AXA2, A2A3 und AXA3 bez. die Ausdrücke:

(k - Ü i y(T+^2T7T^ | ,

& - Q ! V(* + K>2 + ^ + "2

^-QiYix + py + ^ + vti,

und mithin ist die Summe der Längen der Strecken AXA2 und A2A3
gleich der Länge der Strecke AXA2\ dieser Umstand bedingt die Gültig-
keit des Axioms III 3.

Das Axiom III 6 oder vielmehr der erste Kongruenzsatz für Drei-
ecke ist in unserer Geometrie nicht immer erfüllt. Betrachten wir näm-
lich z. B. in der Ebene z = 0 die vier Punkte 3(o,l)

0 mit den Koordinaten x = 0, y = 0,
Jk. „ ,, „ x = 1 1 y = u,

B „ „ „ x = 0, y=l, Vz yC(i,i)

G » n 77 x = t 7 y = T>

so sind in den beiden (rechtwinkligen) Drei-
ecken OAC und OBC die Winkel bei C und O(o,o) A(l,0)

22 Kap. II. Die Widerspruehslosigkeit tind Unabhängigkeit der Axiome. 1 11, 12.

die anliegenden Seiten entsprechend kongruent, da die Seite OC beiden
Dreiecken gemeinsam ist und die Strecken AC und BC die gleiche
Länge y besitzen. Dagegen haben die dritten Seiten OA und OB die
Länge 1, bez. "j/2 und sind daher nicht einander kongruent.

Es ist auch nicht schwer, in dieser Geometrie zwei Dreiecke zu finden,
für welche das Axiom III 6 selbst nicht erfüllt ist.

§ 12.

Die Unabhängigkeit der Stetigkeitsaxiome V

(Nicht-Archimedische Geometrie).

Um die Unabhängigkeit des Archimedischen Axioms V 1 zu beweisen,
müssen wir eine Geometrie herstellen, in der sämtliche Axiome mit Aus-
nahme der Axiome V, diese letzteren aber nicht erfüllt sind1).

Zu dem Zwecke konstruieren wir den Bereich Sl(f) aller derjenigen
algebraischen Funktionen von t, welche aus t durch die fünf Rechnungs-
operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und durch
die Operation |]/l + co2| hervorgehen; dabei soll w irgend eine Funk-
tion bedeuten, die vermöge jener fünf Operationen bereits entstanden ist.
Die Menge der Elemente von £l(f) ist — ebenso wie von & in § 9 — eine
abzählbare. Die fünf Operationen sind sämtlich eindeutig und reell aus-
führbar; der Bereich £l(t) enthält daher nur eindeutige und reelle Funk-
tionen von t.

Es sei c irgend eine Funktion des Bereiches &(£); da die Funktion c
eine algebraische Funktion von t ist, so kann sie jedenfalls nur für eine
endliche Anzahl von Werten t verschwinden und es wird daher die Funk-
tion c für genügend große positive Werte von t entweder stets positiv
oder stets negativ ausfallen.

Wir sehen jetzt die Funktionen des Bereiches £l(f) als eine Art
komplexer Zahlen an; offenbar sind in dem so definierten komplexen
Zahlensystem die gewöhnlichen Rechnungsregeln sämtlich gültig. Ferner
möge, wenn a, b irgend zwei verschiedene Zahlen dieses komplexen Zahlen-
systems sind, die Zahl a größer oder kleiner als b, in Zeichen: a > b
oder a < &, heißen, je nachdem die Differenz c = a — b als Funktion von t
für genügend große positive Werte von t stets positiv oder stets negativ
ausfällt. Bei dieser Festsetzung ist für die Zahlen unseres komplexen
Zahlensystems eine Anordnung ihrer Größe nach möglich, die der-
jenigen bei reellen Zahlen analog ist; auch gelten, wie man Reicht er-
kennt, für unsere komplexen Zahlen die Sätze, wonach Ungleichungen

1) G. Veronese hat in seinem tiefsinnigen Werke: Grundzüge der Geometrie,
deutsch von A. Schepp, Leipzig 1894, ebenfalls den Versuch gemacht, eine Geometrie
aufzubauen, die von dem Archimedischen Axiom unabhängig ist.

Kap. II. Die Widerspruchslosigkeit und Unabhängigkeit der Axiome. § 12. 23

richtig bleiben, wenn man auf beiden Seiten die gleiche Zahl addiert
oder beide Seiten mit der gleichen Zahl > 0 multipliziert.

Bedeutet n eine beliebige positive ganze rationale Zahl, so gilt für
die beiden Zahlen n und t des Bereiches Sl(t) gewiß die Ungleichung
n < £, da die Differenz n — t, als Funktion von t betrachtet, für genügend
große positive Werte von t offenbar stets negativ ausfällt. Wir sprechen
diese Tatsache in folgender Weise aus: Die beiden Zahlen 1 und t des
Bereiches Sl{ß), die beide > 0 sind, besitzen die Eigenschaft, daß ein be-
liebiges Vielfaches der ersteren stets kleiner als die letztere Zahl bleibt.

Wir bauen nun aus den komplexen Zahlen des Bereiches £l(t) eine
Geometrie genau auf dieselbe Art auf, wie dies in § 9 unter Zugrunde-
legung des Bereiches & von algebraischen Zahlen geschehen ist: wir
denken uns ein System von drei Zahlen (x, y, z) des Bereiches £l(t) als
einen Punkt und die Verhältnisse von irgend vier Zahlen (« : v : w : r) aus
&(t), falls u, v, w nicht sämtlich Null sind, als eine Ebene; ferner möge
das Bestehen der Gleichung

ux -f vy + wz -f r = 0
ausdrücken, daß der Punkt (x, y, z) in der Ebene (n : v: w : r) liegt, und
die Gerade sei die Gesamtheit aller in zwei Ebenen mit verschiedenen
H : v : w gelegenen Punkte. Treffen wir sodann die entsprechenden Fest-
setzungen über die Anordnung der Elemente und über das Abtragen von
Strecken und Winkeln, wie in § 9, so entsteht eine „Nicht- Archimedische"
Geometrie, in welcher, wie die zuvor erörterten Eigenschaften des komplexen
Zahlensystems £l(t) zeigen, sämtliche Axiome mit Ausnahme der Stetig-
keitsaxiome erfüllt sind. In der Tat können wir die Strecke 1 auf der
Strecke t beliebig oft hintereinander abtragen, ohne daß der Endpunkt der
Strecke t überschritten wird; dies widerspricht der Forderung des Archi-
medischen Axioms.

Daß auch das Vollständigkeitsaxiom V 2 von allen voranstehenden
Axiomen I — IV, V 1 unabhängig ist, zeigt die erste in § 9 aufgestellte
Geometrie, da in dieser das Archimedische Axiom erfüllt ist.

Auch die Nicht -Archimedischen und zugleich Nicht -Euklidischen
Geometrien sind von prinzipieller Bedeutung und insbesondere erschien
mir die Frage nach der Winkelsumme im Dreiecke und nach der Ab-
hängigkeit dieser Sätze vom Archimedischen Axiom von hohem Interesse.
Die Untersuchung, die M. Dehn1) auf meine Anregung hin über diesen
Gegenstand unternommen hat, führte zu einer vollen Aufklärung dieser
Frage. Den Untersuchungen von M. Dehn liegen die Axiome I — III zu
Grunde. Nur zum Schlüsse der Dehnschen Arbeit — damit auch die

1) Die Legendreschen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck. Math. Ann.
Bd. 53. 1900.

24 Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 13.

Riemannsche (elliptische) Geometrie in den Bereich der Untersuchung
hineinfällt — sind die Axiome II der Anordnung allgemeiner, als in der
gegenwärtigen Abhandlung, nämlich etwa wie folgt zu fassen:

Vier Punkte A, B, C, B einer Geraden zerfallen stets in zwei Paare
A, C und B, B, so daß A, G durch B, B getrennt sind und umgekehrt.
Fünf Punkte auf einer Geraden können immer in der Weise mit A, B,
C, D, E bezeichnet werden, daß A, C durch B, B und durch B, E, ferner
daß A, B durch B, E und durch C, E u. s. f. getrennt sind.

Die hauptsächlichsten von M. Dehn auf Grund der Axiome I — III,
also ohne Benutzung der Stetigkeit, bewiesenen Sätze sind folgende:

Wenn in irgend einem Dreieck die Summe der Winkel größer
bezüglich gleich oder kleiner als zwei Rechte ist, so ist sie es
in jedem Dreieck1).

Aus der Annahme unendlich vieler Parallelen zu einer Ge-
raden durch einen Punkt folgt, wenn man das Archimedische
Axiom ausschließt, nicht, daß die Winkelsumme im Dreieck
kleiner als zwei Rechte ist. Es gibt vielmehr sowohl eine Geo-
metrie (die Nicht-Legendresche Geometrie), in der man durch
einen Punkt zu einer Geraden unendlich viele Parallelen ziehen
kann und in der trotzdem die Sätze der Riemannschen (ellip-
tischen) Geometrie gültig sind. Andererseits gibt es eine Geo-
metrie (die Semi-Euklidische Geometrie), in welcher es unend-
lich viele Parallelen durch einen Punkt zu einer Geraden gibt
und in der dennoch die Sätze der Euklidischen Geometrie gelten.

Aus der Annahme, daß es keine Parallelen gibt, folgt stets,
daß die Winkelsumme im Dreieck größer als zwei Rechte ist.

Ich bemerke endlich, daß, wenn man das Archimedische Axiom
hinzunimmt, das Parallelenaxiom durch die Forderung ersetzt werden
kann, es solle die Winkelsumme im Dreieck gleich zwei Rechten sein.

Kapitel III.
Die Lehre von den Proportionen.

§ 13.
Komplexe Zahlensysteme2).

Am Anfang dieses Kapitels wollen wir einige kurze Auseinander-
setzungen über komplexe Zahlensysteme vorausschicken, die uns später
insbesondere zur Erleichterung der Darstellung nützlich sein werden.

1) Einen Beweis für diesen Satz hat später auch F. Schur erbracht, Math. Ann. Bd. 55.

2) Vgl. meinen Vortrag: Über den Zahlbegriff, Jahresbericht der Deutschen
Mathematiker- Vereinigung, Bd. 8. 1900.

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 13. 25

Die reellen Zahlen bilden in ihrer Gesamtheit ein System von Dingen
mit folgenden Eigenschaften:

Sätze der Verknüpfung (1 — 6):

1. Aus der Zahl a und der Zahl b entsteht durch „Addition" eine
bestimmte Zahl c, in Zeichen

a -f b = c oder c = a + b .

2. Wenn a und b gegebene Zahlen sind, so existiert stets eine und
nur eine Zahl x und auch eine und nur eine Zahl y, so daß

a + x = b bez. y -f a = 6
wird.

3. Es gibt eine bestimmte Zahl — sie heiße 0 — , so daß für jedes

a zugleich

a -\- 0 = a und 0 -\- a = a
ist.

4. Aus der Zahl a und der Zahl b entsteht noch auf eine andere
Art durch „Multiplikation" eine bestimmte Zahl c, in Zeichen

ab = c oder c = ab .

5. Wenn a und b beliebig gegebene Zahlen sind und a nicht 0 ist,
so existiert stets eine und nur eine Zahl x und auch eine und nur eine
Zahl y, so daß

ax = b bez. ya = b
wird.

6. Es gibt eine bestimmte Zahl — sie heiße 1 — , so daß für jedes
a zugleich

a ' 1 — a und 1 • a = a
ist.

Regeln der Rechnung (7 — 12):
Wenn a, b, c beliebige Zahlen sind, so gelten stets folgende Rech-
nungsgesetze:

7. a + (b + c) - (a + b) + c

8. a+b =& + a

9. a(bc) = (ab)c

10. a(b -\- c) = ab -\- ac

11. (a + b)c = ac + bc

12. ab =ba.
Sätze der Anordnung (13 — 16):

13. Wenn a, b irgend zwei verschiedene Zahlen sind, so ist stets eine
bestimmte von ihnen (etwa a) größer (>) als die andere; die letztere
heißt dann die kleinere, in Zeichen:

a > b und b < a .

26 Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 13, 14.

14. Wenn a > b und b > c, so ist auch a > c.

15. Wenn a > b ist, so ist auch stets

a -f c > 6 4- c und c -f a > c -\- b.

16. Wenn <x > b und c > 0 ist, so ist auch stets

ac>bc und ca>cb.
Sätze von der Stetigkeit (17 — 18):

17. (Archimedischer Satz.) Wenn a>0 und &>0 zwei belie-
bige Zahlen sind, so ist es stets möglich, a zu sich selbst so oft zu ad-
dieren, daß die entstehende Summe die Eigenschaft hat

a + a -\- • • ■ -\- a>b.

18. (Satz von der Vollständigkeit.) Es ist nicht möglich, dem
System der Zahlen ein anderes System von Dingen hinzuzufügen, so daß
auch in dem durch Zusammensetzung entstehenden Systeme die Sätze 1 — 17
sämtlich erfüllt sind; oder kurz: die Zahlen bilden ein System von Dingen,
welches bei Aufrechterhaltung sämtlicher aufgeführten Sätze keiner Er-
weiterung mehr fähig ist.

Ein System von Dingen, das nur einen Teil der Eigenschaften 1 — 18
besitzt, heiße ein komplexes Zahlensystem. Ein komplexes Zahlensystem
heiße ein Archimedisches oder ein Nicht-Archimedisches, jenachdem das-
selbe der Forderung 17 genügt oder nicht.

Von den aufgestellten Eigenschaften 1 — 18 sind einige Folgen der
übrigen. Es entsteht die Aufgabe, die logische Abhängigkeit dieser Eigen-
schaften zu untersuchen1). Wir werden im Kapitel VI § 32 und § 33
zwei bestimmte Fragen der angedeuteten Art wegen ihrer geometrischen
Bedeutung beantworten und wollen hier nur darauf hinweisen, daß jeden-
falls die Forderung 17 keine logische Folge der voranstehenden Eigen-
schaften ist, da ja beispielsweise das in § 12 betrachtete komplexe Zahlen-
system Sl(t) sämtliche Eigenschaften 1 — 16 besitzt, aber nicht die Forde-
rung 17 erfüllt.

Im übrigen gelten betreffs der Sätze von der Stetigkeit (17 — 18) die
entsprechenden Bemerkungen, wie sie in § 8 über die geometrischen
Axiome der Stetigkeit gemacht worden sind.

§ 14.
Beweis des Pascalschen Satzes.

In diesem und dem folgenden Kapitel legen wir unserer Untersuchung
die ebenen Axiome sämtlicher Gruppen mit Ausnahme der Stetigkeits-

1) Vgl. meinen bereits citierten Vortrag über den Zahlbegriff.

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 14.

axiome, d. h. die Axiome I 1 — 3 und II — IV zu Grunde. In dem gegen-
wärtigen Kapitel LU gedenken wir Euklids Lehre von den Proportionen
mittels der genannten Axiome, d. h. in der Ebene und unabhängig
vom Archimedischen Axiom zu begründen.

Zu dem Zwecke beweisen wir zunächst eine Tatsache, die ein beson-
derer Fall des bekannten Pascalschen Satzes aus der Lehre von den
Kegelschnitten ist und die ich künftig kurz als den Pascalschen Satz
bezeichnen will. Dieser Satz
lautet: t»*

Satz 21 *) (Pascalscher
Satz). Es seien A, B, C bez.
Ä, B', C je drei Punkte auf
zwei sich schneidenden Geraden,
die vom Schnittpunkte der Ge-
raden verschieden sind; ist dann
CB' parallel BG' und CA
parallel AG ', so ist auch BÄ
parallel AB'.

Um den Beweis für diesen Satz zu erbringen, führen wir zunächst
folgende Bezeichnungsweise ein. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist
offenbar die Kathete a durch die Hypotenuse c und den von a und c
eingeschlossenen Basiswinkel cc eindeutig bestimmt:
wir setzen kurz

a = ccc,

so daß das Symbol ac stets eine bestimmte Strecke
bedeutet, sobald c eine beliebig gegebene Strecke und
cc ein beliebig gegebener spitzer Winkel ist.

Nunmehr möge c eine beliebige Strecke und cc, ß mögen zwei be-
liebige spitze Winkel bedeuten; wir behaupten, daß allemal die Strecken-
kongruenz

ccßc s ßccc j.

besteht und somit die Symbole cc, ß
stets miteinander vertauschbar sind.

Um diese Behauptung zu beweisen,
nehmen wir die Strecke c = AB und / jr -p\

tragen an diese Strecke in A zu beiden
Seiten die Winkel cc bez. ß an. Dann
fällen wir von B aus auf die anderen ■"

1) F. Schur hat einen interessanten Beweis des Pascalschen Satzes auf Grund
der ebenen und räumlichen Axiome I— III in den Math. Ann. Bd. 51 veröffentlicht.

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 14.

Schenkel dieser Winkel die Lote BC und BD, verbinden C mit D und
fällen schließlich von A aus das Lot AE auf CD.

Da die Winkel <£ ACB und <=£ ADB Rechte sind, so liegen die
vier Punkte A, B, C, D auf einem Kreise und demnach sind die beiden
Winkel <fiACD und <fiABD als Peripheriewinkel auf derselben Sehne
AD einander kongruent. Nun ist einerseits <£ ACD zusammen mit dem
<3C CAE und andererseits ^C ABD zusammen mit <t BAD je ein Rechter
und folglich sind auch die Winkel <^C CAE und <£ BAD einander kon-
gruent, d. h. es ist

^CAE=ß
und daher

^CDAE=a.

Wir gewinnen nun unmittelbar die Streckenkongruenzen

ßc = AD

ußc = a(AD)

ac = AC
ßac = ß(AC)

AE,

und hieraus folgt die Richtigkeit der vorhin behaupteten Kongruenz.

Wir kehren nun zur Figur des Pascalschen Satzes zurück und be-
zeichnen den Schnittpunkt der beiden Geraden mit 0 und die Strecken
OA, OB, OC, OA', OB', OC, CB ', BC, AC, CA, BA', AB' bez. mit
a, b, c, a, b ', c, l, l*, m, m*, n, n*. Sodann fällen wir von 0 Lote auf

l, m*} n) das Lot auf l
C'l schließe mit den beiden Ge-

raden OA, OA' die spitzen
Winkel k', k ein und die
Lote auf m bez. n mögen
mit den Geraden OA und
OA' die spitzen Winkel [i',[i
bez. v', v bilden. Drücken
wir nun diese drei Lote
in der vorhin angegebenen
Weise mit Hilfe der Hy-
potenusen und Basiswinkel in den betreffenden rechtwinkligen Dreiecken
auf doppelte Weise aus, so erhalten wir folgende drei Streckenkongruenzen

(1) kb'=k'c,

(2) na'^ti'c,

(3) j/ft'= v'b.

Da nach Voraussetzung l parallel l* und m parallel m* sein soll, so stim-
men die von 0 auf l* bez. m zu fällenden Lote mit den Loten auf l bez.
m* überein und wir erhalten somit

Kap. IIL Die Lehre von den Proportionen. § 14. 29

(4) Xc'^X'b,

(5) fic' = p' a.

Wenn wir auf die Kongruenz (3) links und rechts das Symbol X'fi
anwenden und bedenken, daß nach dem vorhin Bewiesenen die in Rede
stehenden Symbole miteinander vertauschbar sind, so finden wir

vX'[ia' = v'pX'b.
In dieser Kongruenz berücksichtigen wir links die Kongruenz (2) und

rechts (4); dann wird

vX'p'c = v'{iXc

oder

v\i X c = y Xpc .

Hierin berücksichtigen wir links die Kongruenz (l) und rechts (5); dann

wird

v[i XV ' = v'Xp'a
oder

Xp'vb' ss Xfi'v'a.

Wegen der Bedeutung unserer Symbole schließen wir aus der letzten
Kongruenz sofort

p'vb' es fi'v'a
und hieraus

(6) vb'==v'a.

Fassen wir nun das von 0 auf n gefällte Lot ins Auge und fällen
auf dasselbe Lote von A und B' aus, so zeigt die Kongruenz (6), daß
die Fußpunkte der letzteren beiden Lote zusammenfallen, d. h. die Gerade
w*== AB' steht zu dem Lote auf n senkrecht und ist mithin zu n parallel.
Damit ist der Beweis für den Pascalschen Satz erbracht.

Wir benutzen im folgenden zur Begründung der Geometrie lediglich
denjenigen speziellen Fall des Pascalschen Satzes, in dem die Strecken-
kongruenz

OC-OÄ
und folglich auch

OA=OC

gilt. In diesem speziellen Fall gelingt der Beweis besonders einfach,
nämlich folgendermaßen (Figur S. 30):

Wir tragen auf OÄ von 0 aus die Strecke OB bis B' ab, so daß
die Verbindungsgerade BD' parallel zu CA' und AG' wird. Wegen der
Kongruenz der Dreiecke OC'B und 0 AB' wird
(lf) ^OC'B = ^OAD'.

Da GB' und BC' nach Voraussetzung einander parallel sind, so ist
(2f) ^OC'B = ^OBG;

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 14.

aus (lf ) und (2f) folgern wir

<£OAD'=<^OB'C-
dann aber ist nach der Lehre
vom Kreise ACD'B' ein
Kreis viereck und mithin gilt
nach einem bekannten Satze
von den Winkeln im Kreis-
viereck die Kongruenz
(3f) ^OB'C = ^OAB'.
Andererseits ist wegen der
Kongruenz der Dreiecke
OD'C und OBÄ auch
(4f) ^OD'G-^OBA'^
aus (3f ) und (4f ) folgern wir
^OAB'=^OBÄ

und diese Kongruenz lehrt, daß AB' und BA' einander parallel sind,
wie es der Pascalsche Satz verlangt.

Wenn irgend eine Gerade, ein Punkt außerhalb derselben und irgend
ein Winkel gegeben ist, so kann man offenbar durch Abtragen dieses
Winkels und Ziehen einer Parallelen eine Gerade finden, die durch den
gegebenen Punkt geht und die gegebene Gerade unter dem gegebenen
Winkel schneidet. Im Hinblick auf diesen Umstand dürfen wir endlich zum

Beweise des allgemeineren
Pascalschen Satzes auch das
folgende einfache Schluß-
verfahren anwenden, das ich
einer Mitteilung von anderer
Seite verdanke.

Man ziehe durch B eine
Gerade, die OÄ im Punkte
D' unter dem Winkel OCÄ
trifft, so daß die Kongruenz
(1*) ^OCA=^OD'B
gilt; dann ist nach einem be-
kannten Satze aus der Lehre

C B

vom Kreise CBD'A' ein Kreisviereck und mithin gilt nach dem Satze

von der Kongruenz der Peripheriewinkel auf der nämlichen Seite die

Kongruenz

(2*) «£ OBA=s$: OD'C.

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 14, 15. 31

Da CA' und AC nach Voraussetzung einander parallel sind, so ist
(3*) ^.OCA'^^OAC';

aus (1*) und (3*) folgern wir die Kongruenz

^.OD'B = ^ OAC-
dann aber ist auch BAD'C ein Kreisviereck und mithin gilt nach dem
Satze von den Winkeln im Kreisviereck die Kongruenz
(4*) ^OAD' = ^ OC'B.

Da ferner nach Voraussetzung CB' parallel BC ist, so haben wir auch
(5*) <£OB'C = <$:OC'B;

aus (4*) und (5*) folgern wir die Kongruenz

^OAD' = ^OB'C;

diese endlich lehrt, daß CAD' B' ein Kreisviereck ist, und mithin gilt

auch die Kongruenz

(6*) ^OAB' =$:OD'C.

Aus (2*) und (6*) folgt

<£ OBÄ ~ «£ OAB'

und diese Kongruenz lehrt, daß BÄ und AB' einander parallel sind, wie
es der Pascalsche Satz verlangt.

Fällt B' mit einem der Punkte A', B', C zusammen, so wird eine
Abänderung dieses Schluß Verfahrens notwendig, die leicht ersichtlich ist1).

§ 15.
Die Streckenrechnung auf Grund des Pascalschen Satzes.

Der im vorigen Paragraph bewiesene Pascalsche Satz setzt uns
in den Stand, in die Geometrie eine Rechnung mit Strecken einzu-
führen, in der die Rechnungsregeln für reelle Zahlen sämtlich unverändert
gültig sind.

Statt des Wortes „kongruent" und des Zeichens = bedienen wir uns
in der Streckenrechnung des Wortes „gleich" und des Zeichens =.

Wenn A, B, C drei Punkte einer Geraden sind und B zwischen A
und C liegt, so bezeichnen wir c = AC _. w l

als die Summe der beiden Strecken . —

a = AB und b = BC und setzen < C* CL + b >

c = a + &•

1) Interesse verdient auch die Verwendung, die der Satz vom gemeinsamen Schnitt-
punkt der Höhen eines Dreieckes zur Begründung des Pascalschen Satzes bez. der Pro-
portionenlehre findet; man vergleiche hierüber F. Schur, Math. Ann. Bd. 57 und
J. Mollerup, Studier over den plane geometrics aksiomer, Kopenhagen 1903.

32 Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 15.

Die Strecken a und b heißen kleiner als c, in Zeichen:

a < c, b < c,
und c heißt größer als a und b, in Zeichen:

c > a, c > &.

Aus den linearen Kongruenzaxiomen III 1 — 3 entnehmen wir leicht,
daß für die eben definierte Addition der Strecken das assoziative
Gesetz

a + (b + c) - 0 + 6) + c

sowie das kommutative Gesetz

gültig ist.

Um das Produkt einer Strecke a in eine Strecke b geometrisch zu
definieren, bedienen wir uns folgender Konstruktion. Wir wählen zu-
nächst eine beliebige Strecke, die für die ganze Betrachtung die nämliche
bleibt, und bezeichnen dieselbe mit 1. Nunmehr tragen wir auf dem

einen Schenkel eines rechten Winkels
vom Scheitel 0 aus die Strecke 1
und ferner ebenfalls vom Scheitel 0
die Strecke b ab; sodann tragen wir
auf dem anderen Schenkel die Strecke a
ab. Wir verbinden die Endpunkte
der Strecken 1 und a durch eine
Gerade und ziehen zu dieser Geraden
durch den Endpunkt der Strecke b eine Parallele; dieselbe möge
auf dem anderen Schenkel eine Strecke c abschneiden: dann nennen wir
diese Strecke c das Produkt der Strecke a in die Strecke b und be-
zeichnen sie mit

c = ab.

Wir wollen vor allem beweisen, daß für die eben definierte Multi-
plikation der Strecken das kommutative Gesetz

ab = ba

gültig ist. Zu dem Zwecke konstruieren wir zuerst auf die oben fest-
gesetzte Weise die Strecke ab. Ferner tragen wir auf dem ersten Schenkel
des rechten Winkels die Strecke a und auf dem anderen Schenkel die
Strecke b ab, verbinden den Endpunkt der Strecke 1 mit dem Endpunkt
von b auf dem anderen Schenkel durch eine Gerade und ziehen zu dieser
Geraden durch den Endpunkt von a auf dem ersten Schenkel eine Pa-
rallele: dieselbe schneidet auf dem anderen Schenkel die Strecke ba ab;

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 15.

in der Tat fällt diese Strecke ba, wie untenstehende Figur zeigt, wegen
der Parallelität der punktierten Hilfslinien nach dem Pascalschen Satze
(Satz 21) mit der vorhin konstruierten Strecke ab zusammen. Auch um-
gekehrt folgt, wie man sofort sieht, aus der Gültigkeit des kommutativen
Gesetzes in unserer Streckenrechnung der Pascalsche Satz.

Um für unsere Multiplikation der Strecken das assoziative Gesetz

a(bc) = (ab)c
zu beweisen, tragen wir auf dem einen Schenkel des rechten Winkels vom
Scheitel 0 aus die Strecken 1 und b und auf dem anderen Schenkel
ebenfalls von 0 aus die Strecken a und c ab. Sodann konstruieren wir

0 cu 1 5

ab = ba

e-cb

ae-cd

\ \

d-ab

v\ \

S. V^

\ ^\ *N

/ d

die Strecken d = ab und e = cb und tragen diese Strecken d und e auf
dem ersteren Schenkel von 0 aus ab. Konstruieren wir sodann ae und
cd, so ist wiederum auf Grund des Pascalschen Satzes aus vorstehender
Figur ersichtlich, daß die Endpunkte dieser Strecken zusammenfallen,

ae = cd oder a(cb) = c(ab)
und hieraus folgt mit Zuhilfenahme des kommutativen Gesetzes auch

a(bc) = (ab)c 1).

1) Man vergleiche hierzu auch die Methoden zur Begründung der Proportionen-
lehre, die neuerdings von A. Kneser, Archiv für Math, und Phys., R. III, Bd. 2, und
J. Mollerup, Math. Ann., Bd. 56 sowie Studier over den plane geometrics aksiomer,
Kopenhagen 1903, angegeben worden sind und bei denen die Proportionengleichung
vorangestellt wird. F. Schur, Zur Proportionenlehre, Math. Ann. Bd. 57 bemerkt, daß
bereits Kupffer (Sitzungsber. der Naturforscherges. zu Dorpat 1893) das kommutative
Gesetz der Multiplikation richtig bewiesen hat. Jedoch ist Kupffers weitere Begrün-
dung der Proportionenlehre als unzureichend anzusehen.

Hubert, Grundlagen der Geometrie. 3

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 15.

Wie man sieht, haben wir im vorstehenden beim Nachweise sowohl
des kommutativen wie des assoziativen Gesetzes der Multiplikation ledig-
lich denjenigen speziellen Fall des Pascalschen Satzes benutzt, dessen Be-
weis auf S. 29 — 30 (§ 14) in besonders einfacher Weise durch einmalige
Anwendung des Kreisvierecksatzes gelang.

Durch eine geringe Umordnung des obigen Schluß Verfahrens erhält
man folgende ebenfalls sehr kurze Begründung der Multiplikationsgesetze
der Streckenrechnung.

Auf dem einen Schenkel eines rechten Winkels trage man vom
Scheitel 0 aus die Strecken a = OA und b = OB und außerdem auf
dem anderen Schenkel die Einheitsstrecke 1 = OC ab. Der durch A, B, C

gelegte Kreis schneide den letzteren
Schenkel noch im Punkte D. Der
Punkt D wird leicht in elementarer
Weise gewonnen, indem man vom
Mittelpunkt des Kreises das Lot auf
0 C fällt und an diesem den Punkt C
spiegelt. Die Strecke OD heiße das
Produkt der beiden Strecken a und &;
es gilt dann offenbar das kommuta-
tive Gesetz der Multiplikation

ab = ba.

Wegen der Gleichheit der Winkel
OCA und OBJ) stimmt diese Definition des Produktes mit der auf
S. 32 angegebenen überein. Die Gleichung

ab = ba
beweist nunmehr nach S. 33 oben den speziellen Fall (S. 29) des Pascal-
schen Satzes und aus diesem wiederum folgt nach S. 33 das assoziative

Gesetz der Multiplikation

a(bc) = (ab)c.

CL(btC)

b t c

a (b + c) = ab -f bc

bi-c

Endlich gilt in unserer
Streckenrechnung auch' das
distributive Gesetz

a (b -J- c) — ab -f- ac.
Um dasselbe zu beweisen,
konstruieren wir die Strecken
ab, ac und a (b -f- c) und
ziehen dann durch den End-
punkt der Strecke c (s. neben-
stehende Figur) eine Parallele

Kap. HI. Die Lehre von den Proportionen. § 15, 16.

zu dem anderen Schenkel des rechten Winkels. Die Kongruenz der beiden
rechtwinkligen in der Figur schraffierten Dreiecke und die Anwendung
des Satzes von der Gleichheit der Gegenseiten im Parallelogramm liefert
dann den gewünschten Nachweis.

Sind b und c zwei beliebige Strecken, so gibt es stets eine Strecke a,

sodaß c = ab wird: diese Strecke a wird mit ■=- bezeichnet und der

Quotient von c durch b genannt.

§ 16.
Die Proportionen und die Ähnlichkeitssätze.

Mit Hilfe der eben dargelegten Streckenrechnung läßt sich Euklids
Lehre von den Proportionen einwand sfrei und ohne Archimedisches Axiom
in folgender Weise begründen.

Erklärung. Sind a, b, d, b' irgend vier Strecken, so soll die
Proportion

a :b = d :b'

nichts anderes bedeuten als die Streckengleichung

ab' = bd.

Erklärung. Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn entsprechende
Winkel in ihnen kongruent sind.

Satz 22. Wenn a, b und d, b' entsprechende Seiten in zwei ähn-
lichen Dreiecken sind, so gilt die Proportion

a:b = d :b'.

Beweis. Wir betrachten zunächst den besonderen Fall, wo die von
a, b und d, b' eingeschlossenen Winkel in beiden Dreiecken Rechte sind,
und denken uns die beiden Dreiecke in ein und denselben rechten Winkel
eingetragen. Wir tragen sodann vom
Scheitel aus auf einem Schenkel die
Strecke 1 ab und ziehen durch den
Endpunkt dieser Strecke 1 die Parallele
zu den beiden Hypotenusen; dieselbe
schneide auf dem anderen Schenkel die
Strecke e ab; dann ist nach unserer
Definition des Streckenproduktes

b — ea, b' = ed]

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 16, 17.

mithin haben wir
d. h.

ab' = bd

a :b = d :b'.

Nunmehr kehren wir zu dem allgemeinen Falle zurück. Wir kon-
struieren in jedem der beiden ähn-
lichen Dreiecke den Schnittpunkt S
bez. ST der drei Winkelhalbierenden,
dessen Existenz aus dem Satze vom
gleichschenkligen Dreiecke leicht abzu-
leiten ist, und fällen von diesen die drei
Lote r bez. r auf die Dreiecksseiten;
die auf diesen entstehenden Abschnitte
bezeichnen wir mit

aö, »«I K, K, °a, Cb

<h'j ac'> Vi Vi ca', K-
Der vorhin bewiesene spezielle Fall unseres Satzes liefert dann die
Proportionen

bez.

ah:r = ah

bc:r = bc' : /
b„:r==bJ: r'

ac:r = ac :r
aus diesen schließen wir mittels des distributiven Gesetzes

a : r = d : r, b : r = b' : /
und folglich mit Rücksicht auf das kommutative Gesetz der Multiplikation

a :b = d :b\
Aus dem eben bewiesenen Satze 22 entnehmen wir leicht den Fun-
damentalsatz in der Lehre von den Proportionen, der wie folgt lautet:

Satz 23. Schneiden zivei Parallele auf den Schenkeln eines beliebigen
Winkels die Strecken a, b bez. d, V ab, so gilt die Proportion

a :b — d \V .

Umgekehrt, wenn vier Strecken a, b, d, b' diese Proportion erfüllen und
a, d und b, b' je auf einem Schenkel eines beliebigen Winkels abgetragen
werden, so sind die Verbindungsgeraden der Endpunkte von a, b bez. von
d, V einander parallel.

§ 17.

Die Gleichungen der Geraden und Ebenen.

Zu dem bisherigen System von Strecken fügen wir noch ein zweites
ebensolches System von Strecken hinzu; die Strecken des neuen Systems
denken wir uns durch ein Merkzeichen kenntlich gemacht und nennen

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 17.

sie dann „negative" Strecken zum Unterschiede von den bisher betrach-
teten „positiven11 Strecken. Führen wir noch die durch einen einzigen
Punkt bestimmte Strecke 0 ein, so gelten bei gehörigen Festsetzungen
in dieser erweiterten Streckenrechnung sämtliche Rechnungsregeln für
reelle Zahlen, die in § 13 zusammengestellt worden sind. Wir heben
folgende spezielle Tatsachen hervor:

Es ist stets a • 1 — 1 • a — a.

Wenn ab = 0, so ist entweder a = 0 oder b = 0.

Wenn a>& und c > 0, so folgt stets ac>bc.

Wir nehmen nun in einer Ebene a durch einen Punkt 0 zwei zu-
einander senkrechte Gerade als festes rechtwinkliges Achsenkreuz an
und tragen dann die beliebigen Strecken x, y von 0 aus auf den beiden
Geraden ab, und zwar nach der einen oder nach der anderen Seite hin,
je nachdem die abzutragende Strecke x bez. y positiv oder negativ ist;
sodann errichten wir die Lote in den Endpunkten der Strecken x, y und
bestimmen den Schnittpunkt P dieser Lote: die Strecken x, y heißen die
Koordinaten des Punktes P; jeder Punkt der Ebene a ist durch seine
Koordinaten x, y, die positive oder negative Strecken oder 0 sein können,
eindeutig bestimmt.

Es sei l irgend eine Gerade in der Ebene a, die durch 0 und durch
einen Punkt C mit den
Koordinaten a, b gehe.
Sind dann x, y die Ko-
ordinaten irgend eines
Punktes von l, so finden
wir leicht aus Satz 22

a : b — x : y
oder

bx — ay = 0

als die Gleichung der

Geraden l. Ist V eine

zu l parallele Gerade, die

auf der £-Achse die Strecke c abschneidet, so gelangen wir zu der

Gleichung der Geraden V, indem wir in der Gleichung der Geraden l die

Strecke x durch die Strecke x — c ersetzen; die gewünschte Gleichung

lautet also

bx — ay — bc = 0.

Aus diesen Entwicklungen schließen wir leicht auf eine Weise, die
von dem Archimedischen Axiom unabhängig ist, daß jede Gerade in einer
Ebene durch eine lineare Gleichung in den Koordinaten x, y dargestellt

38 Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 17.

wird und umgekehrt jede solche lineare Gleichung eine Gerade darstellt,
wobei die Koeffizienten derselben in der betreffenden Geometrie vor-
kommende Strecken sind.

Die entsprechenden Resultate beweist man ebenso leicht in der
räumlichen Geometrie.

Der weitere Aufbau der Geometrie kann von nun an nach den
Methoden geschehen, die man in der analytischen Geometrie gemeinhin
anwendet.

Wir haben bisher in diesem Kapitel III das Archimedische Axiom
nirgends benutzt; setzen wir jetzt die Gültigkeit desselben voraus, so
können wir den Punkten einer beliebigen Geraden im Räume reelle Zahlen
zuordnen und zwar auf folgende Art.

Wir wählen auf der Geraden zwei beliebige Punkte aus und ordnen
diesen die Zahlen 0 und 1 zu; sodann halbieren wir die durch sie be-
stimmte Strecke Ol und bezeichnen den entstehenden Mittelpunkt mit -§-,
ferner den Mittelpunkt der Strecke 0^ mit \ u. s. w.; nach w-maliger
Ausführung dieses Verfahrens gelangen wir zu einem Punkte, dem die

Zahl — zuzuordnen ist. Nun tragen wir die Strecke 0 — an den Punkt 0

sowohl nach der Seite des Punktes 1 als auch nach der anderen Seite
hin etwa m mal hintereinander ab und erteilen den so entstehenden Punkten

die Zahlenwerte — bezw. — — . Aus dem Archimedischen Axiom kann

2n 2n

leicht geschlossen werden, daß auf Grund dieser Zuordnung sich jedem
■fc*v-Ai beliebigen Punkte der Geraden in eindeutig bestimmter Weise eine reelle
Zahl zuordnen läßt und zwar so, daß dieser Zuordnung folgende Eigen-
schaft zukommt: wenn A, B, C irgend drei Punkte der Geraden und bez.
a, ß, y die zugehörigen reellen Zahlen sind und B zwischen A und G
liegt, so erfüllen diese Zahlen stets entweder die Ungleichung a < ß < y
oder a > ß > y.

Aus den Entwicklungen im Kap. II § 9 leuchtet ein, daß dort für
jede Zahl, die dem algebraischen Zahlkörper Sl angehört, notwendig ein
Punkt der Geraden existieren muß, dem sie zugeordnet ist. Ob auch
jeder anderen reellen Zahl ein Punkt entspricht, hängt davon ab, ob in der
vorgelegten Geometrie das Vollständigkeitsaxiom V 2 gilt oder nicht gilt.
Dagegen ist es, auch wenn man nur die Gültigkeit des Archimedischen
Axioms annimmt, stets möglich, das System von Punkten, Geraden und
Ebenen so durch „irrationale" Elemente zu erweitern, daß auf jeder
Geraden der entstehenden Geometrie jedem System von drei reellen
Zahlen ohne Ausnahme ein Punkt zugeordnet ist. Durch gehörige Fest-
setzung kann zugleich erreicht werden, daß in der erweiterten Geometrie

Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 18. 39

sämtliche Axiome I— V gültig sind. Diese (durch Hinzufügung der
irrationalen Elemente) erweiterte Geometrie ist keine andere als die ge-
wöhnliche analytische Cartesische Geometrie des Raumes, in welcher auch
das Vollständigkeitsaxiom V 2 gilt1).

Kapitel IV.
Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene.

§ 18.
Die Zerlegungsgleichheit und Inhaltsgleichheit von Polygonen.

Wir legen den Untersuchungen des gegenwärtigen Kapitels IV die-
selben Axiome wie im Kapitel III zu Grunde, nämlich die linearen und
ebenen Axiome sämtlicher Gruppen mit Ausnahme der Stetigkeitsaxiome,
d. h. die Axiome I 1 — 3 und II— IV.

Die im Kapitel III erörterte Lehre von den Proportionen und die da-
selbst eingeführte Streckenrechnung setzt uns in den Stand, die Euklidische
Lehre von den Flächeninhalten mittels der genannten Axiome, d. h. in
der Ebene und unabhängig von den Stetigkeitsaxiomen zu be-
gründen.

Da nach den Entwicklungen im Kapitel III die Lehre von den
Proportionen wesentlich auf dem Pascalschen Satze (Satz 21) beruht
so gilt dies auch für die Lehre von den Flächeninhalten; diese Begrün-
dung der Lehre von den Flächeninhalten erscheint mir als eine der
merkwürdigsten Anwendungen des Pascalschen Satzes in der Elementar-
geometrie.

Erklärung: Verbindet man zwei Punkte eines Polygons P durch
irgend einen Streckenzug, der ganz im Innern des Polygons verläuft, so
entstehen zwei neue Polygone P, und P2, deren innere Punkte alle im
Innern von P liegen; wir sagen: P zerfällt in Px und P2, oder Px
und P2 setzen P zusammen.

Erklärung. Zwei Polygone heißen zerlegungsgleich, wenn sie in
eine endliche Anzahl von Dreiecken zerlegt werden können, die paar-
weise einander kongruent sind.

Erklärung. Zwei Polygone heißen inhaltsgleich oder von gleichem
Inhalte, wenn es möglich ist, zu denselben zerlegungsgleiche Polygone

1) Vgl. die Bemerkungen am Schluß von § 8.

Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 18.

hinzuzufügen, so daß die beiden zusammengesetzten Polygone einander
zerlegungsgleich sind.

Aus den letzteren Erklärungen folgt sofort: durch Zusammenfügung
zerlegungsgleicher Polygone entstehen wieder zerlegungsgleiche Poly-
gone, und wenn man zerlegungsgleiche Polygone von zerlegungsgleichen
Polygonen wegnimmt, so sind die übrigbleibenden Polygone inhalts-
gleich.

Ferner gelten folgende Sätze:

Satz 24. Sind zwei Polygone Pt und P2 mit einem dritten Po-
lygon P3 zerlegungsgleich, so sind sie auch untereinander zerlegungs-
gleich. Sind zwei Polygone mit einem dritten inhaltsgleich, so sind sie
untereinander inhaltsgleich.

Beweis. Nach Voraussetzung läßt sich sowohl für Pu als auch
für P2 eine Zerlegung in Dreiecke angeben, so daß einer jeden dieser

beiden Zerlegungen je eine Zerlegung des Polygons P3 in kongruente
Dreiecke entspricht. Indem wir diese Zerlegungen von P3 gleichzeitig in
Betracht ziehen, wird im allgemeinen jedes Dreieck der einen Zerlegung
durch Strecken, welche der anderen Zerlegung angehören, in Polygone
zerlegt. Wir fügen nun noch so viele Strecken hinzu, daß jedes dieser
Polygone selbst wieder in Dreiecke zerfällt, und bringen dann die zwei
entsprechenden Zerlegungen in Dreiecke in Px und in P2 an; dann zer-
fallen offenbar diese beiden Polygone Pt und P2 in gleich viele paar-
weise einander kongruente Dreiecke und sind somit nach der Erklärung
einander zerlegungsgleich.

Der Beweis der zweiten Aussage des Satzes 24 ergibt sich nunmehr
ohne Schwierigkeit.

Wir erklären in der üblichen Weise die Begriffe: Rechteck, Grund-
linie und Höhe eines Pardllelogrammes, Grundlinie und Höhe eines Dreiecks.

Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 19. 41

§ 19.
Parallelogramme und Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe.

Die bekannte in den untenstehenden Figuren illustrierte Schlußweise
Euklids liefert den Satz:

Satz 25. Zwei Parallelogramme mit gleicher Grundlinie und Höhe
sind einander inhaltsgleich.

Ferner gilt die bekannte Tatsache:

Satz 26. Ein jedes Dreieck ABC ist stets einem gewissen Parallelo-
gramm mit gleicher Grundlinie und halber
Höhe zerlegungsgleich.

Beweis. Halbiert man AC in B und
BC in E und verlängert dann DE um sich
selbst bis F, so sind die Dreiecke BEC
und FBE einander kongruent und folglich

sind Dreieck A B C und Parallelogramm ^41? i<7_D / \ /

einander inhaltsgleich. / ]/

Aus Satz 25 und Satz 26 folgt mit Hin-
zuziehung von Satz 24 unmittelbar:

Satz 27. Zwei Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe sind
einander inhaltsgleich.

Bekanntlich zeigt man leicht, daß zwei Dreiecke mit gleicher Grund-
linie und Höhe auch stets zerlegungsgleich sind. Wir bemerken jedoch,
daß dieser Nachweis ohne Benutzung des Archimedischen Axioms nicht mög-
lich ist; in der Tat lassen sich in unserer Nicht- Archimedischen Geo-
metrie (vgl. Kap. II § 12) ohne Schwierigkeit zwei solche Dreiecke an-
geben, die gleiche Grundlinie und Höhe besitzen und folglich dem Satze 27
entsprechend inhaltsgleich, aber die dennoch nicht zerlegungsgleich
sind. Als Beispiel mögen zwei Dreiecke ABC und ABB mit der ge-
meinsamen Grundlinie AB = 1 und der gleichen Höhe 1 dienen, wenn
die Spitze C des ersteren Dreiecks senkrecht über A und im zweiten
Dreiecke der Fußpunkt F der von der Spitze B gefällten Höhe so ge-
legen ist, daß AF = t wird.

Wir erwähnen noch den leicht zu beweisenden Satz:

Satz 28. Zu einem beliebigen Dreiecke und mithin auch zu einem

42 Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 19, 20

beliebigen Polygon kann stets ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert
werden, das eine Kathete 1 besitzt und das mit dem Dreiecke bez. Po-
lygon inhaltsgleich ist.

Auch die übrigen Sätze aus der elementaren Geometrie über die
Inhaltsgleichheit von Polygonen, insbesondere der Pythagoräische Lehr-
satz sind leichte Folgerungen der eben aufgestellten Sätze. Wir begegnen
aber dennoch bei der weiteren Durchführung der Theorie der Flächen-
inhalte einer wesentlichen Schwierigkeit. Insbesondere lassen es unsere
bisherigen Betrachtungen dahingestellt, ob nicht etwa alle Polygone stets
einander inhaltsgleich sind. In diesem Falle wären die sämtlichen vorhin
aufgestellten Sätze nichtssagend und ohne Bedeutung. Hiermit hängt die
Frage zusammen, ob zwei inhaltsgleiche Rechtecke mit einer gemein-
schaftlichen Seite auch notwendig in der anderen Seite übereinstimmen,
d. h., ob ein Rechteck durch eine Seite und den Flächeninhalt eindeutig
bestimmt ist.

Wie die nähere Überlegung zeigt, bedarf man zur Beantwortung
der aufgeworfenen Fragen der Umkehrung des Satzes 27, die folgender-
maßen lautet:

Satz 29. Wenn zwei inhaltsgleiche Dreiecke gleiche Grundlinie haben,
so haben sie auch gleiche Höhe.

Dieser fundamentale Satz 29 findet sich im ersten Buch der Elemente
des Euklid als 39ster Satz; beim Beweise desselben beruft sich jedoch
Euldid auf den allgemeinen Größensatz: „Kai tö olov tov [isgovg iielt,6v
itfTLv" — ein Verfahren, welches auf die Einführung eines neuen geo-
metrischen Axioms über Flächeninhalte hinausläuft.

Es gelingt nun, den Satz 29 und damit die Lehre von den Flächen-
inhalten auf dem hier von uns in Aussicht genommenen Wege, d. h.
lediglich mit Hilfe der ebenen Axiome ohne Benutzung des Archimedischen
Axioms zu begründen. Um dies einzusehen, haben wir den Begriff des
Inhaltsmaßes nötig.

§ 20.
Das Inhaltsmaß von Dreiecken nnd Polygonen.

Erklärung: Wenn wir in einem Dreieck ABC mit den Seiten
a, b, c die beiden Höhen ha = AD, hb = JBE konstruieren, so folgt
aus der Ähnlichkeit der Dreiecke BCE und ACD nach Satz 22 die
Proportion

a:hb = b:ha,
d. h.

Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 20.

mithin ist in jedem Dreiecke das Produkt aus einer Grundlinie und der
zu ihr gehörigen Höhe davon unabhängig, welche Seite des Dreiecks man
als Grundlinie wählt. Das halbe Produkt aus
Grundlinie und Höhe eines Dreiecks z/ ist
also eine für das Dreieck charakteristische
Strecke; sie heiße das InJidltsmaß des Drei-
ecks z/ und werde mit J (z/) bezeichnet.

Erklärung. Eine Strecke, welche eine
Ecke eines Dreiecks mit einem Punkte der
gegenüberliegenden Seite verbindet, heißt
Transversale des Dreiecks; dieselbe zerlegt das Dreieck in zwei Dreiecke
mit gemeinsamer Höhe, deren Grundlinien in dieselbe Gerade fallen; eine
solche Zerlegung heiße eine transversale Zerlegung des Dreiecks.

Satz 30. Wenn ein Dreieck z/ durch beliebige Gerade irgendwie in
eine gewisse endliche Anzahl von Dreiecken zlk zerlegt wird, so ist stets
das Inhaltsmaß des Dreiecks z/ gleich der Summe der Inhaltsmaße der
sämtlichen Dreiecke zlk.

Beweis. Aus dem distributiven Gesetze in unserer Streckenrech-
nung folgt unmittelbar, daß das Inhaltsmaß eines beliebigen Dreiecks
gleich der Summe der Inhaltsmaße zweier
solcher Dreiecke ist, die durch irgendwelche
transversale Zerlegung aus jenem Dreieck
hervorgehen. Die wiederholte Anwendung
dieser Tatsache zeigt, daß das Inhaltsmaß
eines beliebigen Dreiecks auch gleich der
Summe der Inhaltsmaße der sämtlichen Drei-
ecke ist, die aus dem vorgelegten Dreiecke entstehen, wenn man
nacheinander beliebig viele transversale Zerlegungen ausführt.

Um nun den entsprechenden Nachweis für
die beliebige Zerlegung des Dreiecks z/ in Drei-
ecke Ak zu erbringen, ziehen wir von der einen
Ecke A des Dreieckes z/ durch jeden Teilpunkt
der Zerlegung, d. h. durch jeden Eckpunkt der
Dreiecke Ak eine Transversale; durch diese Trans-
versalen zerfällt das Dreieck z/ in gewisse Drei-
ecke z/r Jedes dieser Dreiecke At zerfällt durch
die Teilstrecken der gegebenen Zerlegung in
gewisse Dreiecke und Vierecke. Wenn wir in A1
den Vierecken noch je eine Diagonale kon-
struieren, so zerfällt jedes Dreieck At in gewisse Dreiecke Ats. Wir wollen
nun zeigen, daß die Zerlegung in Dreiecke Ju sowohl für die Dreiecke At

44 Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 20.

als auch für die Dreiecke /ik nichts anderes als eine Kette von transver-
salen Zerlegungen bedeutet.

In der Tat, zunächst ist klar, daß jede Zerlegung eines Dreiecks in
Teildreiecke stets durch eine Reihe von transversalen Zerlegungen be-
wirkt werden kann, wenn bei der Zerlegung im Inneren des Dreiecks
keine Teilpunkte liegen und überdies wenigstens eine Seite des Dreiecks
von Teilpunkten frei bleibt.

Nun ist für die Dreiecke dt unsere Behauptung aus dem Umstände
ersichtlich, daß für jedes derselben das Innere sowie eine Seite, nämlich
die dem Punkte A gegenüberliegende Seite von weiteren Teilpunkten
frei ist.

Aber auch für jedes zfk ist die Zerlegung in Au auf transversale
Zerlegungen zurückführbar. Betrachten wir nämlich ein Dreieck zJk, so
wird es unter den von A ausgehenden Transversalen im Dreieck A eine
bestimmte Transversale geben, in welche entweder eine Seite von /ik
hineinfällt oder welche selbst das Dreieck /ik in zwei Dreiecke zerlegt.
Im ersten Falle bleibt die betreffende Seite des Dreiecks Ak überhaupt
frei von weiteren Teilpunkten bei der Zerlegung in Dreiecke z/,s; im
letzteren Falle ist die im Inneren des Dreiecks /Jk verlaufende Strecke
jener Transversalen in den beiden entstehenden Dreiecken eine Seite,
die bei der Teilung in Dreiecke <dts von weiteren Teilpunkten gewiß
frei bleibt.

Nach der am Anfang dieses Beweises angestellten Betrachtung ist
das Inhaltsmaß J(z/) des Dreiecks z/ gleich der Summe aller Inhalts-
maße J {/!}) der Dreiecke z/,, und diese Summe ist gleich der Summe
aller Inhaltsmaße J(zlts). Andererseits ist auch die Summe über die
Inhaltsmaße J (z/A.) aller Dreiecke /lk gleich der Summe aller Inhalts-
maße J(Ats), und hieraus folgt endlich, daß das Inhaltsmaß J '(z/) auch
gleich der Summe aller Inhaltsmaße J(<4k) ist. Damit ist der Beweis
des Satzes 30 vollständig erbracht.

Erklärung. Definieren wir das Inhaltsmaß J (P) eines Polygons
als die Summe der Inhaltsmaße aller Dreiecke, in die dasselbe bei einer
bestimmten Zerlegung zerfällt, so erkennen wir auf Grund des Satzes 30
durch eine ähnliche Schlußweise, wie wir sie in § 18 beim Beweise des
Satzes 24 angewandt haben, daß das Inhaltsmaß eines Polygons von der
Art der Zerlegung in Dreiecke unabhängig ist und mithin allein durch
das Polygon sich eindeutig bestimmt. Aus dieser Erklärung entnehmen
wir vermittels des Satzes 30 die Tatsache, daß zerlegungsgleiche
Polygone gleiches Inhaltsmaß haben.

Sind ferner P und Q zwei inhaltsgleiche Polygone, so muß es nach
der Erklärung zwei zerlegungsgleiche Polygone P' und Q' geben, so daß

Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 20, 21. 45

das aus P und P' zusammengesetzte Polygon (P + P') mit dem aus
Q und Q' zusammengesetzten Polygon (Q + $') zerlegungsgleich ausfällt.
Aus den beiden Gleichungen

J{P+P') = J{Q+Q'),

J(P') = J(Q')
schließen wir leicht

J(P) = J(Q),

d. h. inhaltsgleiche Polygone haben gleiches Inhaltsraaß.

§ 21.

Die Inhaltsgleichheit und das Inhaltsmaß.

In § 20 haben wir gefunden, daß inhaltsgleiche Polygone stets

gleiches Inhaltsmaß haben. Aus dieser Tatsache entnehmen wir un-

mittelbar den Beweis des Satzes 29. Bezeichnen wir nämlich die gleiche

Grundlinie der beiden Dreiecke mit g, die zugehörigen Höhen mit h

und h', so schließen wir aus der angenommenen Inhaltsgleichheit der

beiden Dreiecke, daß dieselben auch gleiches Inhaltsmaß haben müssen,

d. h. es folgt:

±gh - Igh'

und mithin nach Division durch \g

h = h'\

dies ist die Aussage des Satzes 29.

Auch läßt sich nunmehr die am Schluß von § 20 gemachte Aussage
umkehren. In der Tat, seien P und Q zwei Polygone mit gleichem
Inhaltsmaß, so konstruieren wir gemäß Satz 28 zwei rechtwinklige Drei-
ecke A und E, von denen jedes eine Kathete 1 besitzt und so daß das
Dreieck A mit dem Polygon P und das Dreieck JE mit dem Polygon Q
inhaltsgleich ist. Aus dem am Schluß von § 20 bewiesenen Satze folgt
dann, daß A mit P und ebenso E mit Q gleiche Inhaltsmaße haben.
Wegen des gleichen Inhaltsmaßes von P und Q folgt hieraus, daß auch
A und E gleiches Inhaltsmaß haben. Da nun diese beiden rechtwinkligen
Dreiecke in der Kathete 1 übereinstimmen, so stimmen notwendig auch
ihre anderen Katheten überein, d. h. die beiden Dreiecke A und E sind
einander kongruent und mithin sind nach Satz 24 die beiden Polygone P
und Q einander inhaltsgleich.

Die beiden in diesem und dem vorigen Paragraph gefundenen Tat-
sachen fassen wir in den folgenden Satz zusammen:

Satz 31. Zum inhaltsgleiche Polygone haben stets das gleiche Inhalts-
maß und zwei Polygone mit gleichem Mialtsmaß sind stets einander
inhaltsgleich.

Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 21.

Insbesondere müssen zwei inhaltsgleiche Rechtecke mit einer gemein-
samen Seite auch in den anderen Seiten übereinstimmen. Auch folgt
der Satz:

Satz 32. Zerlegt man ein Rechteck durch Gerade in mehrere Drei-
ecke und läßt auch nur eines dieser Dreiecke fort, so kann man mit den
übrigen Dreiecken das Rechteck nicht mehr ausfüllen1).

Dieser Satz ist von de Zolt2) und von 0. Stolz5) als Axiom hingestellt
und von F. Schur*) und W. Killingb) mit Hilfe des Archimedischen
Axioms bewiesen worden. Im vorstehenden ist gezeigt, daß derselbe völlig
unabhängig von dem Archimedischen Axiom gilt.

Zum Beweise der Sätze 29, 30, 31 haben wir wesentlich die in
Kapitel III § 15 eingeführte Streckenrechnung benutzt, und da diese im
wesentlichen auf dem Pascalschen Satze (Satz 21) beruht, so erweist sich
für die Lehre von den Flächeninhalten der Pascalsche Satz als der wich-
tigste Baustein.

Wir erkennen leicht, daß auch umgekehrt aus den Sätzen 27 und 29
der Pascalsche Satz wieder gewonnen werden kann. In der Tat, aus der

Parallelität der Geraden CB>
und C B folgt nach Satz 27
die Inhaltsgleichheit der Drei-
ecke OBB' und OCC; eben-
so folgt aus der Parallelität
der Geraden CA und AC
die Inhaltsgleichheit der Drei-
ecke OAA und OCC Da
hiernach auch die Dreiecke
OAA und OBB' einander
inhaltsgleich sind, so ergibt
Satz 29, daß auch BA' zu AB' parallel sein muß.

Von zwei nicht inhaltsgleichen Polygonen P und Q nennen wir P
inhaltskleiner bez. inhaltsgrößer als Q, je nachdem das Inhaltsmaß J (P)
kleiner oder größer als J (Q) ausfällt. Es ist nach dem vorstehenden klar,
daß die Begriffe inhaltsgleich, inhaltskleiner und inhaltsgrößer sich gegen-

1) Hinsichtlich der merkwürdigen Rolle, die dieser Satz 32 behufs Ergänzung
der sogenannten „Kongruenzsätze im engeren Sinne" spielt, vergleiche man den
Schluß von Anhang II S. 105—106.

2) Principii della eguaglianza di polizoni preceduti da alcuni critici sulla teoria
della equivalenza geometrica. Milano, Briola 1881. Vgl. auch Principii della eguaglianza
di poliedri e di polizoni sferici. Milano, Briola 1883.

3) Monatshefte für Math, und Phys., Jahrgang 5, 1894.

4) Sitzungsberichte der Dorpater Naturf. Ges. 1892.

5) Grundlagen der Geometrie, Bd. 2, Abschnitt 5, § 5, 1898.

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 22. 47

seitig ausschließen. Ferner erkennen wir leicht, daß ein Polygon, welches
ganz im Inneren eines anderen Polygons liegt, stets inhaltskleiner als
dieses sein muß.

Hiermit haben wir die wesentlichen Sätze der Lehre von den Flächen-
inhalten in der Ebene begründet.

Bereits Gauß hat die Aufmerksamkeit der Mathematiker auf die ent-
sprechende Frage für den Raum gelenkt. Ich habe die Vermutung der
Unmöglichkeit einer analogen Begründung der Lehre von den Inhalten
im Räume ausgesprochen und die bestimmte Aufgabe1) gestellt, zwei
Tetraeder mit gleicher Grundfläche und von gleicher Höhe anzugeben, die
sich auf keine Weise in kongruente Tetraeder zerlegen lassen, und die
sich auch durch Hinzufügung kongruenter Tetraeder nicht zu solchen
Polyedern ergänzen lassen, für die ihrerseits eine Zerlegung in kongruente
Tetraeder möglich ist.

M. Dehn2) ist dieser Nachweis in der Tat gelungen; er hat damit in
strenger Weise die Unmöglichkeit dargetan, die Lehre von den räumlichen
Inhalten so zu begründen, wie dies im vorstehenden für die ebenen Inhalte
geschehen ist.

Hiernach wären zur Behandlung der analogen Fragen für den Raum
andere Hilfsmittel, etwa das Cavalierische Prinzip heranzuziehen.

Kapitel V.
Der Desarguessche Satz.

§ w.

Der Desarguessche Satz und der Beweis desselben in der Ebene

mit Hilfe der Kongruenzaxiome.

Von den im Kapitel I aufgestellten Axiomen sind diejenigen der
Gruppen II — V sämtlich teils lineare, teils ebene Axiome; die Axiome 4
— 8 der Gruppe I sind die einzigen räumlichen Axiome. Um die Be-
deutung dieser räumlichen Axiome klar zu erkennen, denken wir uns
irgend eine ebene Geometrie vorgelegt und untersuchen allgemein die
Bedingungen dafür, daß diese ebene Geometrie sich als Teil einer räum-
lichen Geometrie auffassen läßt, in welcher die Axiome der Gruppen I— II,
IV sämtlich erfüllt sind.

1) Vgl. meinen Vortrag „Mathematische Prohleme" Nr. 3.

2) Über raumgleiche Polyeder, Göttinger Nachr. 1900, sowie Über den Raum-
inhalt, Math. Ann. Bd. 55. 1902. Vgl. ferner Kagan, Math. Ann. Bd. 57.

48 Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 22.

Auf Grund der Axiome der Gruppen I — II, IV ist es bekanntlich leicht
möglich, den sogenannten Desarguesschen Satz zu beweisen; derselbe ist
ein ebener Schnittpunktsatz. Wir nehmen insbesondere die Gerade, auf
der die Schnittpunkte entsprechender Seiten der beiden Dreiecke liegen
sollen, zur „Unendlichfernen", wie man sagt, und bezeichnen den so ent-
stehenden Satz nebst seiner Umkehrung schlechthin als Desarguesschen
Satz; dieser Satz lautet wie folgt:

Satz 33. (Desarguesscher Satz.) Wenn zwei Dreiecke in einer
Ebene so gelegen sind, daß je zwei entsprechende Seiten einander parallel
sind, so laufen die Verbindungslinien der entsprechenden Ecken durch ein
und denselben Punkt oder sind einander parallel, und umgekehrt:

Wenn zwei Dreiecke in einer Ebene so gelegen sind, daß die Ver-
bindungslinien der entsprechenden Ecken durch einen Punkt laufen oder

einander parallel sind, und wenn
ferner zwei Paare entsprechender
Seiten in den Dreiecken parallel
sind, so sind auch die dritten
Seiten der beiden Dreiecke ein-
ander parallel.

Wie bereits erwähnt, ist
der Satz 33 eine Folge der
Axiome I, II, IV; dieser Tatsache
gemäß ist die Gültigkeit des
Desarguesschen Satzes in der Ebene jedenfalls eine notwendige Be-
dingung dafür, daß die Geometrie dieser Ebene sich als Teil einer räum-
lichen Geometrie auffassen läßt, in welcher die Axiome der Gruppen I,
II, IV sämtlich erfüllt sind.

Wir nehmen nun wie in den Kapiteln III und IV eine ebene
Geometrie an, in welcher die Axiome I 1 — 3 und II — IV gelten, und
denken uns in derselben nach § 15 eine Streckenrechnung eingeführt:
dann läßt sich, wie in § 17 dargelegt worden ist, jedem Punkte der Ebene
ein Paar von Strecken (x, y) und jeder Geraden ein Verhältnis von drei
Strecken (u : v : w), wobei u, v nicht beide Null sind, zuordnen derart, daß
die lineare Gleichung

ux + vy -j- w = 0

die Bedingung für die vereinigte Lage von Punkt und Gerade darstellt.
Das System aller Strecken in unserer Geometrie bildet nach § 17 einen
Zahlenbereich, für welchen die in § 13 aufgezählten Eigenschaften 1 — 16
bestehen, und wir können daher mittels dieses Zahlenbereiches, ähnlich
wie es in § 9 oder § 12 mittels des Zahlensystems £1 bez. Sl (f) geschehen
ist, eine räumliche Geometrie konstruieren: wir setzen zu dem Zwecke

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 22, 23. 49

fest, daß ein System von drei Strecken (x, y} z) einen Punkt, die Ver-
hältnisse von vier Strecken (u : v : w : r) eine Ebene darstellen möge,
während die Geraden als Schnitte zweier Ebenen definiert sind; dabei
drückt die lineare Gleichung

ux + vy + w£ -f r = 0

aus, daß der Punkt (x,y,z) auf der Ebene (u : v : w : r) liegt. Was end-
lich die Anordnung der Punkte auf einer Geraden oder der Punkte einer
Ebene in Bezug auf eine Gerade in ihr oder endlich die Anordnung der
Punkte in Bezug auf eine Ebene im Räume anbetrifft, so wird diese in
analoger Weise durch Ungleichungen zwischen Strecken bestimmt, wie
dies in § 9 für die Ebene geschehen ist.

Da wir durch das Einsetzen des Wertes e = 0 die ursprüngliche
ebene Geometrie wieder gewinnen, so erkennen wir, daß unsere ebene
Geometrie als Teil einer räumlichen Geometrie betrachtet werden kann.
Nun ist hierfür die Gültigkeit des Desarguesschen Satzes nach den obigen
Ausführungen eine notwendige Bedingung, und daher folgt, daß in der
angenommenen ebenen Geometrie auch der Desarguessche Satz gelten muß.

Wir bemerken, daß die eben gefundene Tatsache sich auch direkt
aus dem Satze 23 in der Lehre von den Proportionen ohne Mühe ab-
leiten läßt.

§ 23.

Die Nichtbeweisbarkeit des Desarguesschen Satzes in der Ebene
ohne Hilfe der Kongruenzaxiome.

Wir untersuchen nun die Frage, ob in der ebenen Geometrie auch
ohne Hilfe der Kongruenzaxiome der Desarguessche Satz bewiesen werden
kann, und gelangen dabei zu folgendem Resultate:

Satz 34. Es gibt eine ebene Geometrie, in welcher die Axiome I 1 — 3,
II, III 1 — 5, IV, V, d. h. sämtliche linearen und ebenen Axiome mit Aus-
nahme des Kongruenzaxioms III 6 erfüllt sind, während der Desarguessche
Satz (Satz 32) nicht gilt. Der Desarguessche Satz Jcann mithin aus den
genannten Axiomen allein nicht gefolgert werden: es bedarf zum Beweise
desselben notwendig entweder der räumlichen Axiome oder des Axioms III 6
über die Kongruenz der Dreiecke.

Beweis. Wir wählen in der gewöhnlichen ebenen Geometrie, deren
Möglichkeit bereits im Kapitel II § 9 erkannt worden ist, irgend zwei
zu einander senkrechte Gerade als Koordinatenachsen X, Y und denken
uns um den Nullpunkt 0 dieses Koordinatensystems als Mittelpunkt eine
Ellipse z. B. mit den Halbachsen 1 und -\ konstruiert; endlich bezeichnen wir

Hubert, Grundlagen der Geometrie. 4

50 Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 23.

mit F den Punkt, welcher in der Entfernung f von 0 auf der positiven
X-Achse liegt.

Wir fassen nun die Gesamtheit aller Kreise ins Auge, welche die
Ellipse in vier reellen — getrennten oder beliebig zusammenfallenden —
Punkten schneiden, und suchen unter allen auf diesen Kreisen gelegenen
Punkten denjenigen Punkt zu bestimmen, der auf der positiven X-Achse
am weitesten vom Nullpunkt entfernt ist. Zu dem Zwecke gehen wir
von einem beliebigen Kreise aus, der die Ellipse in vier Punkten schneidet
und die positive X-Achse im Punkte C treffen möge. Diesen Kreis denken
wir uns dann um den Punkt C derart gedreht, daß zwei von den vier
Schnittpunkten oder mehr in einen einzigen Punkt A zusammenfallen,
während die übrigen reell bleiben. Der so entstehende Berührungskreis
werde alsdann vergrößert derart, daß stets der Punkt A Berührungspunkt
mit der Ellipse bleibt; hierdurch gelangen wir notwendig zu einem
Kreise, der die Ellipse entweder noch in einem anderen Punkte B be-
rührt oder in A mit der Ellipse eine vierpunktige Berührung aufweist
und der überdies die positive X-Achse in einem entfernteren Punkte
als C trifft. Der gesuchte entfernteste Punkt wird sich demnach unter
denjenigen Punkten befinden, die von den doppeltberührenden außerhalb
der Ellipse verlaufenden Kreisen auf der positiven X-Achse ausgeschnitten
werden. Die doppeltberührenden außerhalb der Ellipse verlaufenden Kreise
liegen nun, wie man leicht sieht, sämtlich zur Y- Achse symmetrisch. Es
seien a, b die Koordinaten irgend eines Punktes der Ellipse: dann lehrt
eine leichte Rechnung, daß der in diesem Punkte berührende zur Y-Achse
symmetrische Kreis auf der positiven X-Achse die Strecke

x=\yi+ 3Ö2|

abschneidet. Der größtmögliche Wert dieses Ausdrucks tritt für b = *-
ein und wird somit gleich ■§• | yl | , Da der vorhin mit F bezeichnete
Punkt auf der X-Achse die Abscisse f h> -£ | "|/7 r| aufweist, so folgt, daß
unter den die Ellipse viermal treffenden Kreisen sich gewiß
keiner befindet, der durch den Punkt F läuft.

Nunmehr stellen wir uns eine neue ebene Geometrie in folgender
Weise her. Als Punkte der neuen Geometrie nehmen wir die Punkte
der X Y- Ebene; als Gerade der neuen Geometrie nehmen wir diejenigen
Geraden der XY-Ebene unverändert, welche die feste Ellipse berühren
oder gar nicht treffen; ist dagegen g eine Gerade der XY-Ebene, die
die Ellipse in zwei Punkten P und Q trifft, so konstruieren wir durch
P, Q und den festen Punkt F einen Kreis; dieser Kreis hat, wie aus
dem oben Bewiesenen hervorgeht, keinen weiteren Punkt mit der Ellipse
gemein. Wir denken uns nun an Stelle des zwischen P und Q innerhalb

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 23.

der Ellipse gelegenen Stückes der Geraden g denjenigen Bogen des eben
konstruierten Kreises gesetzt, der zwischen P und Q innerhalb der Ellipse
verläuft. Den Linienzug, welcher aus den beiden von P und Q aus-
gehenden unendlichen Stücken der Geraden g und dem eben konstruierten
Kreisbogen PQ besteht, nehmen wir als Gerade der neu herzustellenden
Geometrie. Denken wir uns für alle Geraden der XY-Ebene die ent-
sprechenden Linienzüge konstruiert, so entsteht ein System von Linien-

zügen, welche, als Gerade einer Geometrie aufgefaßt, offenbar den
Axiomen I 1 — 2 und III genügen. Bei Festsetzung der natürlichen An-
ordnung für die Punkte und Geraden in unserer neuen Geometrie er-
kennen wir unmittelbar, daß auch die Axiome II gültig sind.

Ferner nennen wir zwei Strecken AB und AB' in unserer neuen
Geometrie kongruent, wenn der zwischen A und B verlaufende Linienzug
die gleiche natürliche Länge hat, wie der zwischen A' und B' verlaufende
Linienzug.

Endlich bedürfen wir einer Festsetzung betreffs der Kongruenz der
Winkel. Sobald keiner von den Scheiteln der zu vergleichenden Winkel

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 23.

auf der Ellipse liegt, nennen wir zwei Winkel einander kongruent, wenn
sie im gewöhnlichen Sinne einander gleich sind. Im anderen Falle treffen
wir folgende Festsetzung. Es mögen die Punkte A, B, G in dieser Reihen-
folge und die Punkte Ä, B', C in dieser Reihenfolge je auf einer Geraden
unserer neuen Geometrie liegen; D sei ein Punkt außerhalb der Geraden
ABC und I)' ein Punkt außerhalb der Geraden A'B'C: dann mögen
für die Winkel zwischen diesen Geraden in unserer neuen Geometrie die
Kongruenzen

$:abd = $:äb'd' und <£Cbd = cb'd'

gelten, sobald für die natürlichen Winkel zwischen den entsprechenden
Linienzügen in der gewöhnlichen Geometrie die Proportion

<£ ABB : <$: CBB = £ ÄB'B' : <£ C 'B ' B'

erfüllt ist. Bei diesen Festsetzungen sind auch die Axiome III 1 — 5 und
V gültig.

Um einzusehen, daß in unserer neu hergestellten Geometrie der
Desarguessche Satz nicht gilt, betrachten wir folgende drei gewöhnliche

gerade Linien in der XF-Ebene:
die X-Achse, die Y-Achse und
die Gerade, welche die beiden
Ellipsenpunkte x — •£ , y = f und
x = — | , ?/ = — f mit einander
verbindet. Da diese drei gewöhn-
lichen geraden Linien durch den
Nullpunkt 0 laufen, so können
wir leicht zwei solche Dreiecke
angeben, deren Ecken bez. auf
jenen drei Geraden liegen, deren
entsprechende Seiten paarweise
einander parallel laufen und die
sämtlich außerhalb der Ellipse ge-
legen sind. Da die Linienzüge,
welche aus den genannten drei
geraden Linien entspringen, sich, wie die Figur auf S. 53 zeigt und wie
man leicht durch Rechnung bestätigt, nicht in einem Punkte treffen, so
folgt, daß der Desarguessche Satz in der neuen ebenen Geometrie für die
beiden vorhin konstruierten Dreiecke gewiß nicht gilt.

Die von uns hergestellte ebene Geometrie dient zugleich als Beispiel
einer ebenen Geometrie, in welcher die Axiome I 1 — 3, II, III 1 — 5, IV, V

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 23, 24.

gültig sind, und die sich doch nicht als Teil einer räumlichen Geo-
metrie auffassen läßt.

§ 24.

Einführung einer Streckenrechnung ohne Hilfe der Kongruenzaxiome auf
Grund des Desarguesschen Satzes.

Um die Bedeutung des Desarguesschen Satzes (Satz 33) vollständig
zu erkennen, legen wir eine ebene Geometrie zu Grunde, in welcher die
Axiome I 1 — 3, II, IV, d. h. die sämtlichen linearen und ebenen Axiome
außer den Kongruenz- und Stetigkeitsaxiomen gültig sind, und führen in
diese Geometrie unabhängig von den Kongruenzaxiomen auf fol-
gende Weise eine neue Streckenrechnung ein.

Wir nehmen in der Ebene zwei feste Geraden an, die sich in dem
Punkte 0 schneiden mögen, und rechnen im folgenden nur mit solchen
Strecken, deren Anfangspunkt 0 ist und deren Endpunkte auf einer dieser
beiden festen Geraden beliebig liegen. Auch den Punkt 0 allein bezeichnen
wir als Strecke und nennen ihn dann die Strecke 0, in Zeichen

00 = 0 oder 0=00.

Es seien E und E' je ein bestimmter Punkt auf den festen Geraden
durch 0; dann bezeichnen wir die beiden Strecken OE und OE' als die
Strecken 1, in Zeichen:

OE = OE' = 1 oder 1 = OE = OE'.

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 24.

CL+b,C',

Die Gerade EE' nennen wir kurz die Einheitsgerade. Sind ferner A und
Ä Punkte auf den Geraden OE bez. OE' und läuft die Verbindungs-
gerade AA' parallel zu EE', so nennen wir die Strecken OA und OA
einander gleich, in Zeichen:

OA^OA' oder OA' = OA.

Um zunächst die Summe der Strecken a = OA und b = OB zu de-
finieren, konstruiere man AÄ parallel zur Einheitsgeraden EE' und ziehe

sodann durch Ä eine Parallele zu OE
und durch B eine Parallele zu OE'.
Diese beiden Parallelen mögen sich
in A" schneiden. Endlich ziehe man
durch A" zur Einheitsgeraden EE'
eine Parallele; dieselbe treffe die festen
Geraden OE und OE' in C und C:
dann heiße c= 0C= OC die Summe
der Strecke a = OA mit der Strecke
b = OB, in Zeichen:
c = a -\-b oder a -\-b = c.

Um das Produkt einer Strecke a = 0 A in eine Strecke b = OB zu
definieren, bedienen wir uns genau der in § 15 angegebenen Konstruktion,

nur daß an Stelle der

ccb,C

Schenkel des rechten
Winkels hier die bei-
den festen Geraden OE
und OE' treten. Die
Konstruktion ist dem-
nach folgende. Man
bestimme auf OE' den
Punkt Ä, so daß AA'
parallel der Einheits-
geraden EE' wird, verbinde E mit A' und ziehe durch B eine Parallele
zu EA'] trifft diese Parallele die feste Gerade OE' im Punkte C, so
heißt c = OC das Produkt der Strecke a = OA in die Strecke b = OB,
in Zeichen:

c = ab oder ab = c.

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 25.

§ 25.

Das konmmtative und assoziative Gesetz der Addition in der neuen

Streckenrechnung.

Wir untersuchen jetzt, welche von den in § 13 aufgestellten Rech-
nungsgesetzen für unsere neue Streckenrechnung gültig sind, wenn wir
eine ebene Geometrie zu Grunde legen, in der die Axiome I 1 — 3, II — IV
erfüllt sind und überdies der Desarguessche Satz gilt.

Vor allem wollen wir beweisen, daß für die in § 24 definierte Addi-
tion der Strecken das kommutative Gesetz

a -\-b = b -\- a
gilt. Es sei

a = 0 A = OÄ,

& = OB= OB',

wobei unserer Festsetzung entsprechend AÄ und BB' der Einheitsgeraden
parallel sind. Nun konstruieren wir die Punkte Ä' und B", indem wir
ÄÄ' sowie B'B" parallel OA und ferner
AB" und BA" parallel OÄ ziehen; wie
man sofort sieht, sagt dann unsere Be-
hauptung aus, daß die Verbindungslinie
Ä'B" parallel mit A A' läuft. Die Rich-
tigkeit dieser Behauptung erkennen wir
auf Grund des Desarguesschen Satzes
(Satz 32) wie folgt. Wir bezeichnen den
Schnittpunkt von AB" und ÄÄ' mit F
und den Schnittpunkt von BA" und
B'B" mit Dj dann sind in den Drei-
ecken AÄF und BB'D die entsprechenden Seiten einander parallel.
Mittels des Desarguesschen Satzes schließen wir hieraus, daß die drei
Punkte 0, F, D in einer Geraden liegen. Infolge dieses Umstandes liegen
die beiden Dreiecke OAÄ und DB'Ä" derart, daß die Verbindungs-
linien entsprechender Ecken durch den nämlichen Punkt F laufen und da
überdies zwei Paare entsprechender Seiten, nämlich OA und DB" sowie
OÄ und DA" einander parallel sind, so laufen nach der zweiten Aussage
des Desarguesschen Satzes (Satz 32) auch die dritten Seiten AÄ und
B'Ä' einander parallel.

Zum Beweise des assoziativen Gesetzes der Addition

a + (b + c) = (a + b) + c

dient die Figur auf S. 56. Mit Berücksichtigung des eben bewiesenen

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 25, 26.

CL+b+C

cv c cz+ft j)+c

a + (6 + c) = (o + b) + c

kommutativen Gesetzes der Ad-
dition spricht sich die obige
Behauptung, wie man sieht,
darin aus, daß die Gerade A"B"
parallel der Einheitsgeraden ver-
laufen muß. Die Richtigkeit die-
ser Behauptung ist offenbar, da
der schraffierte Teil dieser Figur
mit der vorhergehenden Figur
genau übereinstimmt.

§ 26.

Das assoziative Gesetz der Multiplikation und die beiden distributiven
Gesetze in der neuen Streckenrechnurig.

Bei unseren Annahmen gilt auch für die Multiplikation der Strecken
das assoziative Gesetz:

a(bc) = (ab)c.

Es seien auf der ersteren der beiden festen Geraden durch 0 die
Strecken

\ = OA, b=OC, c=OÄ

und auf der anderen Geraden die Strecken

a=OG und b = OB

gegeben. Um gemäß der Vorschrift in § 24 der Reihe nach die Strecken

bc=OB' und le.-OC

ab = OD,

(al)c- OD'

zu konstruieren, ziehen wir AB' parallel AB, B' C parallel BC, CD
parallel AG sowie A'D' parallel AD] wie wir sofort erkennen, läuft dann
unsere Behauptung darauf hinaus, daß auch CD parallel CD' sein muß.
Bezeichnen wir nun den Schnittpunkt der Geraden AD und BC mit F
und den Schnittpunkt der Geraden A'D' und B' C mit F', so sind in
den Dreiecken ABF und A'B'F' die entsprechenden Seiten einander
parallel; nach dem Desarguesschen Satze liegen daher die drei Punkte
0, F, F' auf einer Geraden. Wegen dieses Umstandes können wir die
zweite Aussage des Desarguesschen Satzes auf die beiden Dreiecke CDF
und C'D'F' anwenden und erkennen hieraus, daß in der Tat CD parallel
CD' ist.

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 26. 57

ccbc, D>

\ N. »"

\ X. x

a(bc) = (ab)c

Wir beweisen endlich in unserer Streckenrechnung auf Grund des
Desarguesschen Satzes die beiden distributiven Gesetze:

a(b 4- e) — ab + ac

und

{a -\- b)c = ac -\-bc.

Zum Beweise des ersteren Gesetzes dient die Figur S. 58 *). In

derselben ist

b=OÄ, c=OC

ab = OB', ab - OA", ac = OC" u. s. f.
und es läuft

B"Dt parallel C"D1 parallel zur festen Geraden OA',
B'Dt „ CD, „ „ „ „ OA"-,

ferner ist

A'A" paraUel CG"
und

AB" parallel B'A" parallel F' D2 parallel ^''A .

Die Behauptung läuft darauf hinaus, daß dann auch

F'F' paraUel A'A" und CG"
sein muß.

Wir konstruieren folgende Hilfslinien:

F"J parallel der festen Geraden OA',
F'J „ „ „ „ OA ;

die Schnittpunkte der Geraden G"Dt und CD2, G"D1 und F'J, CD2

1) Die Figuren S. 58, 60 und 62 hat Herr Dr. von Schaper entworfen und auch
die zugehörigen Beweise ausgeführt.

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 26.

und F" J heißen G, H1} H2; endlich erhalten wir noch die weiteren in
der untenstehenden Figur punktierten Hilfslinien durch Verbindung bereits
konstruierter Punkte.

In den beiden Dreiecken Ä B" C" und F' D.2G laufen die Verbindungs-
geraden entsprechender Ecken einander parallel; nach der zweiten Aus-
sage des Desarguesschen Satzes folgt daher, daß

ÄC" parallel F' G
sein muß. In den beiden Dreiecken Ä C" F" und F'GH2 laufen eben-
falls die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken einander parallel;

wmmMgm

6 £

» h

A' B'
b ebb

C
c

b+c

a(b -f- c) — ab -f ac

wegen der vorhin gefundenen Tatsache folgt nach der zweiten Aussage
des Desarguesschen Satzes, daß

ÄF" parallel F'H2
sein muß. Da somit in den beiden wagerecht schraffierten Dreiecken
OA'F" und JH2F' die entsprechenden Seiten parallel sind, so lehrt der
Desarguessche Satz, daß die drei Verbindungsgeraden

OJ, A'H2, F"F'
sich in einem und demselben Punkte, etwa in P, treffen.
Auf dieselbe Weise finden wir, daß auch
A"F' parallel F" Bx
sein muß und da somit in den beiden schräg schraffierten Dreiecken
OA'F' und JH1F'' die entsprechenden Seiten parallel laufen, so treffen
sich dem Desarguesschen Satze zufolge die drei Verbindungsgeraden

OJ, A"H1} F'F"
ebenfalls in einem Punkte — dem Punkte P.

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 26. 59

Nunmehr laufen für die Dreiecke OA'A" und JH2HX die Verbin-
dungsgeraden entsprechender Ecken durch den nämlichen Punkt P, und

mithin folgt, daß

HXH2 parallel A'A"

sein muß; mithin ist auch

HXH2 parallel CG".

Endlich betrachten wir die Figur F"HlC'C"HtF'F". Da in der-
selben

F"H2 parallel C'F' parallel G" Hx

H2C „ F"C" „ HtF'
C'C" „ HXH2

ausfällt, so erkennen wir hierin die Figur S. 55 {ß' B" A A'Ä'BB') wieder,
die wir in § 25 zum Beweise für das kommutative Gesetz der Addition
benutzt haben. Die entsprechenden Schlüsse wie dort zeigen dann, daß

F'F" parallel HXH2

sein muß und da mithin auch

F'F" parallel A'A"

ausfällt, so ist der Beweis unserer Behauptung vollständig erbracht.

Zum Beweise der zweiten Formel des distributiven Gesetzes dient
die völlig verschiedene Figur S. 60. In derselben ist

l = OD, a=0A, a=0B, b=OG, c=OD'
ac = OA', ac = OB', bc = 00' u. s. f.
und es läuft

GH parallel G' H' parallel zur festen Geraden OA,
AH „ A'H' „ „ „ „ OB

und ferner

AB parallel A'B',

BD „ B'D',

DG „ D'G',

HJ „ H'J'.

Die Behauptung läuft darauf hinaus, daß dann auch

DJ parallel D'J'
sein muß.

Wir bezeichnen die Punkte, in denen BD und GD die Gerade AH
treffen, bez. mit C und F und ferner die Punkte, in denen B'D' und
G'D' die Gerade Ä H' treffen, bez. mit C und F'\ endlich ziehen wir
noch die in der Figur S. 60 punktierten Hilfslinien FJ und F'J'.

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 26, 27.

In den Dreiecken ABC und A'JB'C laufen die entsprechenden Seiten
parallel; mithin liegen nach dem Desarguesschen Satze die drei Punkte
0, C, C auf einer Geraden. Ebenso folgt dann aus der Betrachtung der
Dreiecke CBF und C'B'F', daß 0, F, F' auf einer Geraden liegen, und

(fl -f fyc = ac -\-hc

die Betrachtung der Dreiecke FGH und F' G' H' lehrt, daß 0, H, H'
Punkte einer Geraden sind. Nun laufen in den Dreiecken FHJ und
F' H' J' die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken durch den näm-
lichen Punkt 0, und mithin sind zufolge der zweiten Aussage des Des-
arguesschen Satzes die Geraden FJ und F'J' einander parallel. Endlich
zeigt dann die Betrachtung der Dreiecke BFJ und B'F'J', daß die
Geraden BJ und B'J' einander parallel sind, und damit ist der Beweis
unserer Behauptung vollständig erbracht.

§ 27.
Die Gleichung der Geraden auf Grund der neuen Streckenrechnung.

Wir haben in § 24 bis § 26 mittels der in § 24 angeführten Axiome
und unter Voraussetzung der Gültigkeit des Desarguesschen Satzes in der
Ebene eine Streckenrechnung eingeführt, in welcher das kommutative
Gesetz der Addition, die assoziativen Gesetze der Addition und Multipli-
kation, sowie die beiden distributiven Gesetze gültig sind. Wir wollen
in diesem Paragraphen zeigen, in welcher Weise auf Grund dieser Strecken-
rechnung eine analytische Darstellung der Punkte und Geraden in der
Ebene möglich ist.

Erklärung. Wir bezeichnen in der Ebene die beiden angenommenen
festen Geraden durch den Punkt 0 als die X- und Y-Achse und denken
uns irgend einen Punkt P der Ebene durch die Strecken x, y bestimmt,

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 27. 61

die man auf der X- bez. Y-Achse erhält, wenn man durch P zu diesen
Achsen Parallelen zieht. Diese Strecken x, y heißen Koordinaten des
Punktes P. Auf Grund der neuen Streckenrechnung und mit Hilfe des
Desarguesschen Satzes gelangen wir zu der folgenden Tatsache:

Satz 35. Die Koordinaten x, y der Punkte auf einer beliebigen Ge-
raden erfüllen stets eine Streckengleichimg von der Gestalt:

ax-\- by + c = 0;

in dieser Gleichung stehen die Strecken a, b notwendig linksseitig von den
Koordinaten x, y; die Strecken a, b sind niemals beide Null und c ist eine
beliebige Strecke.

Umgekehrt: jede Streckengleichung der beschriebenen Art stellt stets eine
Gerade in der zu Grunde gelegten ebenen Geometrie dar.

Beweis. Wir nehmen zunächst an, die Gerade l gehe durch 0 und
sei von den Achsen verschieden. Ferner sei C ein bestimmter von 0
verschiedener Punkt auf l und P ein beliebiger Punkt auf l; C habe die
Koordinaten OA, OB und P habe die Koordinaten x, y- wir bezeichnen
die Verbindungsgerade der Endpunkte von x, y mit g. Endlich ziehen

wir durch den Endpunkt der Strecke 1 auf der X-Achse eine Parallele h
zu AB; diese Parallele schneide auf der Y-Achse die Strecke e ab. Aus
der zweiten Aussage des Desarguesschen Satzes folgt leicht, daß die
Gerade g stets parallel zu AB läuft. Da somit auch g stets zu h parallel
ist, so folgt für die Koordinaten x, y des beliebigen Punktes P auf l die

Streckengleichung

ex = y .

Nunmehr sei V eine beliebige nicht zu den Achsen parallele Gerade in
unserer Ebene: dieselbe schneide auf der X-Achse die Strecke c = 00' ab.

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 27.

Wir ziehen ferner die Gerade l durch 0 parallel zu V. Es sei P' ein be-
liebiger Punkt auf T; die Parallele durch P' zur X-Achse treffe die Gerade l
in P und schneide auf der F-Achse die Strecke y = OB ab; ferner mögen
die Parallelen durch P und P' zur Y-Achse auf der X-Achse die Strecken
x = OA und x' = OÄ abschneiden.

Wir wollen nun beweisen, daß die Streckengleichung

x = x -\- c
besteht. Zu diesem Zwecke ziehen wir 0' C parallel zur Einheitsgeraden,

ferner CD parallel zur X-Achse und AD parallel zur Y-Achse; dann
läuft unsere Behauptung darauf hinaus, daß

AB parallel O'C
sein muß. Wir konstruieren noch D' als Schnittpunkt der Geraden CD
und AP' und ziehen O'C parallel zur Y-Achse.

Da in den Dreiecken OCP und O'C'P' die Verbindungsgeraden ent-
sprechender Ecken parallel laufen, so folgt mittels der zweiten Aussage
des Desarguesschen Satzes, daß

CP parallel C'P'
sein muß; auf gleiche Weise lehrt die Betrachtung der Dreiecke ACP

und ÄC'P', daß

AG parallel Ä C

ist. Da somit in den Dreiecken ACD und C'A'O' die entsprechenden
Seiten einander parallel laufen, so treffen sich die Geraden AC, CA', DO'
in einem Punkte und die Betrachtung der beiden Dreiecke C'A'D und
AGO' zeigt dann, daß ÄD und CO' einander parallel sind.
Aus den beiden bisher gefundenen Streckengleichungen
ex = y und x' = x + c
folgt sofort die weitere Gleichung

ex' = y + ec-

Kap. V. Der Desargue8sche Satz. § 27, 28. 63

Bezeichnen wir schließlich mit n die Strecke, die zur Strecke 1
addiert die Strecke 0 liefert, so folgt, wie man leicht beweist, aus der
letzten Gleichung

ex' + ny + ^ec = 0

und diese Gleichung ist von der Gestalt, wie der Satz 35 behauptet.

Die zweite Aussage des Satzes 35 erkennen wir nun ohne Mühe als
richtig; denn eine jede vorgelegte Streckengleichung

ax -f- by -f c = 0 ,
wo b =4= 0 ist, läßt sich offenbar durch linksseitige Multiplikation mit
einer geeigneten Strecke in die vorhin gefundene Gestalt

ex -f ny + wec = 0
bringen.

Es sei noch ausdrücklich bemerkt, daß bei unseren Annahmen eine
Streckengleichung von der Gestalt

xa + yb-\- c = 0,
in der die Strecken a, b rechtsseitig von den Koordinaten x, y stehen,
im allgemeinen nicht eine Gerade darstellt.

Wir werden in § 30 eine wichtige Anwendung von dem Satze 35
machen.

§ 28.
Der Inbegriff der Strecken anfgefaßt als komplexes Zahlensystem.

Wir sehen unmittelbar ein, daß für unsere neue in § 24 begründete
Streckenrechnung die Sätze 1 — 6 in § 13 erfüllt sind.

Ferner haben wir in § 25 und § 26 mit Hilfe des Desarguesschen
Satzes erkannt, daß für diese Streckenrechnung die Rechnungsgesetze
7—11 in § 13 gültig sind; es bestehen somit sämtliche Sätze der Ver-
knüpfung, abgesehen vom kommutativen Gesetze der Multiplikation.

Um endlich eine Anordnung der Strecken zu ermöglichen, treffen wir
folgende Festsetzung. Es seien A, B irgend zwei verschiedene Punkte
der Geraden OE-, dann bringen wir gemäß Axiom II 4 die vier Punkte
0, E, A, B in eine Reihenfolge. Ist dies auf eine der folgenden sechs

ABOE, AOBE, AOEB, OABE, OAEB, OEAB

möglich, so nennen wir die Strecke a = 0 A Meiner als die Strecke
b = OB, in Zeichen:

a <b.

Findet dagegen eine der sechs Reihenfolgen

BAOE, BOAE, BOEA, OBAE, OBEA, OEBA

64 Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 28, 29.

statt, so nennen wir die Strecke a = OA größer als die Strecke b = OA,
in Zeichen

a> b.

Diese Festsetzung bleibt auch in Kraft, wenn A oder B mit 0 oder E
zusammenfallen, nur daß dann die zusammenfallenden Punkte als ein ein-
ziger Punkt anzusehen sind und somit lediglich die Anordnung dreier
Punkte in Frage kommt.

Wir erkennen leicht, daß nunmehr in unserer Streckenrechnung auf
Grund der Axiome II die Rechnungsgesetze 13 — 16 in § 13 erfüllt sind;
somit bildet die Gesamtheit aller verschiedenen Strecken ein komplexes
Zahlensystem, für welches die Gesetze 1 — 11, 13 — 16 in § 13, d. h. die
sämtlichen Vorschriften außer dem kommutativen Gesetze der
Multiplikation und den Sätzen von der Stetigkeit gewiß gültig
sind; wir bezeichnen ein solches Zahlensystem im folgenden kurz als ein
Besarguessches Zahlensystem.

§ 29.

Aufbau einer räumlichen Geometrie mit Hilfe eines Desarguesschen

Zahlensystems.

Es sei nun irgend ein Desarguessches Zahlensystem B vorgelegt;
dasselbe ermöglicht uns den Aufbau einer räumlichen Geometrie,
in der die Axiome I, II, IV sämtlich erfüllt sind.

Um dies einzusehen, denken wir uns das System von irgend drei
Zahlen (x, y, z) des Desarguesschen Zahlensystems B als einen Punkt und
das System von irgend vier Zahlen (u : v : w : r) in B, von denen die
ersten drei Zahlen nicht zugleich 0 sind, als eine Ebene; doch sollen die
Systeme (u : v : w : r) und (au : av : aw : ar), wo a irgend eine von 0
verschiedene Zahl in B bedeutet, die nämliche Ebene darstellen. Das Be-
stehen der Gleichung

ux + vy -f wz + r = 0

möge ausdrücken, daß der Punkt (x, y, z) auf der Ebene (ii : v : iv : r) liegt.
Die Gerade endlich definieren wir mit Hilfe eines Systems zweier Ebenen
(u' : v' : w' : r') und (u" : v" : w" : r"), wenn es nicht möglich ist, zwei
von 0 verschiedene Zahlen a'} a" in D zu finden, so daß gleichzeitig

r t fr er r r rr rr r r rr rr

a u = a u , a v = a v , a w = a w

wird. Ein Punkt (x, y, z) heißt auf dieser Geraden [(V: v: w': /), (u": v"\ w": /')]
gelegen, wenn er den beiden Ebenen (u' : v' : w' : r') und (u": v": w": r")
gemeinsam ist. Zwei Gerade, welche dieselben Punkte enthalten, gelten
als nicht verschieden.

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 29. 65

Indem wir die Rechnungsgesetze 1 — 11 in § 13 anwenden, die nach
Voraussetzung für die Zahlen in D gelten sollen, gelangen wir ohne
Schwierigkeit zu dem Resultate, daß in der soeben aufgestellten räumlichen
Geometrie die Axiome I und IV sämtlich erfüllt sind.

Damit auch den Axiomen II der Anordnung Genüge geschehe, treffen
wir folgende Festsetzungen. Es seien

irgend drei Punkte einer Geraden

[(«':V:w':r/), (*":«" :«?":*•")] ;

dann heiße der Punkt (x2, y2, z2) zwischen den beiden anderen gelegen,
wenn wenigstens eine der sechs Paare von Ungleichungen

\-V «^l \ #2 "^- #3; Xl «^ #2 --^ #3

(2) ¥x < 9»< Vs, Vx>y%> y$

(3) et < *, < *„ t1>tt> z3

erfüllt ist. Besteht nun etwa eine der beiden Doppelungleichungen (1),
so schließen wir leicht, daß entweder yx = y2 = y3 oder notwendig eine
der beiden Doppelungleichungen (2) und ebenso daß entweder zt = z2 = z3
oder eine der Doppelungleichungen (3) gelten muß. In der Tat, aus den
Gleichungen

u'xi -f v'y{ ■fw'lj-fy* 0,

u"x{ + v"yi + w \ + r " = 0,
(» - 1, 2, 3)

leiten wir durch linksseitige Multiplikation derselben mit geeigneten Zahlen
aus D, die =f= 0 sind, und durch nachherige Addition der entstehenden
Gleichungen ein Gleichungssystem von der Gestalt

(4) u"'xi + v'"yi + r'"=0

(i = 1, 2, 3)
ab. Hierin ist der Koeffizient v'" sicher nicht 0, da sonst die Gleichheit
der drei Zahlen xx,x2yx3 folgen würde. Aus

xi $ #2 $ x%

schließen wir

und mithin wegen (4)

und daher

1 5Jr w *~2 \~ ^* 3

v yx + r = v y2+r = v y3 + r

v Vx^v Vz^v y3

Hubert, Grundlagen der Geometrie.

66 Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 29, 30.

und da v'" nicht 0 ist, so haben wir

Vi \ Vz ^iV^'i

in jeder dieser Doppelungleichungen soll stets entweder durchweg das
obere oder durchweg das mittlere oder durchweg das untere Zeichen
gelten.

Die angestellten Überlegungen lassen erkennen, daß in unserer Geo-
metrie die linearen Axiome II 1 — 3 der Anordnung zutreffen. Es bleibt
noch zu zeigen übrig, daß in unserer Geometrie auch das ebene Axiom
II 4 gültig ist.

Zu dem Zwecke sei eine Ebene (u : v : w : r) und in ihr eine Gerade
[(u:v:w:r), (V: v' : w' : r')] gegeben. Wir setzen fest, daß alle in der
Ebene (u : v : w : r) gelegenen Punkte (x, y, z) , für die der Ausdruck
u'x -f v'y + w'z + r' kleiner oder größer als 0 ausfällt, auf der einen
bez. auf der anderen Seite von jener Geraden gelegen sein sollen, und
haben dann zu beweisen, daß diese Festsetzung sich mit der vorigen in
Übereinstimmung befindet, was leicht geschehen kann.

Damit haben wir erkannt, daß die sämtlichen Axiome I, II, IV in
derjenigen räumlichen Geometrie erfüllt sind, die in der oben geschilderten
Weise aus dem Desarguesschen Zahlensystem D entspringt. Bedenken
wir, daß der Desarguessche Satz eine Folge der Axiome I, II, IV ist, so
sehen wir, daß die eben gefundene Tatsache die genaue Umkehrung des-
jenigen Ergebnisses darstellt, zu dem wir in § 28 gelangt sind.

§30.
Die Bedeutung des Desarguesschen Satzes.

Wenn in einer ebenen Geometrie die Axiome I 1 — 3, II, IV erfüllt
sind und überdies der Desarguessche Satz gilt, so ist es nach § 24 — § 28
in dieser Geometrie stets möglich, eine Streckenrechnung einzuführen, für
welche die Regeln 1 — 11, 13 — 16 in § 13 anwendbar sind. Wir betrachten
nun weiter den Inbegriff dieser Strecken als ein komplexes Zahlensystem
und bauen aus denselben nach den Entwickelungen in § 29 eine räumliche
Geometrie auf, in der sämtliche Axiome I, II, IV gültig sind.

Fassen wir in dieser räumlichen Geometrie lediglich die Punkte
(x, y, 0) und diejenigen Geraden ins Auge, auf denen nur solche Punkte
liegen, so entsteht eine ebene Geometrie, und wenn wir die in § 27 ab-
geleitete Tatsache berücksichtigen, so leuchtet ein, daß diese ebene Geo-
metrie genau mit der zu Anfang vorgelegten ebenen Geometrie überein-
stimmen muß. Damit gewinnen wir folgenden Satz, der als das Endziel
der gesamten Entwickelungen dieses Kapitels V anzusehen ist:

Kap. VI. Der Pascalsche Satz. § 31. 67

Es seien in einer ehenen Geometrie die Axiome I 1 — 3, II, IV erfüllt:
dann ist die Gültigheit des Desarguessclien Satzes die notwendige und hin-
reichende Bedingung dafür, daß diese ebene Geometrie sich auffassen läßt
als ein Teil einer räumlichen Geometrie, in welcher die sämtlichen Axiome
I, II, IV erfüllt sind.

Der Desarguessche Satz kennzeichnet sich so gewissermaßen für die
ebene Geometrie als das Resultat der Elimination der räumlichen Axiome.

Die gefundenen Resultate setzen uns auch in den Stand zu erkennen,
daß jede räumliche Geometrie, in der die Axiome I, II, IV sämtlich er-
füllt sind, sich stets als ein Teil einer „Geometrie von beliebig vielen
Dimensionen" auffassen läßt; dabei ist unter einer Geometrie von beliebig
vielen Dimensionen eine Gesamtheit von Punkten, Geraden, Ebenen und
noch weiteren Elementen zu verstehen, für welche die entsprechenden
Axiome der Verknüpfung und Anordnung sowie das Parallelenaxiom
erfüllt sind.

Kapitel VI.
Der Pascalsche Satz.

§ 31.
Zwei Sätze über die Beweisbarkeit des Pascalschen Satzes.

Der Desarguessche Satz (Satz 33) läßt sich bekanntlich aus den
Axiomen I, II, IV, d. h. unter wesentlicher Benutzung der räumlichen
Axiome beweisen; in § 23 habe ich gezeigt, daß der Beweis desselben
ohne die räumlichen Axiome der Gruppe I und ohne die Kongruenzaxiome
II nicht möglich ist, selbst wenn die Benutzung der Stetigkeitsaxiome
gestattet wird.

In § 14 ist der Pascalsche Satz (Satz 21) und damit nach § 22 auch
der Desarguessche Satz aus den Axiomen I 1 — 3, II — IV, also mit Aus-
schluß der räumlichen Axiome und unter wesentlicher Benutzung der
Kongruenzaxiome abgeleitet worden. Es entsteht die Frage, ob auch der
Pascalsche Satz ohne Hinzuziehung der Kongruenzaxiome be-
wiesen werden kann. Unsere Untersuchung wird zeigen, daß in dieser
Hinsicht der Pascalsche Satz sich völlig anders als der Desarguessche Satz
verhält, indem bei dem Beweise des Pascalschen Satzes die Zulassung
oder Ausschließung des Archimedischen Axioms von entscheiden-
dem Einflüsse für seine Gültigkeit ist. Die wesentlichen Ergebnisse un-
serer Untersuchung fassen wir in den folgenden zwei Sätzen zusammen:

68 Kap. VI. Der Pascalsche Satz. § 31, 32.

Satz 36. Der Pascalsche Satz (Satz 21) ist beweisbar auf Grund der
Axiome I, II, IV, V, d. h. unter Ausschließung der Kongruenzaxiome mit
Zuhilfenahme des Archimedischen Axioms.

Satz 37. Der Pascalsche Satz (Satz 21) ist nicht beweisbar auf
Grund der Axiome I, II, IV, d. h. unter Ausschließung der Kongruenzaxiome
sowie des Archimedischen Axioms.

In der Fassung dieser beiden Sätze können nach dem allgemeinen Satze 35
die räumlichen Axiome I 4 — 8 auch durch die Forderung der ebenen Geo-
metrie ersetzt werden, daß der Desarguessche Satz (Satz 33) gelten soll.

§ 32.
Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Archimedischen Zahlensystem.

Die Beweise der Sätze 36 und 37 beruhen wesentlich auf gewissen
gegenseitigen Beziehungen, welche für die Rechnungsregeln und Grund-
tatsachen der Arithmetik bestehen und deren Kenntnis auch an sich von
Interesse erscheint. Wir stellen die folgenden zwei Sätze auf:

Satz 38. Für ein Archimedisches Zahlensystem ist das kommutative
Gesetz der Multiplilmtion eine notwendige Folge der übrigen Rechnungsgesetze ;
d. h., wenn ein Zahlensystem die in § 13 aufgezählten Eigenschaften 1 — 11,
13 — 17 besitzt, so folgt notwendig, daß dasselbe auch der Formel 12 genügt.

Beweis. Zunächst bemerken wir: wenn a eine beliebige Zahl des
Zahlensystems und

»— 1-f-l H hl

eine ganze rationale positive Zahl ist, so gilt für a und n stets das kom-
mutative Gesetz der Multiplikation; es ist nämlich

flw = ß(l4-l + --, + l) = ö,l + «-l + '-, + «-l = « + « + ,,' + «
und ebenso

na = (1 -f- 1 -f • • • + 1)« = l'fl+l-« + '-' + l>fl = « + ö + ',' + «
Es seien nun im Gegensatz zu unserer Behauptung a, b solche zwei
Zahlen des Zahlensystems, für welche das kommutative Gesetz der Multi-
plikation nicht gültig ist. Wir dürfen dann, wie leicht ersichtlich, die

Annahmen

a>0, b>0 ab — ba>0

machen. Wegen der Forderung 6 in § 13 gibt es eine Zahl c(>0), so daß

(a -\- b ■+■ Y)c = ab — ba
ist. Endlich wählen wir eine Zahl d, die zugleich den Ungleichungen

d>0, d<l, d<c
genügt,' und bezeichnen mit m und n zwei solche ganze rationale Zahlen
^> 0, für die

Kap. VI. Der Pascalsche Satz. § 32, 33. 69

md < a <£ (w + l)d

bez.

nd<b<L(n -f- l)d

wird. Das Vorhandensein solcher Zahlen m, n ist eine unmittelbare Fol-
gerung des Archimedischen Satzes (Satz 17 in § 13). Mit Rücksicht auf
die Bemerkung zu Anfang dieses Beweises erhalten wir aus den letzteren
Ungleichungen durch Multiplikation

ab <[ mnd2 -f- (m -f- n -f- l)d2,

&a > mnd2,

also durch Subtraktion

ab — ba <| (m -f- » + l)^2.
Nun ist

md<_a, nd<b, d<.l
und folglich

(» + * + l)tf<a-|-& + l,
d. h.

«&-k<(«-(-&-|- 1)^
oder wegen d <C c •

<x& — &a < (a -f & -f l)c.

Diese Ungleichung widerspricht der Bestimmung der Zahl c, und damit
ist der Beweis für den Satz 38 erbracht.

§ 33.

Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Nicht-Archimedischen

Zahlensystem.

Satz 39. Für ein Nicht-Archimedisches Zahlensystem ist das Jwmmu-
tative Gesetz der Multiplikation nicht eine notwendige Folge der übrigen
Mechnungsgesetze ; d. h. es gibt ein Zahlensystem, das die in % 13 aufgezählten
Eigenschaften 1 — 11, 13 — 16 besitzt — ein JDesarguessches Zahlensystem
nach §28 — , in welchem nicht das Icommatative Gesetz (12) der Midti-
plilcation besteht.

Beweis. Es sei t ein Parameter und T irgend ein Ausdruck mit
einer endlichen oder unendlichen Gliederzahl von der Gestalt

T=r0tn + r1tn + i + r2tn + 2 + r3tn + 3 -\ ;

darin mögen r0(=%= 0), rit r2, ... beliebige rationale Zahlen bedeuten und
n sei eine beliebige ganze rationale Zahl ^ 0. Ferner sei 5 ein anderer
Parameter und S irgend ein Ausdruck mit einer endlichen oder unend-
lichen Gliederzahl von der Gestalt

8 - s'"T0 -f sm + lTt + sm+2T2 + • • • ;

70 Kap. VI. Der Pascalsche Satz. § 33.

darin mögen T0(=}= 0), Tl} T2, ... beliebige Ausdrücke von der Gesalt T
bezeichnen und m sei wiederum eine beliebige ganze rationale Zahl ^ 0.
Die Gesamtheit aller Ausdrücke von der Gestalt S sehen wir als ein kom-
plexes Zahlensystem Sl(s, t) an, in dem wir folgende Rechnungsregeln
festsetzen: man rechne mit s und t, wie mit Parametern nach den Regeln
7 — 11 in § 13, während man an Stelle der Regel 12 stets die Formel

(1) ts = 2st

anwende.

Sind nun S', 8" irgend zwei Ausdrücke von der Gestalt S:

8' = sm' T0' + sm' +1T1' + sm' +2T2' H ,

S"= sm"T0"+ sm" + 1Tt"+ s™"+2T2"-|- • . ♦,

so kann man offenbar durch Zusammenfügung einen neuen Ausdruck
S' -+- S" bilden, der wiederum von der Gestalt 8 und zugleich eindeutig
bestimmt ist; dieser Ausdruck S' + S" heißt die Summe der durch S', S"
dargestellten Zahlen.

Durch gliedweise Multiplikation der beiden Ausdrücke S', 8" gelangen
wir zunächst zu einem Ausdrucke von der Gestalt

S'S"= s?"'T0'sw"T0"+ (sm'T0'sm" + 'LT1"+ sm' + 1T1,sw" T0")

+ (V"'T0V't" + 2T2"+ sm' + 1T1'sm" + 1T1"+ sm' + 2T2'sm"TQ") + ■ • •.

Dieser Ausdruck wird bei Benutzung der Formel (1) offenbar ein ein-
deutig bestimmter Ausdruck von der Gestalt $; der letztere heiße das
Produkt der durch S' dargestellten Zahl in die durch S" dargestellte Zahl.
Bei der so festgesetzten Rechnungsweise leuchtet die Gültigkeit der
Rechnungsregeln 1 — 5 in § 13 unmittelbar ein. Auch die Gültigkeit der
Vorschrift 6 in § 13 ist nicht schwer einzusehen. Zu dem Zwecke neh-
men wir an, es seien etwa

8' - sm' Tj + sm'+1Ti' + sP'+'T,' + ....•

und

£"'_ sm'"TQ"'+ sm'"+iTi>"+ tj*r+*Tf"'^

gegebene Ausdrücke von der Gestalt S, und bedenken, daß unseren Fest-
setzungen entsprechend der erste Koeffizient r0' aus T0' von 0 verschieden
sein muß. Indem wir nun die nämlichen Potenzen von s auf beiden
Seiten einer Gleichung

(2) S'S"= 8M

vergleichen, finden wir in eindeutig bestimmter Weise zunächst eine ganze
Zahl m" als Exponenten und sodann der Reihe nach gewisse Ausdrücke

rp " rp ii rp ii

derart, daß der Ausdruck

Kap. VI. Der Pascalsche Satz. § 33, 34. 71

S"= s"'"T0" + sM" + 1T1"+ s"'" + 2T2"H

bei Benutzung der Formel (1) der Gleichung (2) genügt; hiermit ist der
gewünschte Nachweis erbracht.

Um endlich die Anordnung der Zahlen unseres Zahlensystems Sl (s, t)
zu ermöglichen, treffen wir folgende Festsetzungen. Eine Zahl des
Systems heiße < oder > 0, je nachdem in dem Ausdrucke S, der sie
darstellt, der erste Koeffizient r0 von T0 < oder > 0 ausfällt. Sind
irgend zwei Zahlen a und b des komplexen Zahlensystems vorgelegt, so
heiße a < b bez. a > b, je nachdem a — b < 0 oder > 0 wird. Es leuchtet
unmittelbar ein, daß bei diesen Festsetzungen die Regeln 13 — 16 in
§ 13 gültig sind, d. h. &l (s, t) ist ein Desarguesschen Zahlensystem
(vgl. § 28).

Die Vorschrift 12 in § 13 ist, wie Gleichung (1) zeigt, für unser
komplexes Zahlensystem &l (s,t) nicht erfüllt und damit ist die Richtig-
keit des Satzes 39 vollständig erkannt.

In Übereinstimmung mit Satz 38 gilt der Archimedische Satz (Satz 17
in § 13) für das soeben aufgestellte Zahlensystem Sl (s, f) nicht.

Es werde noch hervorgehoben, daß das Zahlensystem Sl (s, t) — ebenso
wie die in § 9 und § 12 benutzten Zahlensysteme ß und Sl (t) — nur
eine abzählbare Menge von Zahlen enthält.

§ 34.

Beweis der beiden Sätze über den Pascalschen Satz.
(Nicht-Pascalsche Geometrie.)

Wenn in einer räumlichen Geometrie die sämtlichen Axiome I, II, IV
erfüllt sind, so gilt auch der Desarguessche Satz (Satz 33) und mithin
ist nach Kapitel V § 24 bis § 26 in dieser Geometrie die Einführung
einer Streckenrechnung möglich, für welche die Vorschriften 1 — 11, 13 — 16
in § 13 gültig sind. Setzen wir nun das Archimedische Axiom V in
unserer Geometrie voraus, so gilt offenbar für die Streckenrechnung der
Archimedische Satz (Satz 17 in § 13) und mithin nach Satz 38 auch
das kommutative Gesetz der Multiplikation. Da aber die hier in Rede
stehende in § 24 (Fig. S. 54) eingeführte Definition des Streckenproduktes
mit der in § 15 (Fig. S. 32) angewandten Definition übereinstimmt, so
bedeutet gemäß der in § 15 ausgeführten Konstruktion das kommutative
Gesetz der Multiplikation zweier Strecken auch hier nichts anderes als
den Pascalschen Satz. Damit ist die Richtigkeit des Satzes 36 erkannt.

Um den Satz 37 zu beweisen, fassen wir das in § 33 aufgestellte
Desarguessche Zahlensystem Sl (s, t) ins Auge und konstruieren mit Hilfe
desselben auf die in § 29 beschriebene Art eine räumliche Geometrie, in

72 Kap. VI. Der Pascalsche Satz. § 34, 35.

der die sämtlichen Axiome I, II, IV erfüllt sind. Trotzdem gilt der
Pascalsche Satz in dieser Geometrie nicht, da das kommutative Gesetz
der Multiplikation in dem Desarguesschen Zahlensystem Sl (s, t) nicht be-
steht. Die so aufgebaute „Nicht- Pascalsche" Geometrie ist in Überein-
stimmung mit dem vorhin bewiesenen Satz 36 notwendig zugleich auch
eine „Nicht-Archimedische" Geometrie.

Es ist offenbar, daß der Pascalsche Satz sich bei unseren Annahmen
auch dann nicht beweisen läßt, wenn man die räumliche Geometrie als
einen Teil einer Geometrie von beliebig vielen Dimensionen auffaßt, in
welcher neben den Punkten, Geraden und Ebenen noch weitere Elemente
vorhanden sind und für diese ein entsprechendes System von Axiomen
der Verknüpfung und Anordnung, sowie das Parallelenaxiom zu Grunde
gelegt ist.

§ 35.

Beweis eines beliebigen Schnittpunktsatzes mittels des Desarguesschen
und des Pascalschen Satzes.

Ein jeder ebener Schnittpunktsatz hat notwendig diese Form: Man
wähle zunächst ein System von Punkten und Geraden willkürlich, bez.
mit der Bedingung, daß für gewisse von diesen Punkten und Geraden die
vereinigte Lage vorgeschrieben ist; wenn man dann in bekannter Weise
Verbindungsgerade und Schnittpunkte konstruiert, so gelangt man schließ-
lich zu einem bestimmten System von Geraden, von denen der Satz aus-
sagt, daß sie durch den nämlichen Punkt hindurchlaufen.

Es sei nun eine ebene Geometrie vorgelegt, in der sämtliche
Axiome I 1 — 3, II — V gültig sind; nach Kap. III § 17 können wir dann
vermittels eines rechtwinkligen Achsenkreuzes jedem Punkte ein Zahlen-
paar (x, y) und jeder Geraden ein Verhältnis von drei Zahlen (u : v : w)
entsprechen lassen; hierbei sind x, y, u, v, w jedenfalls reelle Zahlen,
von denen u, v nicht beide verschwinden, und die Bedingung für die
vereinigte Lage von Punkt und Geraden

ux -f vy -f- w = 0

bedeutet eine Gleichung im gewöhnlichen Sinne.

Andererseits dürfen wir, falls x, y, u, v, w insbesondere Zahlen des in
§ 9 konstruierten algebraischen Bereiches Sl sind und u, v nicht beide ver-
schwinden, annehmen, daß umgekehrt das Zahlenpaar (x, y) und das Zahlen-
tripel (u : v : w) einen Punkt bez. eine Gerade in der vorgelegten Geo-
metrie liefert.

Führen wir für alle Punkte und Geraden, die in einem beliebigen
ebenen Schnittpunktsatze auftreten, die betreffenden Zahlenpaare und

Kap. VE. Die geometrischen Konstruktionen auf Grand der Axiome I— IV. § 36. 73

Zahlentripel ein, so wird dieser Schnittpunktsatz aussagen, daß ein be-
stimmter, von gewissen Parametern p1} . . . pr rational abhängiger Aus-
druck A (plf . . . ,pr) mit reellen Koeffizienten stets verschwindet, sobald
wir für jene Parameter insbesondere irgend welche Zahlen des in § 9
betrachteten Bereiches Sl einsetzen. Wir schließen hieraus, daß der Aus-
druck A(p1}. . .,pr) auch identisch auf Grund der Rechnungsgesetze 7 — 12
in § 13 verschwinden muß.

Da in der vorgelegten Geometrie nach § 22 der Desarguessche Satz
gilt, so können wir gewiß auch die in § 24 eingeführte Streckenrechnung
benutzen, und wegen der Gültigkeit des Pascalschen Satzes trifft für diese
Streckenrechnung auch das kommutative Gesetz der Multiplikation zu,
so daß in dieser Streckenrechnung sämtliche Rechnungsgesetze 7 — 12 in
§ 13 gültig sind.

Indem wir die Achsen des bisher benutzten Achsenkreuzes auch als
Achsen dieser neuen Streckenrechnung gewählt und die Einheitspunkte E
und E' geeignet festgesetzt denken, erkennen wir die Übereinstimmung
der neuen Streckenrechnung mit der früheren Koordinatenrechnung.

Um in der neuen Streckenrechnung das identische Verschwinden des
Ausdruckes A (p1} . . . , pr) nachzuweisen, genügt die Anwendung des
Desarguesschen und Pascalschen Satzes und damit erkennen wir, daß
jeder in der vorgelegten Geometrie geltende Schnittpunktsatz
durch Konstruktion geeigneter Hilfspunkte und Hilfsgeraden
sich stets als eine Kombination des Desarguesschen und Pas-
calschen Satzes herausstellen muß. Zum Nachweise der Richtigkeit
des Schnittpunktsatzes brauchen wir also nicht auf die Kongruenzsätze
zurückzugreifen.

Kapitel VII.
Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I — IV.

§ 36.

Die geometrischen Konstruktionen mittels Lineals und
Eichmaßes.

Es sei eine räumliche Geometrie vorgelegt, in der die sämtlichen
Axiome I — IV gelten; wir fassen der Einfachheit wegen in diesem Kapitel
nur eine ebene Geometrie ins Auge, die in dieser räumlichen Geometrie ent-
halten ist, und untersuchen dann die Frage, welche elementaren Kon-
struktionsaufgaben in einer solchen Geometrie notwendig ausführbar sind.

74 Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I — IV. § 36.

Auf Grund der Axiome I ist die Ausführung der folgenden Aufgabe
stets möglich:

Aufgabe 1. Zwei Punkte durch eine Gerade zu verbinden und den
Schnittpunkt zweier Geraden zu finden, falls die Geraden nicht parallel sind.
Auf Grund der Axiome der Gruppe II werden keine neuen Auf-
gaben lösbar.

Auf Grund der Kongruenzaxiome III ist das Abtragen von Strecken
und Winkeln möglich, d. h. es lassen sich in der vorgelegten Geometrie
folgende Aufgaben lösen:

Aufgabe 2. Eine gegebene Strecke auf einer gegebenen Geraden
von einem Punkte aus abzutragen.

Aufgabe 3. Einen gegebenen Winkel an eine gegebene Gerade
anzutragen oder eine Gerade zu konstruieren, die eine gegebene Gerade
unter einem gegebenen Winkel schneidet.

Das Axiom IV ermöglicht die Ausführung der folgenden Aufgabe:
Aufgabe 4. Durch einen gegebenen Punkt zu einer Geraden eine
Parallele zu ziehen.

Wir sehen somit, daß unter Zugrundelegung der Axiome I- — IV alle
und nur diejenigen Konstruktionsaufgaben lösbar sind, die sich auf die
eben genannten Aufgaben 1 — 4 zurückführen lassen.

Wir fügen den fundamentalen Aufgaben 1 — 4 noch die folgende hinzu:
Aufgabe 5. Zu einer gegebenen Geraden eine Senkrechte zu ziehen.
Wir erkennen unmittelbar, daß diese Aufgabe 5 auf verschiedene
Arten durch die Aufgaben 1 — 4 gelöst werden kann.

Zur Ausführung der Aufgabe 1 bedürfen wir des Lineals. Um die
Aufgaben 2 — 5 auszuführen, genügt es, wie im Folgenden gezeigt wird,
neben dem Lineal das Eichmaß anzuwenden, ein Instrument, welches das
Abtragen einer einzigen bestimmten Strecke, etwa der Einheitsstrecke
ermöglicht1). Wir gelangen damit zu folgendem Resultat:

Satz 40. Diejenigen geometrischen Konstruktionsauf gaben, die unter

Zugrundelegung der Axiome I — IV lösbar
sind, lassen sich notwendig mittels Lineals
und Eichmaßes ausführen.

Beweis. Um die Aufgabe 4 auszu-
führen, verbinden wir den gegebenen Punkt
P mit irgend einem Punkte A der ge-
gebenen Geraden a und tragen von A aus
auf a zweimal hintereinander mittels des
Eichmaßes die Einheitsstrecke ab, etwa

1) Diese Bemerkung ist von J. Kürschdk gemacht worden; vgl. dessen Note
„Das Streckenabtragen" Math. Ann. Bd. 55. 1902.

Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grand der Axiome I — IV. § 36. 75

bis B und C. Es sei nun D irgend ein Punkt auf AP, ferner E der
Treffpunkt von CP und BD und endlich F der Treffpunkt von AE
und CD: dann ist nach Steiner PF die gesuchte Parallele zu a.

Die Aufgabe 5 lösen wir auf folgende Weise.- Es sei A ein be-
liebiger Punkt der gegebenen Geraden; dann tragen wir von A aus auf
dieser Geraden nach beiden
Seiten hin mittels des Eich-
maßes die Einheitsstrecken
AB und AC ab und bestim-
men dann auf zwei beliebigen
anderen durch A gehenden
Geraden die Punkte E und
D, so daß auch die Strecken
AB und AE gleich der Ein-
heitsstrecke werden. Die Ge-
raden BD und CE mögen
sich in F, die Geraden BE
und CD in H schneiden: dann ist FR die gesuchte Senkrechte. In der
Tat: die Winkel -^BDC und ^BEC sind als Winkel im Halbkreise
über BC Rechte und daher steht nach dem Satze vom Höhenschnitt-
punkt eines Dreieckes, den wir auf das Dreieck BCF anwenden, auch
FH auf BC senkrecht.

Wir können nunmehr leicht auch die Aufgabe 3 allein mittels
Lineals und Eichmaßes lösen; wir schlagen etwa folgendes Verfahren ein,
welches nur das Ziehen von Parallelen
und das Fällen von Loten erfordert. Es
sei ß der abzutragende Winkel und A
der Scheitel dieses Winkels. Wir ziehen
die Gerade l (AC) durch A parallel zu der
gegebenen Geraden, an welche der ge-
gebene Winkel ß angetragen werden soll.
Von einem beliebigen Punkte B eines
Schenkels von ß fällen wir Lote auf den ^
anderen Schenkel des Winkels ß und auf?.
Die Fußpunkte dieser Lote seien D und C. Das Fällen von Loten
geschieht vermöge der Aufgaben 2 und 5. Sodann fällen wir von A
eine Senkrechte auf CD, ihr Fußpunkt sei E. Nach dem in § 14 S. 27
ausgeführten Beweise ist <£ CAE = ß; die Aufgabe 3 ist somit gelöst.

Um endlich die Aufgabe 2 auszuführen, benutzen wir die einfache
von J. Kürschäk angegebene Konstruktion: es sei AB die abzutragende
Strecke und P der gegebene Punkt auf der gegebenen Geraden l. Man

76 Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I— IV. §36,37.

ziehe durch P die Parallele zu AB und trage auf derselben mittels des
Eichmaßes von P aus die Einheitsstrecke ab etwa bis C] ferner trage

man auf l von P aus die Einheits-
strecke bis D ab. Die zu AP durch
B gezogene Parallele treffe PC in
Q und die durch Q zu CD ge-
zogene Parallele treffe l in E: dann
ist PE = AB.

Damit ist gezeigt, daß die Auf-
gaben 1 — 5 sämtlich durch Lineal
und Eichmaß lösbar sind, und folglich der Satz 40 vollständig bewiesen.

§ 37.
Analytische Darstellung der Koordinaten konstruierbarer Punkte.

Außer den in § 36 behandelten elementargeometrischen Aufgaben
gibt es noch eine große Reihe weiterer Aufgaben, zu deren Lösung man
lediglich das Ziehen von Geraden und das Abtragen von Strecken nötig
hat. Um den Bereich aller auf diese Weise lösbaren Aufgaben über-
blicken zu können, legen wir bei der weiteren Betrachtung ein recht-
winkliges Koordinatensystem zu Grunde und denken uns die Koordinaten
der Punkte in der üblichen Weise als reelle Zahlen oder Punktionen von
gewissen willkürlichen Parametern. Um die Frage nach der Gesamtheit
aller konstruierbaren Punkte zu beantworten, stellen wir folgende Über-
legung an:

Es sei ein System von bestimmten Punkten gegeben; wir setzen aus
den Koordinaten dieser Punkte einen Bereich R zusammen; derselbe ent-
hält gewisse reelle Zahlen und gewisse willkürliche Parameter p. Nun-
mehr denken wir uns die Gesamtheit aller derjenigen Punkte, die durch
Ziehen von Geraden und Abtragen von Strecken aus dem vorgelegten
System von Punkten konstruierbar sind. Der Bereich, der von den Koor-
dinaten dieser Punkte gebildet wird, heiße & (P); derselbe enthält gewisse
reelle Zahlen und Funktionen der willkürlichen Parameter p.

Unsere Betrachtungen in § 17 zeigen, daß das Ziehen von Geraden
und Parallelen analytisch auf die Anwendung der Addition, Multiplikation,
Subtraktion, Division von Strecken hinausläuft; ferner lehrt die bekannte
in § 9 aufgestellte Formel für die Drehung, daß das Abtragen von Strecken
auf einer beliebigen Geraden keine andere analytische Operation erfordert,
als die Quadratwurzel zu ziehen aus einer Summe von zwei Quadraten,
deren Basen man bereits konstruiert hat. Umgekehrt kann man zufolge
des Pythagoräischen Lehrsatzes vermöge eines rechtwinkligen Dreiecks

Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I— IV. § 37. 77

die Quadratwurzel aus der Summe zweier Streckenquadrate durch Abtragen
von Strecken stets konstruieren.

Aus diesen Betrachtungen geht hervor, daß der Bereich il (_R) alle
diejenigen und nur solche reelle Zahlen und Funktionen der Parameter p
enthält, die aus den Zahlen und Parametern in R vermöge einer endlichen
Anzahl von Anwendungen von fünf Rechnungsoperationen hervorgehen,
nämlich der vier elementaren Rechnungsoperationen und einer fünften
Operation, als die man das Ziehen der Quadratwurzel aus einer Summe
zweier Quadrate betrachtet. Wir sprechen dieses Resultat wie folgt aus:

Satz 41. Eine geometrische Konstruktionsaufgabe ist dann und nur
dann durch Ziehen von Geraden und Abtragen von Strecken, d. h. mittels
Lineals und Eichmaßes lösbar, wenn bei der analytischen Behandlung der
Aufgabe die Koordinaten der gesuchten Punkte solche Funktionen der
Koordinaten der gegebenen Punkte sind, deren Herstellung nur rationale
Operationen und die Operation des Ziehens der Quadratwurzel aus der
Summe zweier Quadrate und diese fünf Operationen in endlicher Anzahl
erfordert.

Wir können aus diesem Satze sofort erkennen, daß nicht jede
mittels Zirkels lösbare Aufgabe auch allein mittels Lineals und Eich-
maßes gelöst werden kann. Zu dem Zwecke legen wir diejenige Geometrie
zu Grunde, die in § 9 mit Hilfe des algebraischen Zahlenbereichs Sl auf-
gebaut worden ist; in dieser Geometrie gibt es lediglich solche Strecken,
die mittels Lineals und Eichmaßes konstruierbar sind, nämlich die durch
Zahlen des Bereiches & bestimmten Strecken.

Ist nun ö irgend eine Zahl in ß, so erkennen wir aus der Definition
des Bereiches Sl leicht, daß auch jede zu co konjugierte algebraische
Zahl in Sl liegen muß, und da die Zahlen des Bereichs &l offenbar
sämtlich reell sind, so folgt hieraus, daß der Bereich Sl nur solche
reelle algebraische Zahlen enthalten kann, deren Konjugierte ebenfalls
reell sind.

Wir stellen jetzt die Aufgabe, ein rechtwinkliges Dreieck mit der
Hypotenuse 1 und einer Kathete | y2 J - 1 zu konstruieren. Nun kommt
die algebraische Zahl y 2\^2\ — 2 , die den Zahlenwert der anderen
Kathete ausdrückt, im Zahlenbereich il nicht vor, da die zu ihr kon-
jugierte Zahl ]/ — 2 | ~|/2 | — 2 imaginär ausfällt. Die gestellte Aufgabe
ist mithin in der zu Grunde gelegten Geometrie nicht lösbar und kann
daher überhaupt nicht mittels Lineals und Eichmaßes lösbar sein, obwohl
die Konstruktion mittels des Zirkels sofort ausführbar ist

78 Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I — IV. § 38.

§ 38.

Die Darstellung algebraischer Zahlen und ganzer rationaler Funktionen
als Summe von Quadraten.

Die Frage nach der Ausführbarkeit geometrischer Konstruktionen
mittels Lineals und Eichmaßes erfordert zu ihrer weiteren Behandlung
einige Sätze zahlentheoretischen und algebraischen Charakters, die, wie
mir scheint, auch an sich von Interesse sind.

Nach Fermat ist bekanntlich jede ganze rationale positive Zahl als
Summe von vier Quadratzahlen darstellbar. Dieser Fermatsche Satz ge-
stattet eine merkwürdige Verallgemeinerung von folgender Art:

Erklärung. Es sei Je ein beliebiger Zahlkörper; der Grad dieses
Körpers Je heiße m, und die m — 1 zu Je konjugierten Zahlkörper mögen
mit Je',Je",...,Um~^ bezeichnet werden. Trifft es sich, daß unter den
m Körpern Je, Je, ... , ft(m_1) einer oder mehrere aus lauter reellen Zahlen
gebildet sind, so nennen wir diese Körper selbst reell; es seien diese
Körper etwa Je, Je, ... , Us~x\ Eine Zahl a des Körpers Je heiße in diesem
Falle total positiv in Je, falls die s zu a konjugierten bez. in Je, Je',. . ., Us~^
gelegenen Zahlen sämtlich positiv sind. Kommen dagegen in jedem der
m Körper Je, Je', . . . , &(m-1) auch imaginäre Zahlen vor, so heiße eine jede
Zahl a in Je stets total positiv.

Satz 42. Jede total positive Zahl in Je läßt sicJi als Summe von
vier Quadraten darstellen, deren Basen ganze oder gebrochene Zahlen des
Körpers Je sind.

Der Beweis dieses Satzes bietet erhebliche Schwierigkeiten dar; er
beruht wesentlich auf der Theorie der relativquadratischen Zahlkörper,
die ich unlängst in mehreren Arbeiten1) entwickelt habe. Es sei hier
nur auf denjenigen Satz aus dieser Theorie hingewiesen, der die Be-
dingungen für die Lösbarkeit einer ternären Diophantischen Gleichung
von der Gestalt

angibt, worin die Koeffizienten a, ß, y gegebene Zahlen in Je und £, t], £
gesuchte Zahlen in Je bedeuten. Der Beweis des Satzes 42 wird durch
wiederholte Anwendung des eben genannten Satzes erbracht.

Aus dem Satze 42 folgen eine Reihe von Sätzen über die Dar-
stellung solcher rationaler Funktionen einer Veränderlichen mit rationalen
Koeffizienten, die niemals negative Werte haben.

1) Über die Theorie der relativquadratischen Zahlkörper, Jahresber. d. Deutschen
Math.-Vereinigung Bd. 6, 1899 und Math. Ann. Bd. 51; ferner: Über die Theorie
der relativ-Abelschen Zahlkörper, Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1898 und
Acta mathematica Bd. 26.

Kap. VIT. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I — IV. §38,39. 79

Erwähnt sei noch folgender Satz, der uns im nächsten Paragraphen
von Nutzen sein wird.

Satz 43. Es bedeute f{x) eine solche ganze rationale Funktion
von x mit rationalen Zahlenkoeffizienten, die niemals negative Werte an-
nimmt, wenn man für x beliebige reelle Werte einsetzt: dann läßt sich f(x)
stets als Summe von Quadraten darstellen, so daß die sämtlichen Basen dieser
Quadrate ganze rationale Funktionen von x mit rationalen Koeffizienten sind1).

Es dürfte sehr schwierig sein, die entsprechenden Tatsachen für ganze
rationale Funktionen von zwei oder mehr Veränderlichen aufzustellen und
zu beweisen, doch sei hier darauf hingewiesen, daß die Darstellbarkeit
einer beliebigen definitiven ganzen rationalen Funktion zweier Veränder-
licher als Quotient von Quadratsummen ganzer Funktionen auf einem
völlig anderen Wege von mir bewiesen worden ist — unter der Voraus-
setzung, daß für die darstellenden Funktionen nicht bloß rationale, sondern
beliebige reelle Koeffizienten zulässig sind2).

§ 39.

Kriterium für die Ausführbarkeit geometrischer Konstruktionen
mittels Lineals und Eichmaßes.

Es sei eine geometrische Konstruktionsaufgabe vorgelegt, die mittels
des Zirkels ausführbar ist; wir wollen dann ein Kriterium aufzustellen
versuchen, welches unmittelbar aus der analytischen Natur der Aufgabe
und ihrer Lösungen beurteilen läßt, ob die Konstruktion auch allein
mittels Lineals und Eichmaßes ausführbar ist. Wir werden bei dieser
Untersuchung auf den folgenden Satz geführt:

Satz 44. Es sei eine geometrische KonslruMionsaufgabe vorgelegt von
der Art, daß man bei analytischer Behandlung derselben die Koordinaten
der gesuchten Punkte aus den Koordinaten der gegebenen Punkte lediglich
durch rationale Operationen und durch Ziehen von Quadratwurzeln finden
kann; es sei n die Ueinste Anzahl der Quadratwurzeln, die hierbei zur
Berechnung der Koordinaten der Punkte ausreichen: soll dann die vor-
gelegte Konstruktionsaufgabe sich auch allein durch Ziehen von Geraden
und Abtragen von Strecken ausführen lassen, so ist dafür notwendig und
hinreichend, daß die geometrische Aufgabe genau 2n reelle Lösungen besitzt
und zwar für alle Lagen der gegebenen Punkte, d. h. für alle Werte

1) Der Beweis für die Darstellbarkeit von f(x) als Quotient zweier Quadrat-
summen ist von mir auf Grund des Satzes 42 in der ersten Auflage ausgeführt worden.
Inzwischen ist es E. Landau gelungen, den Beweis für die Darstellbarkeit von f{x)
direkt als Quadratsumme, wie oben behauptet, zu erbringen und zwar lediglich mit
Benutzung sehr einfacher und elementarer Hilfsmittel. Math. Ann. Bd. 57 1903.

2) Über ternäre definite Formen, Acta Mathematica Bd. 17.

80 Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I — IV. § 39.

der in den Koordinaten der gegebenen Punkte auftretenden willkürlichen
Tarameter.

Beweis. Wir beweisen diesen Satz 44 ausschließlich für den Fall,
daß die Koordinaten der gegebenen Punkte rationale Funktionen eines
Parameters p mit rationalen Koeffizienten sind.

Die Notwendigkeit des aufgestellten Kriteriums leuchtet aus § 37 ein.
Um zu zeigen, daß dasselbe auch hinreicht, setzen wir dieses Kriterium als
erfüllt voraus und betrachten zunächst eine solche von jenen n Quadrat-
wurzeln, die bei der Berechnung der Koordinaten der gesuchten Punkte
zuerst zu suchen ist. Der Ausdruck unter dieser Quadratwurzel ist eine
rationale Funktion fx (p) des Parameters p mit rationalen Koeffizienten;
diese rationale Funktion darf für beliebige reelle Parameterwerte p niemals
negative Werte annehmen, da sonst entgegen der Voraussetzung die vor-
gelegte Aufgabe für gewisse Werte p imaginäre Lösungen haben müßte
Aus Satz 43 schließen wir daher, daß ft (p) als Quotient von Summen
von Quadraten ganzer rationaler Funktionen darstellbar ist.

Nunmehr zeigen die Formeln

Ya2 + &2 + ? = ")/ (]/a2 + b2Y + c2,

]/a2 + b*+ c2 + d* = V (Ya2 + b* + c2)2 + d2 .

daß allgemein das Ziehen der Quadratwurzel aus einer Summe von be-
liebig vielen Quadraten sich stets zurückführen läßt auf wiederholtes
Ziehen der Quadratwurzel aus der Summe zweier Quadrate.

Nehmen wir diese Bemerkung mit dem vorigen Ergebnisse zusammen,
so erkennen wir, daß der Ausdruck Y f\ (p) gewiß mittels Lineals und
Eichmaßes konstruiert werden kann.

Wir betrachten ferner eine solche von den n Quadratwurzeln, die
bei der Berechnung der Koordinaten der gesuchten Punkte an zweiter
Stelle zu ziehen ist. Der Ausdruck unter dieser Quadratwurzel ist eine
rationale Funktion f2 \p, Yfi) des Parameters p und der zuerst betrach-
teten Quadratwurzel; auch diese Funktion f2 ist bei beliebigen reellen
Parameter werten p und für jedes Vorzeichen von Yfi niemals negativer
Werte fähig, da sonst entgegen der Voraussetzung die vorgelegte Aufgabe
unter ihren 2n Lösungen für gewisse Werte p auch imaginäre Lösungen
haben müßte. Aus diesem Umstände folgt, daß f2 einer quadratischen
Gleichung von der Gestalt

f22-<Pl(P)f2 + ^(p) = 0

genügen muß, worin <pt (p) und qf>, (j?) notwendig solche rationale Funk-
tionen von p mit rationalen Koeffizienten sind, die für reelle Werte von p

Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I — IV. § 39. 81

niemals negative Werte besitzen. Aus der letzteren quadratischen Gleichung
entnehmen wir

'* <px (p)

Nun müssen wiederum nach Satz 43 die Funktionen tpt (jp) und ^ (joi)
Quotienten von Summen von Quadraten rationaler Funktionen sein und
andererseits ist nach dem vorigen der Ausdruck f2 mittels Lineals und
Eichmaßes konstruierbar; der gefundene Ausdruck für f2 zeigt somit, daß f2
ein Quotient von Summen von Quadraten konstruierbarer Funktionen ist.
Also läßt sich auch der Ausdruck ]//*2 mittels Lineals und Eichmaßes
konstruieren.

Ebenso wie der Ausdruck f2 erweist sich auch jede andere rationale
Funktion <p2 (p, ]/ f-J von p und y/j als Quotient zweier Summen von
Quadraten konstruierbarer Funktionen, sobald diese rationale Funktion <p2
die Eigenschaft besitzt, niemals negative Werte anzunehmen bei reellem
Parameter p und für beiderlei Vorzeichen von yfx.

Diese Bemerkung gestattet uns, das eben begonnene Schluß verfahren
in folgender Weise fortzusetzen.

Es sei f3 (p, yfi ) V7D em solcher Ausdruck, der von den drei Argu-
menten p, ]//*!, Y f2 in rationaler Weise abhängt und aus dem bei der
analytischen Berechnung der Koordinaten der gesuchten Punkte an dritter
Stelle die Quadratwurzel zu ziehen ist. Wie vorhin schließen wir, daß
f3 bei beliebigen reellen Werten p und für beiderlei Vorzeichen von yf%
und Y f2 niemals negative Werte annehmen darf; dieser Umstand wiederum
zeigt, daß f3 einer quadratischen Gleichung von der Gestalt

r%% -<p*(p, vi) u + *2(p, VK) - o

genügen muß, worin <p2 und ty2 solche rationale Funktionen von p und
yfi bedeuten, die für reelle Werte p und beiderlei Vorzeichen von yfx
negativer Werte nicht fähig sind. Da mithin qp2 und ip2 nach der vorigen
Bemerkung Quotienten zweier Summen von Quadraten konstruierbarer
Ausdrücke sind, so folgt das gleiche auch für den Ausdruck

9>2 (p.» VK)

und mithin ist auch yft mittels Lineals und Eichmaßes konstruierbar.

Die Fortsetzung dieser Schlußweise führt zum Beweise des Satzes 44
in dem betrachteten Falle eines Parameters p.

Die allgemeine Richtigkeit des Satzes 44 hängt davon ab, ob der
Satz 43 in entsprechender Weise sich auf den Fall mehrerer Veränder-
licher verallgemeinern läßt.

Hubert, Grundlagen der Geometrie. 6

82 Schlußwort.

Als Beispiel für die Anwendung des Satzes 44 mögen die regulären
mittels Zirkels konstruierbaren Polygone dienen; in diesem Falle kommt
ein willkürlicher Parameter p nicht vor, sondern die zu konstruierenden
Ausdrücke stellen sämtlich algebraische Zahlen dar. Man sieht leicht,
daß das Kriterium des Satzes 44 erfüllt ist, und somit ergibt sich, daß
man jene regulären Polygone auch allein mittels Ziehens von Geraden
und Abtragens von Strecken konstruieren kann — ein Resultat, welches
sich auch aus der Theorie der Kreisteilung direkt entnehmen läßt.

Was weitere aus der Elementargeometrie bekannte Konstruktions-
aufgaben anbetrifft, so sei hier nur erwähnt, daß das Malfattische Problem,
nicht aber die Appollonische Berührungsaufgabe allein mittels Lineals
und Eichmaßes gelöst werden kann1).

Schlußwort.

Die vorstehende Abhandlung ist eine kritische Untersuchung der
Prinzipien der Geometrie; in dieser Untersuchung leitete uns der Grund-
satz, eine jede sich darbietende Frage in der Weise zu erörtern, daß wir
zugleich prüften, ob ihre Beantwortung auf einem vorgeschriebenen Wege
mit gewissen eingeschränkten Hilfsmitteln möglich oder nicht möglich ist.
Dieser Grundsatz scheint mir eine allgemeine und naturgemäße Vorschrift
zu enthalten; in der Tat wird, wenn wir bei unseren mathematischen
Betrachtungen einem Probleme begegnen oder einen Satz vermuten,
unser Erkenntnistrieb erst dann befriedigt, wenn uns entweder die
völlige Lösung jenes Problems und der strenge Beweis dieses Satzes
gelingt oder wenn der Grund für die Unmöglichkeit des Gelingens und
damit zugleich die Notwendigkeit des Mißlingens von uns klar erkannt
worden ist.

So spielt denn in der neueren Mathematik die Frage nach der Un-
möglichkeit gewisser Lösungen oder Aufgaben eine hervorragende Rolle
und das Bestreben, eine Frage solcher Art zu beantworten, war oftmals
der Anlaß zur Entdeckung neuer und fruchtbarer Forschungsgebiete. Wir
erinnern nur an Abels Beweis für die Unmöglichkeit der Auflösung der
Gleichungen fünften Grades durch Wurzelziehen, ferner an die Erkenntnis
der Unbeweisbarkeit des Parallelenaxioms und an Hermites und Lindemanns

1) Betreffs weiterer geometrischer Konstruktionen mittels Lineals und Eich-
maßes vgl. M. Feldblum, Über elementargeometrische Konstruktionen, Inaugural-
dissertation, Göttingen 1899.

Anhang I: Gerade Linie als kürzeste Verbindung. 83

Sätze von der Unmöglichkeit, die Zahlen e und % auf algebraischem
Wege zu konstruieren.

Der Grundsatz, demzufolge man überall die Prinzipien der Möglich-
keit der Beweise erörtern soll, hängt auch aufs engste mit der Forderung
der „Reinheit" der Beweismethoden zusammen, die von mehreren Mathe-
matikern der neueren Zeit mit Nachdruck erhoben worden ist. Diese
Forderung ist im Grunde nichts anderes als eine subjektive Fassung des
hier befolgten Grundsatzes. In der Tat sucht die vorstehende geometrische
Untersuchung allgemein darüber Aufschluß zu geben, welche Axiome,
Voraussetzungen oder Hilfsmittel zum Beweise einer elementar-geome-
trischen Wahrheit nötig sind, und es bleibt dann dem jedesmaligen Er-
messen anheim gestellt, welche Beweismethode von dem gerade ein-
genommenen Standpunkte aus zu bevorzugen ist.

Anhang I.
Über die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte1).

Aus Math. Ann. Bd. 46.
(Aus einem an Herrn F. Klein gerichteten Briefe.)

Nehmen wir die Punkte, die Geraden und die Ebenen als Elemente,
so können zur Begründung der Geometrie die folgenden Axiome dienen:

1. Die Axiome, welche die Verknüpfung dieser Elemente
untereinander betreffen; kurz zusammengefaßt, lauten dieselben
wie folgt:

Irgend zwei Punkte A und B bestimmen stets eine Gerade a. —
Irgend drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte A, B, C bestimmen
eine Ebene a. — Wenn zwei Punkte A, B einer Geraden a in einer
Ebene a liegen, so liegt die Gerade a vollständig in der Ebene a. —
Wenn zwei Ebenen a, ß einen Punkt A gemein haben, so haben sie
wenigstens noch einen weiteren Punkt B gemein. — Auf jeder Geraden
gibt es wenigstens zwei Punkte,, in jeder Ebene wenigstens drei nicht
auf einer Geraden gelegene Punkte, und im Räume gibt es wenigstens
vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte. —

2. Die Axiome, durch welche der Begriff der Strecke
und der Begriff der Reihenfolge von Punkten einer Geraden

1) Betreffs allgemeinerer Formulierung dieses Problems vgl. meinen auf dem
internationalen Mathematiker -Kongreß in Paris 1900 gehaltenen Vortrag: Mathe-
matische Probleme. Göttinger Nachr. 1900 Nr. 4, sowie G. Hamel, Inaugural-
Dissertation, Göttingen 1901 und dessen Abhandlung: Über die Geometrien, in denen
die Geraden die Kürzesten sind, Math. Ann. Bd. 57 1903.

84 Anhang I: Gerade Linie als kürzeste Verbindung.

eingeführt wird. Diese Axiome sind von M. Pasch1) zuerst auf-
gestellt und systematisch untersucht worden; dieselben sind im wesent-
lichen folgende:

Zwischen zwei Punkten A, B einer Geraden gibt es stets wenigstens
einen dritten Punkt C der Geraden. — Unter drei Punkten einer Geraden
gibt es stets einen und nur einen , welcher zwischen den beiden anderen
liegt. — Wenn A, B auf der Geraden a liegen, so gibt es stets einen
Punkt C der nämlichen Geraden a, so daß B zwischen A und C liegt. —
Irgend vier Punkte Ax, A2, A3, A± einer Geraden a können stets in der
Weise angeordnet werden, daß allgemein A{ zwischen Ah und Ak liegt,
sobald der Index h kleiner und ft größer als i ist. — Jede Gerade a,
welche in einer Ebene a liegt, trennt die Punkte dieser Ebene a in
zwei Gebiete von folgender Beschaffenheit: ein jeder Punkt A des einen
Gebietes bestimmt mit jedem Punkt A' des anderen Gebietes zusammen
eine Strecke AA', innerhalb welcher ein Punkt der Geraden a liegt; da-
gegen bestimmen irgend zwei Punkte A und B des nämlichen Gebietes
eine Strecke AB, welche keinen Punkt der Geraden a enthält.

3. Das Axiom der Stetigkeit, welchem ich folgende Fassung gebe:

Wenn Al} A2, A3, . . . eine unendliche Reihe von Punkten einer Ge-
raden a sind und B ein weiterer Punkt auf a ist, von der Art, daß all-
gemein Ai zwischen Ah und B liegt, sobald der Index h kleiner als i ist,
so gibt es einen Punkt C, welcher folgende Eigenschaft besitzt: sämt-
liche Punkte der unendlichen Reihe A2, A3, Aif . . . liegen zwischen Ax
und C und jeder andere Punkt C, für welchen dies ebenfalls zutrifft,
liegt zwischen C und B.

Auf diese Axiome läßt sich in vollkommener Strenge die Theorie
der harmonischen Punkte gründen, und wenn wir uns derselben in ähn-
licher Weise bedienen, wie dies F. Lindemann2) tut, so gelangen wir zu
folgendem Satze:

Jedem Punkte kann man drei endliche reelle Zahlen x, y, z und
jeder Ebene eine lineare Relation zwischen diesen drei Zahlen x, y, 8 zu-
ordnen, derart, daß alle Punkte, für welche die drei Zahlen x, y, 8 die
lineare Relation erfüllen, in der betreffenden Ebene liegen und daß
umgekehrt allen in dieser Ebene gelegenen Punkten Zahlen x, y, 8 ent-
sprechen, welche der linearen Relation genügen. Werden ferner x, y, z
als die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes im gewöhnlichen
Euklidischen Räume gedeutet, so entsprechen den Punkten des ursprüng-
lichen Raumes Punkte im Inneren eines gewissen nirgends konkaven

1) Vgl. Vorlesungen über neuere Geometrie. Teubner 1882.

2) Vgl. Vorlesungen über Geometrie Bd. IL Teil 1; S. 433 u. f.

Anhang I: Gerade Linie als kürzeste Verbindung. 85

Körpers des Euklidischen Raumes und umgekehrt entsprechen allen
Punkten im Inneren dieses nirgends konkaven Körpers Punkte unseres
ursprünglichen Raumes: unser ursprünglicher Baum ist mithin auf das
Innere eines nirgends konkaven Körpers des Euklidischen Baumes abgebildet.

Hierbei ist unter einem nirgends konkaven Körper ein Körper von
der Beschaffenheit verstanden, daß, wenn man zwei im Inneren des Körpers
gelegene Punkte miteinander durch eine Gerade verbindet, der zwischen
diesen beiden Punkten gelegene Teil der Geraden ganz in das Innere des
Körpers fällt. Ich erlaube mir, Sie darauf aufmerksam zu machen, daß
diesen hier auftretenden nirgends konkaven Körpern auch in den zahlen-
theoretischen Untersuchungen von H. Minkowski1) eine wichtige Rolle
zukommt, und daß H. Minkowski für dieselben eine einfache analytische
Definition gefunden hat.

Wenn umgekehrt im Euklidischen Räume ein beliebiger nirgends
konkaver Körper gegeben ist, so definiert derselbe eine bestimmte Geo-
metrie, in welcher die genannten Axiome sämtlich gültig sind: jedem
Punkt im Inneren des nirgends konkaven Körpers entspricht ein Punkt in
jener Geometrie; jeder durch das Innere des Körpers gehenden Geraden
und Ebene des Euklidischen Raumes entspricht eine Gerade bezüglich
Ebene der allgemeinen Geometrie; den auf der Grenze oder außerhalb
des nirgends konkaven Körpers gelegenen Punkten und den ganz außer-
halb des Körpers verlaufenden Geraden und Ebenen des Euklidischen
Raumes entsprechen keine Elemente der allgemeinen Geometrie. Der
obige Satz über die Abbildung der Punkte in der allgemeinen Geometrie
auf das Innere des nirgends konkaven Körpers im Euklidischen Räume
drückt somit eine Eigenschaft der Elemente der allgemeinen Geometrie
aus, welche inhaltlich mit den anfangs aufgestellten Axiomen vollkommen
gleichbedeutend ist.

Wir definieren nun den Begriff der Länge einer Strecke AB in
unserer allgemeinen Geometrie und bezeichnen zu dem Zwecke diejenigen
beiden Punkte des Euklidischen Raumes, welche den Punkten A und B
des ursprünglichen Raumes entsprechen, ebenfalls mit A und B; wir ver-
längern dann die Gerade AB im Euklidischen Räume über A und B
hinaus, bis dieselbe die Begrenzung des nirgends konkaven Körpers in den
Punkten X bezüglich Y trifft, und bezeichnen allgemein die Euklidische
Entfernung zwischen irgend zwei Punkten P und Q des Euklidischen
Raumes kurz mit P$; dann heiße der reelle Wert

AB = l

\ YA XB \

[yb'xäI

1) Vgl. Geometrie der Zahlen. Teubner 1896.

Anhang I: Gerade Linie als kürzeste Verbindung.

die Länge der Strecke AB in unserer allgemeinen Geometrie. Wegen

YA
YB

>1,

XÄ

ist diese Länge stets eine positive Größe.

Es lassen sich leicht die Eigenschaften des Begriffs der Länge auf-
zählen, welche mit Notwendigkeit auf einen Ausdruck der angegebenen
Art für AB führen; doch unterlasse ich dies, damit ich durch diesen
Brief nicht allzusehr Ihre Aufmerksamkeit ermüde.

Die aufgestellte Formel für AB lehrt zugleich, in welcher Weise
diese Größe von der Gestalt des nirgends konkaven Körpers abhängt.
Halten wir nämlich die Punkte A und B im Inneren des Körpers fest
und ändern nur die Begrenzung des Körpers derart, daß der Grenz-
punkt X sich nach A hinbewegt und Y sich dem Punkte B nähert, so
ist klar, daß jeder der beiden Quotienten

YA
YB

und folglich auch der Wert von AB sich vergrößert.

Es sei jetzt im Inneren des nirgends konkaven Körpers ein Dreieck
ABC gegeben. Die Ebene a desselben schneidet aus dem Körper ein
nirgends konkaves Oval aus. Wir denken uns ferner jede der drei Seiten

w AB, AC, BC des

Dreieckes über beide
Endpunkte hinaus
verlängert, bis sie
die Begrenzung des
Ovals bezüglich in
den Punkten Xund Y,
ü und V, T und Z
schneiden; dann kon-
\y struieren wir die ge-
raden Verbindungs-
linien UZ und TV
und verlängern die-
selben bis zu ihrem
Durchschnitt TT; ihre
Schnittpunkte mit
der Geraden XY bezeichnen wir mit X' bezüglich Y '. Wir legen nun-
mehr statt des ursprünglichen nirgends konkaven Ovals in der Ebene a
das Dreieck UWT zu Grunde und erkennen leicht, daß in der durch

Anhang I: Gerade Linie als kürzeste Verbindung. 87

dieses Dreieck bestimmten ebenen Geometrie die Längen AC und BC die
gleichen sind, wie in der ursprünglichen Geometrie, während die Länge
der Seite AB durch die vorgenommene Änderung vergrößert worden ist.
Wir bezeichnen die neue Länge der Seite AB zum Unterschiede von der

ursprünglichen Länge AB mit AB; dann ist AB> AB.

Es gilt nun für die Längen der Seiten des Dreiecks ABC die ein-
fache Beziehung

AB = AC+BC.

Zum Beweise verbinden wir W mit C und verlängern diese Gerade bis
zum Durchschnitt D mit AB. Nach dem bekannten Satze vom Doppel-
verhältnis ist dann wegen der Perspektiven Lage der beiden Punktreihen
X', A, D, F und U, A,C,V

T~Ä Td Vä uc

TD X'A VC TIA

und wegen der Perspektiven Lage der beiden Punktreihen Y', B, D, X'
und T, B, C, Z ist

XB tb zb_ Yc^

XHD TB " ZC TB
Die Multiplikation beider Gleichungen ergibt

T~Ä XB VA UC ZB TG

TB X'A VC VA ZC TB

und diese neue Gleichung beweist meine Behauptung.

Aus obiger Untersuchung erkennen Sie, daß lediglich auf Grund der
zu Anfang meines Briefes aufgezählten Axiome und der aus den ein-
fachsten Eigenschaften des Längenbegriffs sich mit Notwendigkeit er-
gebenden Definition der Länge der allgemeine Satz gilt:

In federn Dreieck ist die Summe zweier Seiten größer oder gleich der
dritten Seite.

Zugleich ist klar, daß der Fall der Gleichheit dann und nur dann
vorkommt, wenn die Ebene a aus der Begrenzung des nirgends konkaven
Körpers zwei gerade Linienstücke TJ Z und TV ausschneidet. Die
letztere Bedingung läßt sich auch ohne Zuhilfenahme des nirgends kon-
kaven Körpers ausdrücken. Sind nämlich irgend zwei in einer Ebene cc
gelegene und in irgend einem Punkte C sich schneidende Geraden a und b
der ursprünglichen Geometrie gegeben, so werden im allgemeinen in jedem
der vier in cc um C herum entstehenden ebenen Winkelräume solche
gerade Linien vorhanden sein, welche keine der beiden Geraden a und b
schneiden; sind jedoch insbesondere in zwei sich gegenüberliegenden

88 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

ebenen Winkelräumen keine solchen geraden Linien vorhanden, so ist die
fragliche Bedingung erfüllt, und es gibt dann stets Dreiecke, für welche die
Summe zweier Seiten gleich der dritten ist. In dem betrachteten Falle ist
also zwischen gewissen Punkten A und JB ein aus zwei geradlinigen Stücken
zusammengesetzter Weg möglich, dessen Gesamtlänge gleich der direkten
Entfernung der beiden Punkte A und JB ist; es läßt sich ohne Schwierig-
keit zeigen, daß alle Wege zwischen den beiden Punkten A und B von
derselben Eigenschaft sich aus den konstruierten Wegen zusammensetzen lassen
und daß die übrigen Verbindungsivege von größerer Gesamtlänge sind. Die
nähere Untersuchung dieser Frage nach den kürzesten Wegen ist leicht
ausführbar und bietet ein besonderes Interesse in dem Falle, daß für die
Begrenzung des nirgends konkaven Körpers ein Tetraeder zu Grunde ge-
legt wird.

Zum Schluß erlaube ich mir darauf hinzuweisen, daß ich bei der
vorstehenden Entwickelung stets den nirgends konkaven Körper als ganz
im Endlichen gelegen angenommen habe. Wenn jedoch in der durch die
ursprünglichen Axiome definierten Geometrie eine Gerade und ein Punkt
vorhanden ist von der Eigenschaft, daß durch diesen Punkt zu der Ge-
raden nur eine einzige Parallele möglich ist, so ist jene Annahme nicht
gerechtfertigt. Es wird leicht erkannt, welche Abänderungen meine Be-
trachtung dann zu erfahren hat.

Kleinteich bei Ostseebad Rauschen, den 14. August 1894.

Anhang II.

Über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen

Dreieck.

[Mit Zusätzen abgedruckt aus den Proceedings of the London Maihematical Society,

Vol. XXXV, Nos. 793, 794.]

Unter der axiomatischen Erforschung einer mathematischen Wahrheit
verstehe ich eine Untersuchung, welche nicht dahin zielt, im Zusammen-
hange mit jener Wahrheit neue oder allgemeinere Sätze zu entdecken,
sondern die vielmehr die Stellung jenes Satzes innerhalb des Systems der
bekannten Wahrheiten und ihren logischen Zusammenhang in der Weise
klarzulegen sucht, daß sich sicher angeben läßt, welche Voraussetzungen
zur Begründung jener Wahrheit notwendig und hinreichend sind.

So habe ich beispielsweise in meiner Festschrift Grundlagen der Geo-
metrie Kap. V und VI (S. 47 — 73) die ebenen Schnittpunktsätze, nämlich

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 89

den speziellen Pascalschen Satz für das Geradenpaar und den Desargues-
schen Satz von den perspektiv liegenden Dreiecken einer axiomatischen
Untersuchung unterworfen, und in gleicher Weise haben auf meine An-
regung hin M. Beim1) den Satz von der Winkelsumme im Dreieck und
G. Hamel2) den Satz von der Geraden als der kürzesten Verbindung
zwischen zwei Punkten behandelt.

Die vorliegende Note betrifft die Stellung des Satzes von der Gleich-
heit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck in der ebenen Euklidi-
schen Geometrie. Zur Erleichterung des Verständnisses stelle ich — im
wesentlichen wie in meinen Grundlagen der Geometrie — die Axiome der
ebenen Euklidischen Geometrie zusammen wie folgt:

I. Axiome der Verknüpfung.

I 1. Zwei von einander verschiedene Punkte A, B be-
stimmen stets eine Gerade.

I 2. Irgend zwei von einander verschiedene Punkte einer
Geraden bestimmen diese Gerade.

I 3. Auf jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte.
Es gibt wenigstens drei Punkte, welche nicht in einer Ge-
raden liegen.

II. Axiome der Anordnung.

II 1. Wenn A, B, C Punkte einer Geraden sind, und B
zwischen A und C liegt, so liegt auch B zwischen C und A.

II 2. Wenn A und B zwei Punkte einer Geraden sind, so
gibt es wenigstens einen Punkt C, der zwischen A und B liegt,
und wenigstens einen Punkt D, so daß B zwischen A und D liegt.

II 3. Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets
einen und nur einen Punkt, der zwischen den beiden anderen
liegt.

Definition. — Die zwischen zwei Punkten A und B gelegenen Punkte
heißen auch die Punkte der Strecke AB.

II 4. Es seien A, B, G drei nicht in gerader Linie gelegene
Punkte und a eine Gerade, die keinen der Punkte A, B, C trifft;
wenn dann diese Gerade durch einen Punkt der Strecke AB
geht, so geht sie gewiß auch durch einen Punkt der Strecke
BC oder der Strecke AG oder BA.

1) Mathematische Annalen, Bd. LHI, 1900.

2) Inaugural-Dissertation, Göttingen 1901, und dessen Abhandlung: Über die
Geometrieen, in denen die Geraden die Kürzesten sind, Math. Ann. Bd. 57, 1903,

90 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

III. Axiome der Kongruenz.

III 1. Wenn A, B zwei Punkte der Geraden a sind, und Ä
ein Punkt einer Geraden a ist, so kann man auf einer gege-
benen Hälfte der Geraden a von Ä aus stets einen und nur
einen Punkt B' finden, so daß die Strecke AB der Strecke AB'
kongruent oder gleich ist; in Zeichen

AB = A'B'.
Jede Strecke ist sich selbst kongruent, d. h. es ist stets:
AB = AB und AB = BA.

III 2. Wenn die Strecke AB sowohl der Strecke A'B' als
auch der Strecke A"B" kongruent ist, so ist auch AB' der
Strecke A" B" kongruent.

III 3. Es seien AB und BC zwei Strecken ohne gemein-
same Punkte auf a, und ferner A'B' und B'C zwei Strecken
ohne gemeinsame Punkte auf einer Geraden a'; wenn dann

AB- A'B' und BC = B'C,

ist, so ist auch stets:

AC = ÄC.

Definition. — Ein von einem Punkte ausgehendes Paar von Halb-
strahlen Ji, Je nennen wir einen Winkel und bezeichnen ihn entweder mit
<£ 0, Je) oder <£ (&, *).

III 4. Es sei ein Winkel <$C (Ji, Je), eine Gerade a , und eine
bestimmte Seite von a gegeben. Es bedeute Ji einen Halbstrahl
der Geraden a , der vom Punkte 0' ausgeht: dann gibt es
einen und nur einen Halbstrahl Je, so daß

*(M) -*<*;*)

ist und zugleich alle inneren Punkte des Winkels <£ (Ji, Je')
auf der gegebenen Seite von a liegen. Jeder Winkel ist
sich selbst kongruent, d. h.

£&*)■■<&*) und *(*»*)■■■.*<&*).'

IH 5. Wenn ein Winkel «£; (h, Je) sowohl dem Winkel ^ Qi, Je)
als auch dem Winkel -^C (h", Je") kongruent ist, so ist auch der
Winkel ^C (h\ k') dem Winkel <£ Qi", Je") kongruent.

IH 6*. Wenn für zwei Dreiecke ABC und ÄB'C die
Kongruenzen

AB = A'B', AC = ÄC und <£ BAC = <£ B'A'C
gelten, so gilt auch stets

^ABC = ^ÄB'C und <£ ACB = ^A'C'B'.

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 91

Es ist nun für die nachfolgende Untersuchung wesentlich, dem letzten
Kongruenzaxiom, nämlich dem Axiom III 6* über die Dreieckskongruenz
eine engere Fassung zu erteilen, indem wir die Aussage desselben nur für
Dreiecke mit gleichem Umlaufssinn als gültig hinstellen. Um diesen ein-
schränkenden Zusatz scharf zu formulieren, nehmen wir irgend eine durch
zwei Punkte A, B bestimmte Gerade in der Ebene beliebig an, und be-
zeichnen eine der beiden Halbebenen, in die diese Gerade die Ebene teilt,
als rechts von der Geraden AB in der Richtung von A nach B, und
dieselbe Halbebene zugleich auch als links von B A in der Richtung von B
nach A\ die andere Halbebene bezeichnen wir als links von der Geraden
AB, und zugleich als rechts von der Geraden BA gelegen. Ist nun *C
irgend ein Punkt auf der rechten Halbebene von AB, so bezeichnen wir
diejenige Halbebene von A C, auf welcher der Punkt B liegt, als die linke
Halbebene von AC. Auf diese Weise können wir durch analoge Fest-
setzungen schließlich in eindeutig bestimmter Weise für jede Gerade an-
geben, welche Halbebene rechts oder links von dieser Geraden in gegebener
Richtung gelegen ist. Zugleich wird von den Schenkeln irgend eines
Winkels in eindeutig bestimmter Weise stets der eine als der rechte
Schenkel und der andere als der linke Schenkel zu bezeichnen sein, näm-
lich so, daß der rechte Schenkel auf der rechten Halbebene von derjenigen
Geraden liegt, die durch den anderen Schenkel nach Lage und Richtung
bestimmt ist, während der linke Schenkel links von derjenigen Geraden
liegt, die durch den ersteren Schenkel nach Lage und Richtung be-
stimmt ist.

Stellen wir nun die Aussage des Axioms III 6* nur dann als gültig
hin, wenn in den beiden Dreiecken die Seiten AB und AB' bez. AC
und ÄC zugleich die rechten bez. die linken Schenkel der Winkel BAC
und B'ÄC sind, so erhalten wir jenes Axiom in der folgenden engeren

Fassung:

III 6. Wenn für zwei Dreiecke ABC und ÄB'C die Kon-
gruenzen

AB = ÄB', AC = A'C und <£ BAC = <£ B'ÄC

gelten, so gilt auch stets

^ABC^^ÄB'C und £ ACB = <£ A'C'B',

vorausgesetzt, daß AB und A'B' die rechten Schenkel, AC und
ÄC die linken Schenkel der Winkel BAC bez. B'ÄC sind.
Das letzte Axiom in seiner ursprünglichen weiteren Fassung III 6* hat
sofort den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen
Dreieck zur Folge. Auch ist leicht zu erkennen, daß umgekehrt mit Hilfe
dieses Satzes vom gleichschenkligen Dreieck aus jenem Kongruenzaxiom

92 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

in der engeren Fassung III 6 und den vorangehenden Axiomen das Axiom
III 6* in der weiteren Fassung notwendig folgt.

Das engere Axiom III 6 zusammen mit den früheren Axiomen I, II,
III 1 — III 5 gestattet den Nachweis des Satzes von der Gleichheit der
Scheitelwinkel und der Möglichkeit der Halbierung einer jeden Strecke,
sowie den Beweis des Euklidischen Satzes, daß der Außenwinkel eines
Dreiecks stets größer ist als jeder der beiden inneren Winkel.

IV. Axiom der Parallelen (Euklidisches Axiom).

Durch einen Punkt A außerhalb einer Geraden a läßt sich
nur eine Gerade ziehen, welche a nicht schneidet.
Der Satz von der Gleichheit der Wechselwinkel, und mithin auch der
Satz, daß die Winkelsumme im Dreieck zwei Rechte beträgt, folgen aus
dem Parallelenaxiom mit Hilfe der vorangehenden Axiome, auch wenn
wir das letzte Kongruenzaxiom nur in der engeren Fassung III 6 zu
Grunde legen.

V. Axiome der Stetigkeit.

V 1. Axiom des 3Iessens (Archimedisches Axiom).

Es sei A1 ein beliebiger Punkt auf einer Geraden zwischen
den beliebig gegebenen Punkten A und B\ man konstruiere
dann die Punkte A2, A3, AA, . . ., so daß Ax zwischen A und
A2, ferner A2 zwischen Ax und A3, ferner A3 zwischen A2 und
Ai u. s. w. liegt, und überdies die Strecken

AA1} AtA%, AiA3J A3Ai} . . .

einander gleich sind: dann gibt es in der Reihe der Punkte
A2} A3, Aif . . . stets einen solchen Punkt An, daß B zwischen
A und An liegt.

V 2. Axiom der Nachbarschaft.
Ist irgend eine Strecke AB vorgelegt, so gibt es stets ein
Dreieck, in dessen Innerem keine zu AB kongruente Strecke
sich finden läßt.
Dieses Axiom der Nachbarschaft ist eine notwendige Folge aus dem
Satze von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreiecke,
wie man aus dem Umstände erkennt, daß wegen dieses Satzes vom gleich-
schenkligen Dreieck die Summe zweier Seiten in jedem Dreiecke größer
als die dritte Seite ausfällt.

Ich stelle nun folgende Behauptung auf:

Mit Benutzung der sämtlichen Axiome I — V ist es möglich, den Satz
von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Breieck zu beweisen,

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 93

auch wenn wir das Axiom von der Dreieckslwngruenz nur in der engeren
Fassung III 6 zu Grunde legen.

Um dies einzusehen, wählen wir zwei sich schneidende Gerade als
Achsen eines schiefwinkligen Koordinatensystems, und ordnen den Punkten
dieser Geraden auf Grund der linearen Kongruenzaxiome III 1 — 3 und
des Archimedischen Axioms V. 1 reelle Zahlen zu; die sämtlichen Punkte
der Ebene sind dann durch Zahlenpaare darstellbar.

Das engere Kongruenzaxiom III 6 zusammen mit V 1 gestattet leicht
die Begründung der Proportionenlehre, und aus dieser folgt, daß die Ge-
raden durch lineare Gleichungen darstellbar sind.

Fassen wir nun den Punkt mit den Koordinaten x = 1 und y = s ins
Auge, wo s eine beliebige Größe ist, und betrachten diejenige Kongruenz
der Ebene mit sich im engeren Sinne, bei welcher der Koordinatenanfang
sich selbst und die x- Achse der Verbindungsgeraden des Koordinatenanfanges
mit jenem Punkte 1 , s entspricht, so erkennen wir leicht, daß diese Drehung
durch ein Formelsystem von der Gestalt

vermittelt wird, worin as, ßs, ys, ös Zahlen bedeuten, die durch s eindeutig
bestimmt sind. Indem wir nun einer jeden Geraden durch den Koordi-
natenanfang ihren Treffpunkt (1, t) mit der Geraden x = 1 zuordnen, er-
halten wir zu jeder solchen Drehung der Ebene um den Koordinaten-
anfang eine Transformation der Punkte der Geraden x = 1 von der Gestalt

Die Koeffizienten as, ßs, ys, ds bezeichnen Funktionen von s, die sicher für
alle rationalen Werte von s definiert sind; man sieht dann leicht ein, daß
diese Funktionen sich nach dem Prinzip der Stetigkeit so ergänzen lassen
müssen, daß man aus ihnen stetige und für alle reellen Werte von s,
sowie für s = oo eindeutig definierte Funktionen erhält. Wenn das ge-
schehen ist, so liefert die Formel

eine Gruppe von linearen Transformationen, die gewiß folgende Eigen-
schaften besitzt:

1. Es gibt außer der Identität keine Transformation der Gruppe,
welche einen Wert der Variabein t festläßt.

2. Es gibt stets eine Transformation der Gruppe, welche einen ge-
gebenen Wert von t in irgend einen anderen bestimmten Wert dieser
Variabein überführt.

94 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

In meiner Abhandlung über die Grundlagen der Geometrie1) (§ 18)
habe ich bewiesen, daß eine Gruppe mit diesen Eigenschaften notwendig
holoedrisch-isomorph ist mit der Gruppe der gewöhnlichen Drehungen
eines Kreises in sich, und folglich auch mit derjenigen Transformations-
gruppe, die durch die Formel

T,_ ST+1

M —T+S

dargestellt wird, wo T, T' die Variabein und S den Parameter bedeutet.
Hieraus können wir nun entnehmen, daß die obige Gleichung zwischen
T und T' so gelöst werden kann, daß wir

l~A + BT> l A + BT'

setzen, wobei A, B, C, D Konstante bedeuten. Führen wir dann mittels

der Formeln

x = AX + BY,

y=CX + DY

statt der Koordinaten x, y die Koordinaten X, Y ein, so entspricht einer
bestimmten Drehung um den Koordinatenanfang die Formel

r _x + sy

X'~ SX—Y>
und hieraus entnehmen wir die Drehungsformeln

X'=CS(SX-Y),

r=cs(x + SY),

wobei Cs eine von S abhängige Größe bezeichnet.

Unter Zuhilfenahme des Axioms der Nachbarschaft V 2 folgt, daß
die Determinante dieser eine Drehung vermittelnden Transformations-
formeln notwendig = 1 sein muß«, mithin ist

und die Gruppe der Drehungen stellt sich daher in den Koordinaten
X, Y wie folgt dar:

X' = -JL= X- — L= Y,

Y'= ■ 1 X +

-j/i + s2 Vi + s*

Aus diesen Formeln entnehmen wir die Gültigkeit aller Tatsachen der
gewöhnlichen Euklidischen Geometrie und insbesondere den Satz von der
Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

1) Mathematische Annalen 1903. Anhang IV S. 143—145.

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 95

Wir haben im vorstehenden kurz den Beweis dafür angedeutet, daß
das Axiom von der Dreieckskongruenz im weiteren Sinne III 6* eine
Folge dieses Axioms im engeren Sinne III 6 ist, wenn man die Stetig-
keitsaxiome V 1 und V 2 zu Hilfe nimmt.

Nunmehr entsteht die Frage, ob auch ohne die Axiome der Stetigkeit
V 1 und V 2 die weitere Fassung des Axioms von der Dreieckskongruenz
sich als eine notwendige Folge der engeren Fassung desselben ergibt. Die
nachfolgende Untersuchung wird zeigen, daß dies nicht der Fall ist, selbst
dann nicht, wenn man noch die 'Proportionenlehre als gültig voraussetzt. Die
Geometrie, welche ich zu diesem Zwecke im folgenden konstruiere, beantwortet
nicht nur die eben aufgeworfene Frage, sondern verbreitet überhaupt, wie ich
glaube, über den logischen Zusammenhang des Satzes vom gleichschenkligen
Dreieck mit den anderen in Betracht kommenden elementaren Sätzen der
ebenen Geometrie neues lÄcht.

Es sei t ein Parameter und cc irgend ein Ausdruck mit einer end-
lichen oder unendlichen Gliederzahl von der Gestalt

a = aQP + a1tn + 1 + a2tn + 2 -\ ;

darin mögen a0(=f= 0), alf a2, . . . beliebige reelle Zahlen bedeuten und n
sei eine beliebige ganze rationale Zahl (= Ol. Die Gesamtheit aller Aus-
drücke von dieser Gestalt cc sehen wir als ein komplexes Zahlensystem T
an, indem wir folgende Festsetzungen treffen. Man addiere, subtrahiere,
multipliziere, dividiere irgend welche Zahlen des Systems T, als wären
sie gewöhnliche Potenzreihen, die nach steigenden Potenzen der Variabein t
fortschreiten. Die entstehenden Summen, Differenzen, Produkte und Quo-
tienten sind dann wiederum Ausdrücke von der Gestalt cc, und mithin
Zahlen des komplexen Zahlensystems T. Eine Zahl cc in T heiße < oder
> 0, je nachdem in dem betreffenden Ausdrucke cc der erste Koeffizient
a0 < oder > 0 ausfällt. Sind irgend zwei Zahlen cc, ß des komplexen
Systems T vorgelegt, so heiße cc < ß bez. a > ß, je nachdem cc — ß < 0
oder > 0 ausfällt. Es leuchtet ein, daß bei diesen Festsetzungen alle
formalen Regeln und Gesetze, wie bei den gewöhnlichen reellen Zahlen,
gültig sind; dagegen gilt für unser System T das Archimedische Axiom
nicht, da ja, wie groß auch die positive reelle Zahl A gewählt sei, stets
At < 1 bleibt; unser komplexes Zahlensystem T ist ein Nicht- Archimedi-
sches System.

Sind cc, ß irgend zwei Zahlen des Systems T, und bedeutet i die
imaginäre Einheit ]/— 1, so heiße

y = cc -\- iß
eine imaginäre Zahl zum komplexen System T.

96 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

Ist ferner t ein Ausdruck von der Gestalt

t = a0tn + axtn + 1 + a2tn+2 -\ ,

wo a0(4=0), a1} a2, . . . reelle Zahlen bedeuten und der Exponent n der
niedrigsten Potenz von t positiv ausfällt, so heiße x eine unendlich Meine
Zahl des komplexen Systems T.

Offenbar läßt sich stets die unendliche Reihe

1 + —vT + ~¥\ — + — 3! — +■'■"
nach steigenden Potenzen von t ordnen, und stellt dann eine imaginäre
Zahl zum komplexen System T dar; wir bezeichnen diese imaginäre Zahl
mit e<1+*J*. Ist dann noch & irgend eine gewöhnliche reelle Zahl, so
setzen wir . „ , • .. . . , „ , .

Nunmehr konstruieren wir mit Hilfe des komplexen Zahlensystems T
eine ebene Geometrie wie folgt:

Wir denken uns ein Paar von Zahlen (x, y) des Systems T als einen
Punkt und die Verhältnisse von irgend drei Zahlen (u : v : w) aus T, falls
u, v nicht beide 0 sind, als eine Gerade; ferner möge das Bestehen der

Gleichung

ux + vy + w — 0

ausdrücken, daß der Punkt (x, y) auf der Geraden (u : v : w) liegt.

Berücksichtigen wir die obige Pestsetzung, derzufolge die Zahlen in T
sich ihrer Größe nach anordnen lassen, so können wir leicht solche Fest-
setzungen für unsere Punkte und Geraden treffen, daß auch die Axiome II
der Anordnung sämtlich erfüllt sind. In der Tat, stellen (x1} yj, (x2) ya),
(x3, y3), . . . irgend welche Punkte auf einer Geraden dar, so möge dies
ihre Reihenfolge auf der Geraden sein, wenn die Zahlen xx, x2, xs, . . .
oder yi,y2,ys,-.- in dieser Reihenfolge entweder beständig abnehmen
bez. wachsen; um ferner die Forderung des letzten Axioms der Anord-
nung II. 4 zu erfüllen, haben wir nur nötig festzusetzen, daß alle Punkte
(x, y), für die ux + vy + w kleiner oder größer als 0 ausfällt, auf der
einen bez. auf der anderen Seite der Geraden (u : v : w) gelegen sein sollen.

Wenn zwei Punkte A, B beide zugleich entweder auf der x- Achse
oder auf der y- Achse liegen, so nennen wir die absolute Differenz der
Abszissen bez. der Ordinaten dieser beiden Punkte ihre Entfernung oder
auch die Länge der durch sie bestimmten Strecke. Nunmehr definieren
wir das Abtragen von Strecken und Winkeln durch die Parallelverschie-
bungen und Drehungen der Ebene in sich wie folgt. Die Parallelverschie-
bung wird durch eine Transformation von der Gestalt

xr = x -{- a,

y' = y + ß

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 97

oder x -f iy' = x -\- iy -{- u -\- iß

vermittelt, worin a, ß Zahlen in T, nämlich die Projektionen der Parallel-
verschiebung in Richtung der Achsen sind. Die Drehung der Ebene um
den Koordinatenanfangspunkt (0, 0) werde durch die Formel

x' -\- iy' = ei9+(l + i^(x + iy)

vermittelt, worin 0- irgend eine reelle Zahl bedeutet, und x irgend eine
unendlich kleine Zahl im komplexen System T bedeutet; ^-f-r heiße der
Drehungswinkel dieser Drehung.

Zunächst ist klar, daß bei allen Verschiebungen und Drehungen der
Ebene jede Gerade wiederum in eine Gerade übergeht, und zugleich die
Anordnung der Punkte auf einer Geraden sowie ihre Lage zu den Geraden
ebenfalls unverändert bleibt.

Es seien nun (x, y) und (x', y') irgend zwei vom Koordinatenanfangs-
punkt verschiedene Punkte. Die Punkte der Verbindungsgeraden von
(x'} y') mit dem Koordinatenanfangspunkt werden durch die Koordinaten
{ix'} [iy' dargestellt, worin fi irgend eine Zahl des komplexen Systems T
bedeutet. Wir wollen nun zeigen, daß es stets eine Drehung um den
Koordinatenanfangspunkt gibt, durch welche der Punkt (x, y) in einen
Punkt jener Verbindungsgeraden übergeht. Zu dem Zwecke untersuchen
wir die Gleichung

Durch Division mit der konjugiert imaginären Gleichung folgt

oder

worin

e2i(#+i) x + jy = x\ + jy'

x — iy x — iy'

% + in

: — iy x'-\-iy'

gesetzt ist. Wegen

x-\-iy x — iy'

I2 + V2 = 1

folgt, daß |, rj solche Zahlen in T sind, bei deren Darstellung durch t die
niedrigsten Exponenten der Potenzen von t ^ 0 sind, und mindestens einer
derselben = 0 ausfällt. Wir können mithin setzen

l -•+!',

worin a, b gewöhnliche reelle Zahlen mit der Quadratsumme 1 und £ ', r\ '
unendlich kleine Zahlen in T bedeuten.

Die reelle Zahl & ist durch die Gleichung

e2i& = a + ib

Hubert, Grundlagen der Geometrie. 7

98 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

bis auf ganze Vielfache von 7t, und ferner t als unendlich kleine Zahl
in T durch die Gleichung

a -f- ib
völlig eindeutig bestimmt. Nach Einsetzung von & und r in die ur-
sprüngliche Gleichung folgt (i eindeutig als eine Zahl in T. Wir sehen
daraus, daß es stets eine Drehung von der gewünschten Beschaffenheit
gibt, und daß diese Drehung bis auf Drehungen um den Winkel % ein-
deutig bestimmt ist.

Nunmehr nennen wir irgend welche Strecken und Winkel einander
kongruent oder gleich, sobald es gelingt, dieselben durch Verschiebungen
und Drehungen der Ebene miteinander zur Deckung zu bringen. Unsere
obige Entwicklung zeigt dann, daß die sämtlichen Axiome III erfüllt
sind, wobei das letzte Kongruenzaxiom im engeren Sinne III 6 zu ver-
stehen ist. Auch gilt, wie man sieht, das Parallelenaxiom IV, und aus
der Formel für die Drehung kann ferner leicht ersehen werden, daß auch
das Axiom V 2 der Nachbarschaft in unserer Geometrie gültig ist.

Wir fassen dies wie folgt zusammen:

In unserer Geometrie gelten die sämtlichen oben aufgestellten Axiome
der gewöhnlichen ebenen Geometrie mit Ausnahme des Archimedischen
Axioms V 1, so jedoch, daß das Axiom über die Dreieckskongruenz dabei
in der engeren Fassung III 6 zu verstehen ist.

Wir leiten noch einige weitere Sätze ab, die in unserer Geometrie
gültig sind:

In unserer Geometrie gibt es einen rechten Winkel, und jeder be-
liebige Winkel ist halbierbar.

In der Tat, — ist gewiß ein rechter Winkel, weil derselbe bei einer

Drehung um in seinen Nebenwinkel übergeht. Ebenso leuchtet ein,

daß, wenn & -j- r einen beliebigen Winkel be-
deutet, — + ö^ die Hälfte desselben ist.

Wir führen nun den Begriff der Spiege-
lung an einer Geraden a wie folgt ein. Fällen
wir von irgend einem Punkte A auf irgend
eine Gerade a das Lot und verlängern dieses
um sich selbst über den Fußpunkt B hinaus
bis Ä, so heiße A' der Spiegelpunkt von A.
Wir wählen zunächst zur Geraden a die
x- Achse und für A einen Punkt im positiven Quadranten mit den Koor-
dinaten a, ß. Der Winkel AOB zwischen dem Halbstrahl OA und der

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 99

positiven x- Achse sei # + t, und zwar möge der Punkt x = y auf der
x- Achse bei der Drehung um den Winkel & + r in den Punkt A über-
gehen, so daß

wird. Der Spiegelpunkt A des Punktes A in Bezug auf die x- Achse
hat die Koordinaten cc, — ß. Führen wir mithin die Drehung um den
Winkel & -\- t aus, so entsteht aus dem Punkte Ä ein Punkt, der durch
die imaginäre Zahl

g^-Ki+o* (a _ iß) _ «_±il (a _ iß) = ^±£

dargestellt wird, d. h. der entsprechende Punkt liegt auf der x- Achse 5
folglich ist der Winkel Ä OB ebenfalls gleich -fr + t, und stimmt
mithin mit dem Winkel AOB überein. Wir sprechen dies Resultat
wie folgt aus:

Wenn in zwei symmetrisch liegenden rechtwinkligen Dreiecken die
beiden Katheten übereinstimmen, so sind auch die entsprechenden Winkel
an der Hypotenuse einander gleich.

Wir folgern hieraus zugleich den allgemeineren Satz:

Im Spiegelbilde einer Figur stimmen die Winkel stets mit den ent-
sprechenden Winkeln der ursprünglichen Figur überein.

Es sei a irgend eine Gerade durch den Anfangspunkt 0, und -fr -f- %
sei der Winkel zwischen a und der x- Achse: dann erhält man zu dem
beliebigen Punkt (x, y) den Spiegelpunkt in Bezug auf die Gerade a,
indem man die Ebene zunächst um den Winkel — # — r dreht, sodann
an der x- Achse spiegelt, und schließlich die Ebene um den Winkel & -f- r
dreht. Die Ausführung dieser Operationen liefert der Reihe nach aus
der imaginären Zahl x -\- iy die Zahlen

«-«♦-(»+0« (x + iy), e^-a-O' (3 — ig)}
ei&+(i+ii* ei»-(i-i)t ^ _ iy) = e2i(# + i) (x _ f'y).

mithin wird die Spiegelung an der Geraden a durch die Formel

x + iy = e2,'(^+f) (x — iy)

für den Spiegelpunkt vermittelt.

Nun mögen ax, a2 ebenfalls zwei Gerade durch den Anfangspunkt 0
und fr, + r1 bez. #2 + r2 die Winkel bedeuten, die diese Gerade mit der
x-Achse einschließen. Führen wir der Reihe nach die Spiegelungen an
den Geraden a, a1} a2 aus> s0 wird die entsprechende Transformation des
Punktes {x, y) durch die Formel

x' + iy = e»*(+*-*i+*,+*-*x+«J (x — iy)

vermittelt, und hieraus entnehmen wir das folgende Resultat:

100 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

"Wenn man an irgend drei durch einen Punkt gehenden Geraden
nacheinander die Spiegelung ausführt, so ist die dann entstehende Trans-
formation der Ebene wiederum eine Spiegelung.

Aus diesem Satze beweisen wir leicht die weiteren Sätze:
Die Mittelsenkrechten auf den drei Seiten eines Dreieckes treffen
sich in einem Punkt.

Wenn in einem Vierecke ABCB ohne einspringende Ecken die
Winkel AGB und ABB übereinstimmen, so sind auch die Winkel BAC
und BBC einander gleich.

Die genannten Sätze genügen, um die Proportionenlehre ohne Hilfe
des Satzes vom gleichschenkligen Dreiecke zu begründen: man hat nur
nötig, den in meiner Festschrift Grundlagen der Geometrie (§§ 14 — 16)
dargelegten Beweis in geeigneter Weise abzuändern, was leicht geschehen
kann. Wir erkennen hieraus, daß es zur Begründung der Proportionen-
lehre in der ebenen Euklidischen Geometrie nicht des vollständigen Axioms
von der Dreieckskongruenz im weiteren Sinne III 6* bedarf, sondern daß
dazu diejenigen Bestandteile dieses Axioms hinreichen, die in den eben
genannten Sätzen enthalten sind.

Der Fundamentalsatz der Proportionenlehre lautet:
Schneiden zwei Parallele auf den Schenkeln eines beliebigen Winkels
die Strecken a, b bez. a, b' ab, so gilt die Proportion

a:b = d :b'.

Umgekehrt, wenn vier Strecken a, b, d, b' diese Proportion erfüllen,
und a, d und b, b' je auf einem Scheitel eines beliebigen Winkels ab-
getragen werden, so sind die Verbindungsgeraden der Endpunkte von a, b
bez. von d, b' einander parallel.

Dieser Satz konnte auch direkt aus dem Umstände abgeleitet werden,
daß in unserer Geometrie die Geraden durch lineare Gleichungen definiert
sind, und zugleich erkennen wir hieraus diese Tatsachen:

In unserer Geometrie gelten die Schnittpunktsätze von Pascal und
Desargues, und daher überhaupt alle Sätze der projektiven Geometrie.

Wir kommen nun zu der wesentlichsten Frage, ob in unserer Geo-
metrie der Satz von der Gleichheit der Basiswinkel des gleichschenkligen
Breieckes gilt.

Zum Zwecke dieser Untersuchung sei a eine Gerade durch den
Koordinatenanfang 0, die mit der x- Achse den Winkel & -\- t einschließt;
ferner sei A ein Punkt auf a so, daß die Strecke OA = 1 ausfällt, und
Ä sei der Spiegelpunkt von A in Bezug auf die #-Achse (vgl. Fig. S. 101).

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 101

Um die Koordinaten (x, y) des Punktes A zu berechnen, bedenken wir,
daß die Drehung um den Winkel — & — t den Punkt A in den Punkt
mit den Koordinaten 1, 0 überführen muß;
wir haben mithin

c-**-^+i>*(aj-f*y)-* 1,

und folglich

x -f iy — e^+U+Q«,

d.h. x = OB = e* cos (# + *),

y = AB = AB = cx sin (0- + x).

Um die Länge der Strecke 0A' zu be-
rechnen, bedenken wir, daß Ä die Koordi-
naten x, — y besitzt; die Drehung um den Winkel & -f- t liefert mithin

ei9+(i + i)t rx iy\ = ei$ + (i + i)t-i#+(i-i)t — e2«

d. h. die Strecke OJ/ fällt gleich e2t aus, und sie unterscheidet sich
mithin von der Strecke 1 um eine unendlich kleine von 0 verschiedene
komplexe Zahl.

Wir ersehen hieraus, daß im allgemeinen in zwei symmetrisch
liegenden rechtwinkligen Dreiecken mit übereinstimmenden Katheten die
Hypotenusen voneinander verschieden ausfallen, und mithin bei der
Spiegelung an einer Geraden die Strecken im Spiegelbilde denjenigen in
der ursprünglichen Figur nicht notwendig gleich sind.

In unserer Geometrie gilt nicht der Satz vom gleichschenkligen Dreieck,
und also auch nicht das Axiom von der Kongruenz der Breiecke im wei-
teren Sinne.

Wir erörtern noch in unserer Geometrie die Euklidische Lehre vom
Flächeninhalt der Polygone und den Satz von der Geraden als der
kürzesten Verbindung von zwei Punkten.

Was die erstere Frage betrifft, so mögen zwei Polygone zerlegungsgleich
heißen, wenn sie in eine endliche Anzahl von Dreiecken zerlegt werden
können, die paarweise einander kongruent sind, und zwei Polygone
mögen inhaltsgleich heißen, wenn es möglich ist, zu denselben zwei zer-
legungsgleiche Polygone zuzufügen, so daß die beiden zusammengesetzten
Polygone einander zerlegungsgleich sind.

Aus diesen Definitionen wird leicht die Inhaltsgleichheit zweier Drei-
ecke mit gleicher Grundlinie und gleicher Höhe bewiesen.

Auch gilt in unserer Geometrie der Pythagoräische Lehrsatz, dem-
zufolge die beiden Quadrate über den Katheten irgend eines rechtwinkligen
Dreieckes zusammen inhaltsgleich dem Quadrate über der Hypotenuse sind.

102 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

Denn wir erkennen, daß in dem Euklidischen Beweise des Pythagoräischen
Lehrsatzes durchweg nur die Kongruenz von gleichliegenden Dreiecken,
und mithin nur das Axiom über die Dreieckskongruenz im engeren Sinne
benutzt wird.

Wenden wir den Pythagoräischen Lehrsatz auf die beiden vorhin
konstruierten symmetrisch liegenden rechtwinkligen Dreiecke OAB und
OÄB (Fig. S. 101) an, so folgt, daß die Quadrate über den beiden
Hypotenusen OA = 1 und OÄ = e2r einander inhaltsgleich sind, d. h.
es gibt in unserer Geometrie Quadrate, deren Seiten sich um unendlich
kleine von 0 verschiedene Zahlen unterscheiden und die dennoch einander
inhaltsgleich siud.

Infolge dieses Umstandes hat in unserer Geometrie der fundamentale
Satz Euklids, wonach zwei inhaltsgleiche Dreiecke mit gleicher Grund-
linie stets von gleicher Höhe sind, ebenfalls keine Gültigkeit...

Unsere Geometrie führt uns mithin zu folgender Erkenntnis:

Es ist unmöglich, auf das Axiom der Dreieckskongruenz im engeren
Sinne die Euklidische Lehre vom Flächeninhalt zu begründen, selbst wenn
man die Gültigkeit der Proportionenlehre hinzunimmt.

In meiner Festschrift Grundlagen der Geometrie habe ich den Satz
Euklids von der Gleichheit der Höhen in inhaltsgleichen Dreiecken auf
gleicher Grundlinie dadurch bewiesen, daß ich den Begriff des Flächen-
maßes einführte. Dieses Flächenmaß habe ich als das halbe Produkt
aus Grundlinie und Höhe definiert. Der Nachweis, daß diese Größe
davon unabhängig ist, welche Seite des Dreiecks man als Grundlinie
wählt, erfordert in der Tat die Benutzung symmetrisch gelegener
ähnlicher Dreiecke, und mithin das Axiom über die Dreieckskongruenz
im weiteren Sinne.

Da in unserer Geometrie die bekannte Beziehung zwischen der
Hypotenuse und den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, welche in
der gewöhnlichen Geometrie aus dem Pythagoräischen Lehrsatz geschlossen
wird, nicht gilt, so möchte ich unsere Geometrie eine Nicht-Pythagoräische
Geometrie nennen.

Eine weitere Folgerung, die Euklid aus dem Satze von der Gleich-
heit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreiecke zieht, ist der Satz,
daß in jedem Dreiecke die Summe zweier Seiten größer als die dritte
ausfällt. Um die Gültigkeit dieses Satzes in unserer Geometrie zu prüfen,
nehmen wir in dem rechtwinkligen Dreiecke OÄB (Fig. S. 101) & = 0,
so daß die Hypotenuse OÄ mit der Kathete OB den unendlich kleinen
von 0 verschiedenen Winkel t einschließt. Wir erhalten dann die Summe
der beiden Katheten durch die komplexe Zahl

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 103

e* (cos x + sin r) = (l + x + - + ■ ■ •) (l - j + • • • + t - j + • • •)
= 1 + 2x + x2 + • • •

ausgedrückt, und diese Zahl ist offenbar um eine unendlich kleine von 0
verschiedene Zahl kleiner als die Hypotenuse

OÄ = e2* - 1 + 2x + 2t2 + • • •

Der Satz, wonach die Summe zweier Seiten in jedem Dreieck größer
als die dritte ist, gilt also nicht in unserer Geometrie.

Wir erkennen hieraus die wesentliche Abhängigkeit dieses Satzes von
dem Axiom über die Breieckskongruenz im weiteren Sinne.

Wir fassen die hauptsächlichsten aus unserer Nicht -Pythagoräischen
Geometrie entspringenden Resultate zusammen wie folgt:

Verstehen wir das Axiom über die Dreieckskongruenz im engeren Sinne
und nehmen wir von den Stetigkeitsaxiomen nur das Axiom der Nach-
barschaft als gültig an, dann ist der Satz von der Gleichheit der Basis-
winkel im gleichschenkligen Breieck nicht beweisbar, selbst dann nicht, wenn
wir die Lehre von den Proportionen als gültig voraussetzen. Ebenso wenig
folgt die Euklidische Lehre von den Flächeninhalten; auch der Satz, wonach
die Summe zweier Seiten im Breieck größer als die dritte ausfällt, ist keine
notwendige Folge der gemachten Annahmen.

Wir wollen noch eine andere Nicht -Pythagoräi sehe Geometrie kon-
struieren, die sich von der eben behandelten Geometrie dadurch unter-
scheidet, daß in ihr das Archimedische Axiom (V 1), dagegen nicht das
Axiom von der Nachbarschaft (V 2) gültig ist.

Man betrachte den Bereich il aller derjenigen algebraischen Zahlen,
welche hervorgehen, indem man von der Zahl 1 ausgeht und eine endliche
Anzahl von Malen die vier Rechnungsoperationen: Addition, Subtraktion,
Multiplikation, Division und die fünfte Operation ]/l -f oo2 anwendet,
wobei (o jedesmal eine Zahl bedeuten kann, die vermöge jener fünf
Operationen bereits entstanden ist.

Wir denken uns ein Paar von Zahlen x, y aus Sl als einen Punkt

und die Verhältnisse von irgend drei Zahlen (u : v : w) aus Q, falls u, v

nicht beide 0 sind, als eine Gerade; ferner möge das Bestehen der

Gleichung

ux -f- vy -f w = 0

ausdrücken, daß der Punkt (x, y) auf der Geraden (u : v : w) liegt.

Die Anordnung der Punkte und Geraden, sowie die Festsetzung über
die Parallel Verschiebung treffen wir genau wie vorhin, dagegen weichen
wir von der früheren Festsetzung hinsichtlich der Drehung um einen
Punkt in folgender Weise ab:

104 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

Wir fassen die Punkte der Geraden x = 1 ins Auge; da dieselben
ein abzählbares System bilden, so können wir sie in diese Reihe bringen:
Px, P2, P3, . . . Es sei dann allgemein ♦, der Winkel, unter welchem
die Verbindungslinie des Punktes Pk mit dem Koordinatenanfang die
x- Achse schneidet. Wir wählen nun aus der Reihe 0^, #2 , 4fr,, * . . eine
solche Reihe &k , 0^, a)-^, . . . aus, daß für keinen Wert von n eine
Gleichung von der Gestalt

#,n - r* + r^ki + r2\ +■■■ + r..^^

besteht, wo r, r1} r%i . . . , rn_x rationale Zahlen sind, während andererseits
für jedes k sich ein Wert von n bestimmen läßt, so daß

»k - r* + r»^+ rt«^+ • • • + rn^

besteht, wobei r, rx, r2, . . . , rn rationale Zahlen sind.

Die Drehung unserer Ebene um den Winkel d| werde dann durch

die Formel

x + «'?/' = e,**+r* (a; 4- i«/)
vermittelt.

Es stellt sich heraus, daß in dieser Geometrie sämtliche Axiome I
bis IV erfüllt sind, wenn das Axiom über die Dreieckskongruenz im
engeren Sinne III 6 verstanden wird. Außerdem gilt das Archimedische
Axiom V 1, dagegen nicht das Axiom der Nachbarschaft V 2. Auch
die oben genannten Sätze und die aus diesen zu ziehenden Folge-
rungen, insbesondere die Proportionenlehre ist gültig. Dagegen gilt nicht
der Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen
Dreieck, und folglich auch nicht die Euklidische Lehre vom Flächen-
inhalt. Der Satz, daß die Summe zweier Seiten größer als die dritte
ist, gilt in unserer Geometrie ebenfalls nicht, da ja aus diesem Satze
das Axiom der Nachbarschaft V 2 notwendig folgen würde.

Zur Gültigkeit des Satzes von der Gleichheit der Basiswinkel im gleich-
schenkligen Dreieck sind mithin beide Stetigkeitsaxiome V 1, V 2 erforderlich:
in der Tat haben wir in dem früheren Beweise am Anfange dieser Unter-
suchung (S. 93 — S. 94) jedes dieser beiden Axiome benutzt.

Wir haben oben (vgl. S. 91 — S. 92) erwähnt, daß aus dem Dreieckskon-
gruenzaxiom in der engeren Fassung III 6 und den vorangehenden Axiomen
notwendig das Kongruenzaxiom III 6 und mithin allgemein die Kongruenz
der Figuren in der weiteren Fassung folgt, sobald wir den Satz von
der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck als gültig
annehmen. Es erscheint mir bemerkenswert, daß diese Ergänzung des
Kongruenzaxioms in der engeren Fassung III 6 noch auf eine ganz
andere Weise geschehen kann, nämlich mittels einer sehr anschaulichen

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 105

Forderung, deren Inhalt wesentlich mit dem in den Grundlagen von mir
bewiesenen Satz 32 (S. 46) übereinstimmt und die andererseits, wie wir
in dieser Note (vgl. S. 102) gezeigt haben, nicht eine Folgerung der
Kongruenzsätze im engeren Sinne ist.

Es seien die Begriffe „zerlegungsgleich" und „inhaltsgleich" wie in
§ 18 der Grundlagen der Geometrie definiert — so jedoch, daß dabei
der Kongruenzbegriff im engeren Sinne zu verstehen ist. Dement-
sprechend werden im folgenden stets nur das Kongruenzaxiom in der
engeren Fassung III 6 und die vorangehenden Axiome I, II, III 1 — III,
sowie das Parallelaxiom IV angewandt.

Die fragliche Forderung, die dann als Ergänzung dienen soll, lautet:

Forderung. Ein Polygon ist niemals mit einem

Polygone zerlegungsgleich, dessen Begrenzung innere

Punkte, jedoch keine äußeren Punkte des ersteren

Polygons enthält.

Zunächst folgt aus dieser Forderung leicht der Satz:

Ein Polygon ist niemals mit einem Polygone inhaltsgleich, dessen
Begrenzung innere Punkte, jedoch keine äußeren Punkte des ersteren
Polygons enthält.

In der Tat, wäre ein Polygon P dem innerhalb P gelegenen
Polygon Q inhaltsgleich, so müßten zwei einander zerlegungsgleiche
Polygone P' und Q' existieren, so daß das Polygon P -\- P' mit dem
Polygon Q + Q' zerlegungsgleich wäre. Da dann auch P -f P' mit
P -f Q' zerlegungsgleich wäre, so müßten auch die Polygone P -\- Q'
und Q + Q' zerlegungsgleich sein, was der aufgestellten Forderung
widerspricht.

Nunmehr beweisen wir der Reihe nach die folgenden Sätze:

Wenn in einem Dreiecke ABC die beiden Winkel bei A und B
einander gleich sind, so sind auch stets die diesen Winkeln gegenüber-
liegenden Seiten einander gleich.

Zum Beweise bestimmen wir auf AB die Punkte E und D, so daß
AD = BG und BE = AG wird. Nach dem ersten Kongruenzsatze in
der engeren Fassung folgt die Kongruenz
der Dreiecke DAG und CBE; diese beiden C

Dreiecke sind mithin auch inhaltsgleich.
Wir schließen hieraus, daß auch ihre Grund-
linien AD und BE miteinander überein-
stimmen. Wäre dies nämlich nicht der Fall

und nehmen wir etwa AD' = BE, so würde »/ /e J>\ \D \j?

nach dem bekannten Euklidischen Verfahren

106 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

(vgl. S. 41) folgen, daß die beiden Dreiecke AD' C und BEC einander inhalts-
gleich sind. Dann aber müßten auch die Dreiecke ABC und AB' G
einander inhaltsgleich sein, was dem vorhin aus unserer Forderung ge-
wonnenen Satze widerspricht. Die Gleichheit der Strecken AB und BE
führt unmittelbar zu der von uns aufgestellten Behauptung.

Wenn in einem Dreiecke ABC die beiden Seiten AC und BC
einander gleich sind, so sind auch stets die diesen Seiten gegenüber-
liegenden Winkel einander gleich.

Zum Beweise nehmen wir im Gegenteil an, daß der Winkel <£ GAB
größer als <£ CBA sei. Sodann bestimmen wir auf der Geraden AB
die Punkte A' und B' derart, daß

<£CÄB = ^CBA und <£CB'A = ^CAB

wird. Nach dem vorhin bewiesenen Satze ist mithin

CA = CB und CB' = CA
und hieraus folgt mit Benutzung der Voraussetzung:
(1*) CA' - CB'.

Wenden wir den Satz vom Außenwinkel auf die Dreiecke ACA'

und BCB' an, so erhalten wir die
Gleichungen

<£ ACA' - <£ CAB - <£ GAB
und

<£ BCB' = <£ CB'A - £ CBA-
mithin ist
A Ä B B (2*) ^ACÄ = ^BCB'.

Die Formeln (1*) und (2*) in Verbindung mit der Voraussetzung
lehren, daß die Dreiecke ACA' und BCB' im engeren Sinne miteinander
kongruent sind; dann aber wäre auch insbesondere

•^AA'C = ^BB'C

Diese Folgerung ist ein Widersinn, da die beiden Winkel bez. innerer
Winkel und nicht anliegender Außenwinkel im Dreieck AB ' C sind.

Damit ist der aufgestellte Satz bewiesen und wir erkennen zugleich,
daß die Dreieckskongruenzsätze im weiteren Sinne eine notwendige Fol-
gerung aus dem Kongruenzaxiom in der engeren Form III 6 sind, wenn
man noch die obige anschauliche Forderung über den Begriff der Zer-
legungsgleichheit zu Hilfe nimmt.

Mit Hilfe der beiden Stetigkeitsaxiome V 1 und V 2 ist es noch
nicht möglich, die ebene Geometrie als identisch mit der gewöhnlichen
analytischen „Cartesischen" Geometrie nachzuweisen, in der federn Zahlen-

Anhang III: Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie. 107

paar ein Punkt der Ebene entspricht. Zu diesem Nachweise ist aber
weder das Axiom vom Dedekindschen Schnitte, noch das Axiom von
der Existenz der Grenzpunkte notwendig; vielmehr genügt es, das
Axiom Y 2 durch das Axiom allgemeineren Charakters zu ersetzen,
welches ich bereits in den Grundlagen der Geometrie1) aufgestellt und
Axiom der Vollständigkeit genannt habe.

Anhang III.
Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.

Abgedruckt aus Math. Ann. Bd. 57.

In meiner Festschrift „Grundlagen der Geometrie" Kap. I (S. 2 — S. 18) 2)
habe ich ein System von Axiomen für die Euklidische Geometrie aufgestellt
und dann gezeigt, daß lediglich auf Grund der die Ebene betreffenden Be-
standteile dieser Axiome der Aufbau der ebenen Euklidischen Geometrie mög-
lich ist, selbst wenn man die Anwendung der Stetigkeitsaxiome vermeidet.
In der folgenden Untersuchung ersetze ich das Parallelenaxiom durch eine
der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie entsprechende Forderung und zeige
dann ebenfalls, daß ausschließlich auf Grund der ebenen Axiome ohne An-
wendung von Stetigkeitsaxiomen die Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen
Geometrie in der Ebene möglich ist.

Diese neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie
steht, wie mir scheint, auch hinsichtlich ihrer Einfachheit den bisher
bekannten Begründungsarten, nämlich derjenigen von Bolyai und Lobat-
schefsky, die beide sich der Grenzkugel bedienten, und derjenigen von
F. Klein mittels der projektiven Methode nicht nach. Die genannten
Begründungen benutzen wesentlich den Raum sowohl wie die Stetigkeit.

Zur Erleichterung des Verständnisses stelle ich nach meiner Festschrift
„Grundlagen der Geometrie" die Axiome der ebenen Geometrie zusammen,
wie folgt:

I. Axiome der Verknüpfung.

I 1. Zwei voneinander verschiedene Punkte A und B bestimmen
stets eine Gerade.

I 2. Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden
bestimmen diese Gerade.

1) § 8 S. 16; man vergleiche auch meinen Vortrag über den Zahlbegriff: Be-
richte der deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1900.

2) Vergleiche auch meine Abhandlung „Über den Satz von der Gleichheit der
Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck". Proceedings of the London Mathematical
Society, Bd. 35. 1903 Anhang II.

108 Anhang III: Begründung der Bolyai-Lobatschefskyaehen Geometrie.

I 3. Auf jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte. Es gibt
wenigstens drei Punkte, welche nicht in einer Geraden liegen.

II. Axiome der Anordnung.

II 1. Wenn A, B, C Punkte einer Geraden sind und B zwischen
A und C liegt, so liegt auch B zwischen C und A.

II 2. Wenn A und B zwei Punkte einer Geraden sind, so gibt
es wenigstens einen Punkt C, der zwischen A und B liegt, und wenigstens
einen Punkt B, so daß B zwischen A und D liegt.

II 3. Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets einen
und nur einen Punkt, der zwischen den beiden anderen liegt.

Erklärung: Die zwischen zwei Punkten A und B gelegenen Punkte
heißen auch die Punkte der Strecke AB oder BA.

II 4. Es seien A, B, C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte
und a eine Gerade, die keinen der Punkte A, B, C trifft; wenn dann
diese Gerade durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie gewiß
auch durch einen Punkt der Strecke BC oder der Strecke AC.

III. Axiome der Kongruenz.

Erklärung: Jede Gerade zerfällt von irgend einem ihrer Punkte
aus in zwei Halbgerade (Halbstrahlen) oder Hälften.

III 1. Wenn A, B zwei Punkte der Geraden a sind und A' ein Punkt
einer Geraden a ist, so kann man auf einer gegebenen Hälfte der Ge-
raden a von A' aus stets einen und nur einen Punkt B' finden, so daß
die Strecke AB der Strecke A ' B' kongruent oder gleich ist; in Zeichen:

AB- A'B'.
Jede Strecke ist sich selbst kongruent; in Zeichen:

AB = AB und BA = AB.
III 2. Wenn die Strecke AB sowohl der Strecke A' B' als auch der
Strecke A" B" kongruent ist, so ist auch A ' B' der Strecke A" B"
kongruent.

III 3. Es seien AB und BC zwei Strecken ohne gemeinsame
Punkte auf a und ferner A'B' und B' C zwei Strecken ohne gemein-
same Punkte auf einer Geraden a'; wenn dann AB = A'B' und
BC = B'C, so ist auch AC=A'C.

Erklärung. Ein von einem Punkte A ausgehendes Paar von Halb-
geraden h und k, die nicht zusammen eine Gerade ausmachen, nennen
wir einen Winkel und bezeichnen ihn entweder mit

Die Punkte der Ebene, welche bezüglich h auf derselben Seite wie

Anhang III: Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie. 109

k und zugleich bezüglich k auf derselben Seite wie h liegen, bilden den
Winkelraum von ^Qik).

III 4. Es sei ein Winkel Qik), eine Gerade a und eine bestimmte
Seite von a gegeben. Es bedeute K eine Halbgerade der Geraden a, die
vom Punkte 0 ausgeht: dann gibt es eine und nur eine Halbgerade k', so
daß der Winkel (hh) dem Winkel Qi'k') kongruent oder gleich ist, in
Zeichen:

<£ (hk) = <£ {h'k')

und daß zugleich alle Punkte des Winkelraums von ^Qi'k') auf der
gegebenen Seite von a liegen.

Jeder Winkel ist sich selbst kongruent, in Zeichen:

«£ (hh) == «£ (hh) und ^.(Jik) = (kh).
IH 5. Wenn ein Winkel (hk) sowohl dem Winkel Qi'k') als auch
dem Winkel Qi'k") kongruent ist, so ist auch der Winkel Qi'k') dem
Winkel Qi'k") kongruent.

III 6. Wenn für zwei Dreiecke ABC und A'B'C die Kongruenzen
AB = A'B', AC = A'C und «£ BAC = <£ B'A'C
gelten, so gilt auch stets

«£ ABC ==<£ A'B'C und ^ACB = ^A'C'B'.
Aus den Axiomen I — III folgen leicht die Sätze über die Kongruenz x>~*J*X- *
der Dreiecke und über das gleichschenklige Dreieck und zugleich erkennt
man die Möglichkeit, ein Lot zu errichten oder zu fällen, sowie eine ge-
gebene Strecke oder einen gegebenen Winkel zu halbieren. Insbesondere
folgt auch wie bei Euklid der Satz, daß in jedem Dreiecke die Summe
zweier Seiten größer als die dritte ist.

IV. Axiom von den sich schneidenden und nicht schneidenden

Geraden.

Wir sprechen nun das Axiom, welches in der Bolyai-Lobatschefsky-
schen Geometrie dem Parallelenaxiom der Euklidischen Geometrie ent-
spricht, wie folgt, aus:

IV. Ist b eine beliebige Gerade und A ein nicht auf ihr gelegener
Punkt, so gibt es stets durch A zwei Halbgerade aif a2, die nicht ein
und dieselbe Gerade ausmachen und die Gerade b nicht schneiden,
während jede in dem durch alt a2 gebildeten Winkelraum gelegene von
A ausgehende Halbgerade die Gerade b schneidet.

Erklärung. Die Gerade b zerfalle von irgend einem ihrer Punkte
B aus in die beiden Halbgeraden blf b2 und es mögen a1} bt auf der
einen und a2, b2 auf der anderen Seite der Geraden AB liegen: dann soll
die Halbgerade o, zu der Halbgeraden bt und ebenso die Halbgerade a2 zu

HO Anhang'^ III: Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.

der Halbgeraden b2 parallel genannt werden; desgleichen sagen wir, es seien
die beiden Halbgeraden aif a2 zu der Geraden b parallel und auch von

jeder der beiden Geraden, von denen ax
bez. a2 Halbgerade sind, sagen wir, daß sie
zu b parallel sind.

Es folgt sofort die Richtigkeit folgen-
der Tatsachen:

Wenn eine Gerade oder Halbgerade
zu einer anderen Geraden oder Halbgeraden
parallel ist, so ist stets auch diese zu jener parallel.

Wenn zwei Halbgerade einer dritten Halbgeraden parallel sind, so
sind sie untereinander parallel.

Erklärung. Jede Halbgerade bestimmt ein Ende; von allen Halb-
geraden, die zueinander parallel sind, sagen wir, daß sie dasselbe Ende
bestimmen. Eine vom Punkte A ausgehende Halbgerade mit dem Ende a
werde allgemein mit (Act) bezeichnet. Eine Gerade besitzt stets zwei Enden.
Allgemein werde eine Gerade, deren Enden a und ß sind, mit (a, ß) bezeichnet.
Wenn A, B und Ä, B' zwei Punktepaare und a und a zwei Enden
von derart sind, daß die Strecken AB und A'B' einander gleich sind und
überdies der von AB und der Halbgeraden (A, a) gebildete Winkel gleich
dem von AB' und der Halbgeraden (AI, a) gebildeten Winkel wird, so
ist, wie man leicht erkennt, stets auch der von BA und (B, a) gebildete
Winkel gleich dem von B' A' und (B' a) gebildeten Winkel; die beiden
Figuren ABa und A'B'a heißen einander kongruent.

Endlich definieren wir noch in bekannter Weise den Begriff des
Spiegelbildes :

Erklärung. Wenn wir von einem Punkte aus auf eine Gerade das
Lot fällen und dieses über seinen Fußpunkt hinaus um sich selbst ver-
längern, so heiße der entstehende Endpunkt das Spiegelbild des ursprüng-
lichen Punktes an jener Geraden.

Die Spiegelbilder für die Punkte einer Geraden liegen wiederum
auf einer Geraden; diese heiße das Spiegelbild der ursprünglichen Geraden.

§ 1.
Hilfssätze.

Wir beweisen zunächst der Reihe nach folgende Hilfssätze:
Satz 1. Wenn zwei Gerade eine dritte Gerade unter gleichen Gegen-
winkeln schneiden, so sind sie gewiß nicht zueinander parallel.

Beweis. Wir nehmen im Gegenteil an, daß die beiden Geraden nach
einer Richtung hin zueinander parallel wären. Führen wir dann um die
Mitte der auf der dritten Geraden ausgeschnittenen Strecke eine Halb-

lr.

Anhang III: Begründung der Bolyai-Lobatschefskyscken Geometrie. Hl

drehung aus, d. h. konstruieren wir über der anderen Seite jener Strecke
das betreffende kongruente Dreieck, so würde folgen, daß die beiden
ersteren Geraden auch nach der anderen Richtung hin zueinander parallel
sind, und dies widerspräche dem Axiom IV.

Satz 2. Wenn irgend zwei Gerade a, b vorgelegt sind, die sich
weder schneiden noch zueinander parallel sind, so gibt es stets eine Gerade,
welche auf beiden zugleich senkrecht steht.

Beweis. Von irgend zwei Punkten A und P der Geraden a fällen
wir die Lote AB und PB' auf die Gerade b. Es sei das Lot PB' größer
als das Lot AB: dann tragen wir AB von B' aus auf B ' P ab bis Ä,
so daß der Punkt Ä zwischen P und B' liegt. Nunmehr konstruieren
wir die Gerade a durch A', welche B'A' in A' unter demselben Winkel

und in demselben*Sinne wie die Gerade a das Lot B A in A schneidet. Wir
wollen beweisen, daß diese Gerade a notwendig die Gerade a treffen muß.

Zu dem Zwecke bezeichnen wir diejenige Halbgerade, in welche a
von P aus zerfällt und auf welcher der Punkt A liegt, mit ay und ziehen
dann von B aus eine Halbgerade h parallel zu ax. Ferner sei ti diejenige
Halbgerade, welche von B' unter demselben Winkel gegen b und nach
derselben Richtung wie h von B ausgeht. Da nach Satz 1 die Halb-
gerade ti nicht zu h und daher auch nicht zu ax parallel ist und auch h
gewiß nicht schneidet, so schneidet sie, wie man im Hinblick auf Axiom IV
leicht erkennt, notwendig a^ es sei T der Schnittpunkt der Halbgeraden
ti und ax. Da a wegen unserer Konstruktionen parallel zu ti ist, so
muß nach Axiom II 4 die Gerade a das Dreieck PB'T durch die Seite
PT verlassen, womit der gewünschte Nachweis erbracht ist. Wir wollen
den Schnittpunkt der Geraden a und a mit Q bezeichnen.

Von Q fällen wir das Lot QR auf ?>; sodann tragen wir B' R von
B aus auf b bis zum Punkte R' ab, so daß auf b die Richtung B nach
R' dieselbe, wie die von B' nach R ist. Ebenso tragen wir die Strecke

112 Anhang HI: Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.

ÄQ von A aus auf a in derselben Richtung bis Q' ab. Suchen wir
dann die Mitten M und N der Strecken QQ' bez. RR', so liefert deren
Verbindungsgerade MN das gesuchte gemeinsame Lot auf a und b.

In der Tat, aus der Kongruenz der Vierecke A'B' QR und ABQ'R'
folgt die Gleichheit der Strecken QR und Q'R', sowie die Tatsache, daß
Q'R' auf b senkrecht steht. Hieraus wiederum erschließen wir die Kon-
gruenz der Vierecke QRMN und Q'R'MN und damit ist die aufgestellte
Behauptung und zugleich der Satz 2 vollständig bewiesen.

Satz 3. Wenn irgend zwei Halbgeraden vorgelegt sind, so gibt es
stets eine Gerade, welche zu diesen beiden Halbgeraden parallel, ist d. h.
es gibt stets eine Gerade, die zwei vorgeschriebene Enden a und ß
besitzt.

Beweis. Wir ziehen durch irgend einen Punkt 0 zu den vorgelegten

"Jf

Halbgeraden Parallele und tragen auf diesen von 0 aus gleiche Strecken
ab, etwa bis A und B, so daß

OA= OB

wird und die von 0 aus durch A gehende Halbgerade das Ende a und

Anhang III: Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie. 113

die von 0 aus durch B gehende Halbgerade das Ende ß besitzt. Sodann
verbinden wir den Punkt A mit dem Ende ß und halbieren den Winkel
zwischen den beiden von A ausgehenden Halbgeraden; desgleichen ver-
binden wir den Punkt B mit dem Ende a und halbieren den Winkel
zwischen den beiden von B ausgehenden Halbgeraden. Die erstere
Halbierungslinie werde mit a, die letztere mit b bezeichnet. Aus der
Kongruenz der Figuren OAß und OBu folgt die Gleichheit der Winkel

^(OAß) = ^(OBa),
^(aAß)=^(aBß)
und aus letzterer Gleichung entnehmen wir auch die Gleichheit der Winkel,
die durch die Halbierungen entstanden sind, nämlich

£ (ccÄa) = <£ (aAß) - <£ (uBb) - «£ (pBß).
Es kommt zunächst darauf an, zu zeigen, daß die beiden Halbierungs-
linien a und b sich weder schneiden noch zueinander parallel sind.

Wir nehmen an, a und b schnitten sich im Punkte M. Da OAB
nach Konstruktion ein gleichschenkliges Dreieck ist, so folgt

^BAO = ^i ABO
and hieraus nach den vorigen Gleichungen

^BAM^^ABM-

mithin ist

AM - BM .

Verbinden wir nun M mit dem Ende a durch eine Halbgerade, so folgt
aus der letzteren Streckengleichung und wegen der Gleichheit der Winkel
■^C(aAM) und (aBM) die Kongruenz der Figuren a AM und aBM und
diese Kongruenz hätte die Gleichheit der Winkel <^ (aMA) und <£(aMB)
zur Folge. Da diese Folgerung offenbar nicht zutrifft, so ist die Annahme
zu verwerfen, daß die Halbierungsgeraden a und b sich einander schneiden.

Wir nehmen ferner an, die Geraden a und b seien zueinander
parallel; das durch sie bestimmte Ende möge dann mit fi bezeichnet
werden. Die von B aus nach a gehende Halbgerade möge die von A
nach ß gehende Halbgerade im Punkte C und die Gerade a im Punkte
D treffen: dann beweisen wir die Gleichheit der Strecken DA und DB.
In der Tat, im gegenteiligen Falle tragen wir DA von D aus auf DB
etwa bis B' ab und verbinden B' mit ^ durch eine Halbgerade. Aus der
Kongruenz der Figuren DAa und DB'fi würde dann die Gleichheit der
Winkel <£ (DAa) und «$C (DB' u) folgen und mithin wären auch die
Winkel <£ (DB' [i) und <^C (DB(i) einander gleich, was nach Satz 1 nicht
möglich ist.

Die Gleichheit der Strecken DA und DB hat nun die Gleichheit der
Winkel ^(DAB) und <£ (DBA) zur Folge und da nach dem Früheren

Hubert, Grundlagen der Geometrie. 8

h^caJjL* sr o ? aJ>-o^J- U srn F

114 Anhang III: Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.

auch die Winkel <£ (CAB) und <£ (CBA) einander gleich sind, so würde
auch die Gleichheit der Winkel <£; (D AB) und <£ (CAB) folgen. Diese
Folgerung trifft aber offenbar nicht zu und mithin ist auch die Annahme
zu verwerfen, daß die Geraden a und b einander parallel sind.

Da nach diesen Entwickelungen die Geraden a, b sich weder schneiden
noch zueinander parallel sind, so gibt es nach Satz 2 eine Gerade c, die
auf beiden Geraden a, b senkrecht steht etwa in den Punkten E bez. F.
Ich behaupte, daß diese Gerade c die gesuchte Gerade ist, die die beiden
vorgelegten Enden a, ß miteinander verbindet.

Zum Beweise dieser Behauptung nehmen wir im Gegenteil an, es
habe c nicht das Ende a. Dann verbinden wir jeden der beiden Fuß-
punkte E und F mit dem Ende a durch Halbgerade. Da EA = FB
sein muß, wie leicht erkannt wird, so folgt die Kongruenz der Figuren
aEA und aFB und aus dieser die Gleichheit der Winkel <£; (AEa) und
^C(BFa) und folglich sind auch diejenigen Winkel einander gleich, die
die von E und F ausgehenden Halbgeraden mit der Geraden c bilden.
Diese Folgerung widerspricht dem Satze 1 und damit ist der Beweis für
unsere Behauptung vollständig erbracht.

Satz 4. Es seien a, b zwei zueinander parallele Gerade und 0 ein
Punkt innerhalb des zwischen a und b gelegenen Gebietes der Ebene;
ferner sei 0a das Spiegelbild des Punktes 0 an a und 0b das Spiegelbild
des Punktes 0 an b und M die Mitte der Strecke 0a0b: dann steht
diejenige Halbgerade von M aus, die zugleich zu a und b parallel ist,
senkrecht in M auf OaOb.

Beweis. Denn im entgegengesetzten Falle errichte man nach der

nämlichen Seite hin in M auf 0„ 0. die Senk-
et o

rechte. Die Gerade 0a 0b schneide a, b bez. in
den Punkten P, Q. Da P 0 < PQ + Q 0, mithin
POa<POb ist und desgleichen QOb<QOa,
so fällt M notwendig in das Innere des zwischen
a und b gelegenen Gebietes der Ebene. Jene
Senkrechte in M müßte daher eine der Ge-
raden a oder b treffen; träfe sie etwa a im
Punkte A, so würde AOa=AO und AOa=AOb
folgen und mithin wäre auch A 0 = A Ob
d. h. A müßte auch ein Punkt von b sein,
was der Voraussetzung des Satzes widerspräche1).

Satz 5. Wenn a, b} c drei Gerade sind, die das nämliche Ende co

1) Diese Folgerung stimmt im wesentlichen mit einer Schlußweise von Lobatschel'sky
überein; vgl. Neue Anfangsgründe der Geometrie mit einer vollständigen Theorie der
Parallellinien (1835) § 111.

Anhang III: Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie. 115

besitzen und die Spiegelungen an diesen Geraden bez. mit Sa, Sb, Sc
bezeichnet werden, so gibt es stets eine Gerade d mit demselben Ende co,
so daß die aufeinanderfolgende Anwendung der Spiegelungen an den Ge-
raden a,b, c der Spiegelung an der Geraden d gleichkommt, was wir
durch die Formel

ScSbSa = Sd

ausdrücken.

Beweis. Wir nehmen zunächst an, es fiele die Gerade b ins Innere
des zwischen a und c gelegenen Gebietes der Ebene. Dann sei 0 ein Punkt
auf b und die Spiegelbilder von 0 an a und c seien bezeichnet mit Oa und Oc.
Bezeichnen wir nun mit d diejenige Gerade, die die Mitte der Strecke
OaOc mit dem Ende co verbindet, so sind wegen Satz 4 die Punkte Oa
und Oc Spiegelbilder an d und folglich ist die Operation SdScSbSa eine
solche, die den Punkt Oa sowie diejenige Gerade ungeändert läßt, die Oa
mit dem Ende co verbindet. Da jene Operation überdies aus vier Spiege-
lungen zusammengesetzt ist, so lehren die Kongruenzsätze, daß jene
Operation die Identität ist; hieraus folgt die Behauptung.

Wir erkennen zweitens leicht die Richtigkeit des Satzes 5 in dem
Falle, daß die Geraden c und a miteinander übereinstimmen. Ist nämlich
b' diejenige Gerade, die aus b durch Spiegelung an der Geraden a hervor-
geht, und bezeichnen wir mit Sb, die Spiegelung an b', so erkennen wir
sofort die Richtigkeit der Formel

SaSbSa = Sb'-
Nunmehr nehmen wir drittens an, es fiele die Gerade c ins Innere
des zwischen a und b gelegenen Gebietes der Ebene. Dann gibt es nach
dem ersten Teile dieses Beweises gewiß eine Gerade d', so daß die Formel

Sa Sc Sb = sd,

gilt. Bezeichnen wir mit d das Spiegelbild von d' an a, so ist nach dem
zweiten Teile dieses Beweises:

Sc^b^a = SaSaScSbSa = SaSd'Sa "■ Sd
Damit ist Satz 5 vollständig bewiesen.

§2.
Die Addition der Enden.

Wir nehmen eine bestimmte Gerade an und bezeichnen deren Enden
mit 0 und oo. Auf dieser Geraden (0, oo) wählen wir einen Punkt 0
und errichten dann in 0 ein Lot; die Enden dieses Lotes mögen mit
-\- 1 und — 1 bezeichnet werden.

Wir definieren jetzt die Summe zweier Enden folgendermaßen:
Erklärung. Es seien a, ß irgend zwei Enden; ferner sei Oa das

116 Anhang III: Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.

Spiegelbild des Punktes 0 an der Geraden (a, oo) und Oß sei das Spiegel-
bild des Punktes 0 an der Geraden (ß, oo); die Mitte der Strecke OaO?
verbinden wir mit dem Ende oo: das andere Ende der so konstruierten

Geraden heiße die Summe der beiden
Enden a und ß und werde mit a -f- ß
bezeichnet.

Wenn wir eine Halbgerade mit dem
Ende a an der Geraden (0, oo) spiegeln,
so werde das Ende der so entstehenden
Halbgeraden mit — a bezeichnet.

Wir erkennen leicht die Richtigkeit
der Gleichungen.

a -f- 0 = a,

i + (-i)-o,

« + (-a) = 0,
u + ß -/).+ «.
Die letzte Gleichung spricht das Tcommidative Gesetz für die Addition von
Enden aus.

Um das assoziative Gesetz für die Addition von Enden zu beweisen,
bezeichnen wir mit S0, Sa, S^ bez. die Spiegelungen an den Geraden
(0, oo), (cc, oo), (ß, oo): nach Satz 5 in § 1 gibt es dann gewiß eine Gerade
(tf, oo), so daß für die Spiegelung Sa an dieser Geraden die Formel

gilt. Da bei der Operation SpS0Sa der Punkt Oa in den Punkt 0, über-
geht, so ist notwendig (L das Spiegelbild von Oa an der Geraden
((?, oo) und folglich wird 6 = a -f ß, d' h. es gilt die Formel

Sa + ß^ SßS0Sa.

Bezeichnet y ebenfalls ein Ende, so lehrt die wiederholte Anwendung
der eben gefundenen Formel:

«+(/*+/)

Sß+yS0Sa

SyS0SßS0Sa,

£>, Sn o„ ,o — S., Sn S# Sn S,

und folglich ist
und mithin auch

(a + ß) + y KJyKJ0KJa + ß

®cc + (ß + y) = ^(a + ß) + y

ß"0>

«H-tf+y)

Die vorhin abgeleitete Formel

(« + i») + y.

a + ß

8^ S0 Sa

lehrt zugleich, daß die angegebene Konstruktion der Summe zweier Enden
von der getroffenen Wahl des Punktes 0 auf der Geraden (0, oo) un-
abhängig ist. Bezeichnet mithin 0' irgend einen von 0 verschiedenen

UxJJL o_* Ö i>"vU*^r \XCaXT ff" vwu^/Ir. ^cLu^uJjZtttA. <w4c&_ 0t + A

Anhang III: Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie. 117

Punkt der Geraden (0, od) und sind Oä, O'p die Spiegelbilder des Punktes
0' bez. an den Geraden (a, oo), (/3, oo), so ist die Mittelsenkrechte auf
0 * O'p wiederum die Gerade (a-\- ß, oo).

Wir führen hier noch eine Tatsache an, deren Kenntnis für unsere
Entwickelungen in § 4 nötig ist.

Wenn wir die Gerade (a, oo) an der Geraden (ß, oo) spiegeln, so
entsteht die Gerade (2/3 — a, oo).

In der Tat, ist P irgend ein Punkt derjenigen Geraden, die aus
(af oo) durch Spiegelung an (/3, oo) vorgeht, so bleibt derselbe offenbar
ungeändert, wenn wir auf ihn der Reihe nach die Spiegelungen

anwenden. Wegen der obigen Formel ist aber

d. h. jener zusammengesetzte Prozeß kommt einer Spiegelung an der
Geraden (2ß — a, oo) gleich; der Punkt P liegt mithin notwendig auf
der letzteren Geraden.

§ 3.

Die Multiplikation der Enden.

Wir definieren jetzt das Produkt zweier Enden folgendermaßen:
Erklärung. Wenn ein Ende auf derselben Seite der Geraden (0, oo)

wie das Ende + 1 liegt, so heiße das Ende positiv und wenn ein Ende

auf derselben Seite der Geraden (0, oo) wie das Ende — 1 liegt, so heiße

das Ende negativ.

Es seien nun a, ß irgend zwei von 0 und oo verschiedene Enden.

Die beiden Geraden (a, — a) und {ß, — ß) stehen senkrecht auf der

Geraden (0, oo); sie mögen diese

Gerade bez. in A und B schneiden.

Ferner tragen wir die Strecke

OA von B aus auf der Geraden

(0, oo) bis C in der Weise ab,

daß auf der Geraden (0, oo) die +*

Richtung von O nach A die näm- a,

liehe wie die Richtung von B

nach C ist: dann konstruieren ß

wir in C auf der Geraden (0, oo) ~ _Tj _Kp

die Senkrechte und bezeichnen

das positive oder das negative

Ende dieser Senkrechten als das

Produkt aß der beiden Enden a, ß,

118 Anhang III: Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.

jenachdem diese Enden entweder beide positiv bez. beide negativ oder eines
positiv und das andere negativ ist.
Wir setzen endlich die Formel

ff.O-Oa-0

fest.

Auf Grund der Axiome III, 1 — 3 über die Kongruenz von Strecken
erkennen wir unmittelbar die Gültigkeit der Formeln

ccß = ßa,

*(ßr) - (aß)r,

d. h es gilt sowohl das kommutative wie auch das assoziative Gesetz für
die Multiplikation von Enden.

Auch finden wir leicht, daß die Formeln

1 • a = a, ( — 1) a = — a.

gelten und daß, wenn die Enden a, ß einer Geraden die Gleichung

ccß--l

erfüllen, diese durch den Punkt 0 gehen muß.

Die Möglichkeit der Division erhellt unmittelbar; auch gibt es zu

jedem positiven Ende tc
stets ein positives (und
ebenso ein negatives) Ende,
dessen Quadrat jenem Ende
% gleich wird und welches
daher mit yV bezeiclmet
werden möge.

Um das distributive
Gesetz für die Rechnung
mit Enden zu beweisen,
konstruieren wir zunächst
aus den Enden ß und y auf
die in § 2 angegebene Weise
das Ende ß + y. Suchen
wir sodann auf die eben
angegebene Weise die Enden
a/J, ccy, u(ß-\-y), so er-
kennen wir, daß diese Kon-
struktion auf einer Ver-
schiebung der Ebene längs der Geraden (0, oo) um die Strecke OA hinaus-
läuft, und wenn wir demnach die Summe der Enden aß und ay durch
eine Konstruktion von A aus anstatt von 0 aus ermitteln — was nach

Anhang III: Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie. 119

einer der Bemerkungen in § 2 gestattet ist — , so ergibt sich in der Tat
für diese Summe das Ende a(ß-\-y), d. h. es gilt die Formel:

aß + ay = a(ß-\-y).

§4.
Die Gleichung des Punktes.

Nachdem wir in § 2 — §3 erkannt haben, daß für die Rechnung mit
Enden die nämlichen Regeln gelten, wie für die Rechnung mit gewöhn-
lichen Zahlen, bietet der Aufbau der Geometrie keine weiteren Schwierig-
keiten; er geschehe etwa in folgender Weise:

Wenn |, r\ die Enden irgend einer Geraden sind, so mögen die Enden

m — in*

die Koordinaten jener Geraden heißen. Es gilt die fundamentale Tatsache:
Wenn a, ß, y drei Enden von solcher Beschaffenheit sind, daß das
Ende Accy — ß2 positiv ausfällt, so laufen die sämtlichen Geraden, deren , , ,+>
Koordinaten u, v der Gleichung ^.^^^^.^^A^-^ß^o, a:/.^^.^.

¥«".f-/Jv l -" — *• ~ —

genügen, durch einen Punkt. kv $y +- K^d + y) +■ Av +• i ~ o

Beweis. Konstruieren wir gemäß § 2 — §3 die Enden

}C 2" X_ ß

yicty — §*' ]/4ay — ß*'

so nimmt mit Rücksicht auf die Bedeutung der Koordinaten u, v und da
jedenfalls a =f= 0 ist, die vorgelegte lineare Gleichung die Gestalt an

(*f-f A)(xi? + A). i.

Wir wollen nunmehr die Transformation eines willkürlich veränder-
lichen Endes co untersuchen, welche durch die Formel

co = x co -j- A
vermittelt wird. Zu dem Zwecke betrachten wir zunächst die Trans-
formationen

co = xco und co' = ra -f A.

Was die erstere Transformation betrifft, so kommt offenbar die
Multiplikation des willkürlichen Endes co mit einer Konstanten % nach
§ 3 einer Verschiebung der Ebene längs der Geraden (0, oo) um eine
gewisse von % abhängige Strecke gleich.

Aber auch der letzteren Transformation, d. h. der Zufügung des Endes
A zu dem willkürlich veränderlichen Ende co, entspricht eine gewisse nur

120 Anhang III: Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.

von A abhängige Bewegung der Ebene in sieb, nämlich eine solche, die
sich als eine Drehung der Ebene um das Ende oo auffassen läßt.

Um dies einzusehen, bedenken wir, daß nach den Darlegungen am
Schluß von § 2 die Gerade (o, oo) durch Spiegelung an der Geraden
(0, oo) in die Gerade ( — ro, oo) und diese wiederum durch Spiegelung

an der Geraden (— , oo) in die Gerade (ra -f A, oo) übergeht, d. h. die

Hinzufügung des Endes A zu dem willkürlich veränderlichen Ende a
kommt den nacheinander ausgeführten Spiegelungen an den Geraden

(0, oo) und (y, ooj gleich.

Aus dem eben Bewiesenen folgt, daß, wenn |, tj die Enden einer
Geraden sind, durch die Formeln

r( = xrj -f A

sich die Enden einer solchen Geraden bestimmen, die durch eine gewisse
allein von x, A abhängige Bewegung der Ebene aus der Geraden mit den
Enden g, r\ hervorgeht. Da aber die obige Gleichung

(x| + A)H + A) = -l
für die Enden |', tf die Relation

s v - - 1

zur Folge hat und nach einer Bemerkung in § 3 diese Relation die Be-
dingung dafür ist, daß die betreffenden Geraden durch den Punkt 0 laufen,
so ersehen wir, daß auch alle der ursprünglichen Gleichung

(jci + A)(>7j + A) = - 1
genügenden Geraden (|, tj) durch einen Punkt laufen, und damit ist der
Beweis für den aufgestellten Satz vollkommen erbracht.

Nachdem wir erkannt haben, daß die Gleichung des Punktes in
Linienkoordinaten eine lineare ist, folgern wir leicht den speziellen Pascal-
schen Satz für das Geradenpaar und den Desarguesschen Satz über
perspektiv liegende Dreiecke, sowie die übrigen Sätze der projektiven
Geometrie. Auch sind dann die bekannten Formeln der Bolyai-Lobat-
schefskyschen Geometrie ohne Schwierigkeit ableitbar und damit ist der
Aufbau dieser Geometrie mit alleiniger Hilfe der Axiome I— IV vollendet.

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 121

Anhang IV.

Über die Grundlagen der Geometrie1).

Die Untersuchungen von JRiemann und Heimholte über die Grund-
lagen der Geometrie veranlaßten Lie, das Problem der axiomatischen
Behandlung der Geometrie unter Voranstellung des Gruppenbegriffes in
Angriff zu nehmen, und führten diesen scharfsinnigen Mathematiker zu
einem System von Axiomen, von denen er mittels seiner Theorie der
Transformationsgruppen nachwies, daß sie zum Aufbau der Geometrie
hinreichend sind2).

Nun hat Lie bei Begründung seiner Theorie der Transformations-
gruppen stets die Annahme gemacht, daß die die Gruppe definierenden
Funktionen differenziert werden können, und daher bleibt in den -Lieschen
Entwickelungen unerörtert, ob die Annahme der Differenzierbarkeit bei
der Frage nach den Axiomen der Geometrie tatsächlich unvermeidlich ist
oder ob die Differenzierbarkeit der betreffenden Funktionen nicht vielmehr
als eine Folge des Gruppenbegriffs und der übrigen geometrischen Axiome
erscheint. Auch ist Lie zufolge seines Verfahrens genötigt, ausdrücklich
das Axiom aufzustellen, daß die Gruppe der Bewegungen von infinitesi-
malen Transformationen erzeugt sei. Diese Forderungen, sowie wesent-
liche Bestandteile der übrigen von Lie zu Grunde gelegten Axiome be-
züglich der Natur der die Punkte in gleicher Entfernung definierenden
Gleichung lassen sich rein geometrisch nur auf recht gezwungene und
komplizierte Weise zum Ausdruck bringen und scheinen überdies nur
durch die von Lie benutzte analytische Methode, nicht durch das Problem
selbst bedingt.

Ich habe daher im folgenden für die ebene Geometrie ein System
von Axiomen aufzustellen gesucht, welches, ebenfalls auf dem Begriff der
Gruppe beruhend, nur einfache und geometrisch übersichtliche Forderungen
enthält und insbesondere die Differenzierbarkeit der die Bewegung ver-
mittelnden Funktionen keineswegs voraussetzt. Die Axiome des von mir
aufgestellten Systems sind als spezielle Bestandteile in den Lieschen
Axiomen enthalten oder, wie ich glaube, aus ihnen sofort ableitbar.

Meine Beweisführung ist völlig von der Methode Lies verschieden:
ich operiere vornehmlich mit den von G. Cantor ausgebildeten Begriffen
der Theorie der Punktmengen und benutze den Satz von C. Jordan, wonach

1) Zur Kennzeichnung der nachfolgenden Begründungsweise der Geometrie im
Vergleich mit dem in meiner Festschrift befolgten Verfahren sehe man die am Schluß
dieser Abhandlung gemachte Bemerkung (S. 162).

2) Lie-Engel, Theorie der Transformationsgruppen Bd. 3 Abteilung 5.

122 Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

jede ebene stetig geschlossene Kurve ohne Doppelpunkte die Ebene in
ein inneres und ein äußeres Gebiet teilt.

Gewiß sind auch in dem von mir aufgestellten System noch einzelne
Bestandteile entbehrlich; doch habe ich von einer weiteren Untersuchung
dieses Umstandes abgesehen aus Rücksicht auf die einfache Fassung der
Axiome und vor allem, weil ich eine verhältnismäßig zu komplizierte und
geometrisch nicht übersichtliche Beweisführung vermeiden wollte.

Ich behandle im folgenden die Axiome nur für die Ebene, obwohl
ich meine, daß ein analoges Axiomensystem für den Raum aufgestellt
werden kann, das den Aufbau der räumlichen Geometrie in analoger Weise
ermöglicht *).

Wir schicken einige Erklärungen voran.

Erklärungen. Wir verstehen unter der Zahlenebene die gewöhnliche
Ebene mit einem rechtwinkligen Koordinatensystem x, y.

Eine doppelpunktlose und einschließlich ihrer Endpunkte stetige Kurve
in dieser Zahlenebene heiße eine Jordansche Kurve. Ist eine Jordansche
Kurve geschlossen, so heiße das Innere des von derselben begrenzten
Gebietes der Zahlenebene ein Jordansclies Gebiet.

Der leichteren Darstellung und Faßlichkeit wegen will ich in der
vorliegenden Untersuchung die Definition der Ebene enger fassen, als es
meine Beweisführung erfordert2), ich will nämlich annehmen, daß es

1) Durch die nachfolgende Untersuchung wird zugleich, wie ich glaube, eine
allgemeine die Gruppentheorie betreffende Frage, die ich in meinem Vortrag „Mathe-
matische Probleme", Göttinger Nachrichten 1900, S. 17 aufgeworfen habe, für den
speziellen Fall der Gruppe der Bewegungen in der Ebene beantwortet.

2) Betreffs der weiteren Fassung des Begriffes der Ebene vergleiche man meine
Note über die Grundlagen der Geometrie in den Göttinger Nachrichten 1902. Ich
habe daselbst die folgende allgemeinere Definition der Ebene aufgestellt:

Die Ebene ist ein System von Dingen, welche Punkte heißen. Jeder Punkt A
bestimmt gewisse Teilsysteme von Punkten, zu denen er selbst gehört und welche Um-
gebungen des Punktes A heißen.

Die Punkte einer Umgebung lassen sich stets umkehrbar eindeutig auf die Punkte
eines gewissen Jordanschen Gebietes in der Zahlenebene abbilden. Das Jordansche Ge-
biet wird ein Bild jener Umgebung genannt.

Jedes in einem Bilde enthaltene Jordansche Gebiet, innerhalb dessen der Punkt A
liegt, ist wiederum ein Bild einer Umgebung von A. Liegen verschiedene Bilder einer
Umgebung vor, so ist die dadurch vermittelte umkehrbar eindeutige Transformation der
betreffenden Jordanschen Gebiete aufeinander eine stetige.

Ist B irgend ein Punkt in einer Umgebung von A, so ist diese Umgebung auch
zugleich eine Umgebung von B.

Zu irgend zieei Umgebungen eines Punktes A gibt es stets eine solche Umgebung
des Punktes A, die beiden Umgebungen gemeinsam ist.

Wenn A und B irgend zwei Punkte unserer Ebene sind, so gibt es stets eine
Umgebung von A, die zugleich den Punkt B enthält.

Anhang TV: Grundlagen der Geometrie. 123

möglich ist, die sämtlichen Punkte unserer Geometrie zugleich auf die im
Endlichen gelegenen Punkte der Zahlenebene oder auf ein bestimmtes
Teilsystem derselben umkehrbar eindeutig abzubilden, so daß dann jeder
Punkt unserer Geometrie durch ein bestimmtes Zahlenpaar x, y charakte-
risiert ist. Wir formulieren diese Fassung des Begriffes der Ebene wie folgt:

Definition der Ebene. Die Ebene ist ein System von Dingen, die Punkte
heißen, und die sich umkehrbar eindeutig auf die im Endlichen gelegenen
Punkte der Zahlenebene oder auf ein gewisses Teilsystem derselben abbilden
lassen; diese Punkte der Zahlenebene (d. h. die Bildpunkte) werden auch
zugleich zur Bezeichnung der Punkte unserer Ebene selbst venvandt.

Zu jedem Punkte A unserer Ebene gibt es in der Zahlenebene Jor-
dansche Gebiete, in denen der Bildpunkt von A liegt und deren sämtliche
Punkte ebenfalls Punkte unserer Ebene darstellen. Diese Jordanschen Ge-
biete heißen Umgebungen des Punktes A.

Jedes in einer Umgebung von A enthaltene Jordansche Gebiet, innerhalb
dessen der Punkt A (Bildpunkt von A) liegt, ist wiederum eine Umgebung von A.

Ist B irgend ein Punkt in einer Umgebung von A, so ist diese Um-
gebung auch zugleich eine Umgebung von B.

Wenn A und B irgend zwei Punkte unserer Ebene sind, so gibt es
stets eine Umgebung von A, die zugleich den Punkt B enthält.

Wir werden die Bewegung als eine umkehrbar eindeutige Transfor-
mation unserer Ebene in sich definieren. Offenbar lassen sich von vorn-
herein zwei Arten von umkehrbar eindeutigen stetigen Transformationen
der Zahlenebene in sich unterscheiden. Nehmen wir nämlich irgend eine
geschlossene Jordansche Kurve in der Zahlenebene an und denken uns
dieselbe in einem bestimmten Sinn durchlaufen, so geht dieselbe bei einer
solchen Transformation wiederum in eine geschlossene Jordansche Kurve
über, die in einem gewissen Sinne umlaufen wird. Wir wollen nun in
der gegenwärtigen Untersuchung annehmen, daß dieser Umlaufssinn der-
selbe ist, wie für die ursprüngliche Jordansche Kurve, wenn wir eine

Diese Forderungen enthalten, wie mir scheint, für den Fall zweier Dimensionen
die scharfe Definition des Begriffes, den Riemann und Helmholtz als „mehrfach aus-
gedehnte Mannigfaltigkeit" und Lie als „Zahlenmannigfaltigkeit" bezeichneten und
ihren gesamten Untersuchungen zu Grunde legten. Auch bieten sie die Grundlage
für eine strenge axiomatische Behandlung der Analysis situs.

Indem wir die obige engere Definition der Ebene annehmen, wird offenbar die
elliptische Geometrie von vornherein ausgeschlossen, da sich deren Punkte nicht in
einer mit unseren Axiomen verträglichen Weise auf die im Endlichen gelegenen
Punkte der Zahlenebene abbilden lassen. Es ist jedoch nicht schwer, die Abänderungen
zu erkennen, die in unserer Beweisführung nötig sind, wenn man die weitere Fassung
des Begriffes der Ebene zu Grunde legt.

124 Anhang IV: Grandlagen der Geometrie.

Transformation der Zahlenebene in sich anwenden, welche eine Bewegung
definiert. Diese Annahme1) bedingt folgende Fassung des Begriffes der
Bewegung:

Definition der Bewegung. Eine Bewegung ist eine umkehrbar eindeutige
stetige Transformation der Bildpunkte der Zahlenebene in sich von der Art, daß
dabei der Umlaufssinn einer geschlossenen Jordanschen Kurve stets derselbe bleibt.

Eine Bewegung, bei welcher ein Punkt M ungeändert bleibt, heißt eine
Drehung um den Punkt M.

Nach Festlegung des Begriffes „Ebene" und „Bewegung" stellen wir
folgende drei Axiome auf:

Axiom I. Werden zwei Beivegungen hintereinander ausgeführt, so ist
die dann entstehende Transformation unserer Ebene in sich wiederum eine
Bewegung.

Wir sagen kurz:

Axiom I. Die Bewegungen bilden eine Gruppe.

Axiom IL Wenn A und M beliebige voneinander verschiedene Punkte
der Ebene sind, so kann man den Punkt A durch Drehung um M stets in
unendlich viele verschiedene Lagen bringen.

Nennen wir die Gesamtheit derjenigen Punkte, die durch die sämt-
lichen Drehungen um M aus einem von M verschiedenen Punkte ent-
stehen, einen wahren Kreis in unserer ebenen Geometrie, so können wir
die Aussage des Axioms II auch so fassen:

Axiom IL Jeder wahre Kreis besteht aus unendlich vielen Punkten.

Dem letzten Axiom schicken wir eine Erklärung voraus.

Erklärung. Es sei AB ein bestimmtes Punktepaar in unserer
Geometrie; mit den nämlichen Buchstaben mögen auch die Bilder dieses
Punktepaares in der Zahlenebene bezeichnet werden. Wir grenzen um
die Punkte A und B in der Zahlenebene je eine Umgebung a bez. ß ab.
Wenn ein Punkt A* in die Umgebung a und zugleich ein Punkt B* in
die Umgebung ß fällt, so sagen wir: das Punktepaar A*B* liegt in der
Umgebung aß von AB. Die Aussage, daß diese Umgebung aß beliebig

1) Bei Lie ist diese Annahme in der Forderung enthalten, daß die Gruppe der
Bewegungen durch infinitesimale Transformationen erzeugt sei. Die entgegengesetzte
Annahme (d. h. die Annahme der Möglichkeit von Umlegungen) würde wesentlich die
Beweisführung erleichtern, insofern alsdann die „wahre Gerade" unmittelbar als der
Ort derjenigen Punkte definiert werden kann, welche bei einer den Umlaufssinn
ändernden Transformation (Umlegung) fest bleiben.

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 125

klein sei, soll bedeuten, daß a eine beliebig kleine Umgebung von A und
zugleich ß eine beliebig kleine Umgebung von B ist.

Es sei ABC ein bestimmtes Punktetripel in unserer Geometrie; mit
den nämlichen Buchstaben mögen auch die Bilder dieses Punktetripels
in der Zahlenebene bezeichnet werden. Wir grenzen um die Punkte A, B, C
in der Zahlenebene je eine Umgebung a bez. ß bez. y ab. Wenn ein
Punkt A* in die Umgebung a und zugleich ein Punkt B* in die Um-
gebung ß und ein Punkt C* in die Umgebung y fällt, so sagen wir: das
Punktetripel A*B*C* liegt in der Umgebung aßy von ABC. Die Aus-
sage, daß diese Umgebung aßy beliebig klein sei, soll bedeuten, daß a
ein beliebig kleine Umgebung von A und zugleich ß eine beliebig kleine
Umgebung von B und y eine beliebig kleine Umgebung von C ist.

Beim Gebrauch der Worte „Punktepaar" und „Punktetripel" wird
nicht angenommen, daß die Punkte des Punktepaares oder des Punkte-
tripels voneinander verschieden sind.

Axiom III. Wenn es Bewegungen gibt, durch welche Punktetripel in be-
liebiger Nähe des Punktetripels ABC in beliebige Nähe des Punktetripels
A'BC übergeführt werden können, so gibt es stets auch eine solche Bewegung,
durch welche das Punktetripel ABC genau in das Punktetripel A'BC
übergeht1).

Die Aussage dieses Axioms wollen wir kurz so ausdrücken:

Axiom III. Die Bewegungen bilden ein abgeschlossenes System.

Wenn wir in Axiom III gewisse Punkte der Punktetripel zusammen-
fallen lassen, so ergeben sich leicht einige spezielle Fälle des Axioms III,
die wir noch besonders hervorheben, wie folgt:

Wenn es Drehungen um einen Punkt M gibt, durch welche Punkte-
paare in beliebiger Nähe des Punktepaares AB in beliebige Nähe des
Punktepaares AB' übergeführt werden können, so gibt es stets auch eine
solche Drehung um M, durch welche das Punktepaar AB genau in das
Punktepaar AB' übergeht.

Wenn es Bewegungen gibt, durch welche Punktepaare in beliebiger
Nähe des Punktepaares AB in beliebige Nähe des Punktepaares AB'
übergeführt werden können, so gibt es stets auch eine solche Be-
wegung, durch welche das Punktepaar AB genau in das Punktepaar AB
übergeht.

Wenn es Drehungen um den Punkt M gibt, durch welche Punkte
in beliebiger Nähe des Punktes A in beliebige Nähe von A' übergeführt

1) Es genügt Axiom III für genügend kleine Umgebungen als erfüllt anzunehmen,
wie es ähnlich auch bei Lie geschieht; meine Beweisführung läßt sich so abändern,
daß nur diese engere Annahme darin benutzt wird.

126 Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

werden können, so gibt es stets auch eine solche Drehung um M, durch
welche A genau in AI übergeht.

Diesen letzten Spezialfall des Axioms III werde ich bei der nach-
folgenden Beweisführung oftmals in der Weise anwenden, daß für A der
Punkt M eintritt1).

Ich beweise nun folgende Behauptung:

Eine ebene Geometrie, in welcher die Axiome I — III erfüllt
sind, ist entweder die Euklidische oder die Bolyai-Lob atschefslcy-
sche ebene Geometrie.

Wollen wir allein die Euklidische Geometrie erhalten, so haben wir
nur nötig, bei Axiom I den Zusatz zu machen, daß die Gruppe der Be-
wegungen eine invariante Untergruppe besitzen soll. Dieser Zusatz ver-
tritt die Stelle des Parallelenaxioms.

Den Gedankengang meiner Beweisführung möchte ich kurz wie folgt
skizzieren :

In der Umgebung irgend eines Punktes M wird durch ein besonderes
Verfahren ein gewisses Punktgebilde Jck und auf diesem ein gewisser Punkt
konstruiert (§ 1 — § 2) und dann der wahre Kreis x durch K um M
der Untersuchung unterworfen (§ 3). Es ergibt sich, daß der wahre
Kreis x eine abgeschlossene und in sich dichte, d. h. eine perfekte Punkt-
menge ist.

Das nächste Ziel unserer Ent Wickelungen besteht darin, zu zeigen,
daß der wahre Kreis x eine geschlossene Jordansche Kurve ist2). Dies
gelingt, indem wir zunächst die Möglichkeit einer Anordnung der Punkte
des wahren Kreises x erkennen (§ 4 — § 5), hieraus eine umkehrbar ein-
deutige Abbildung der Punkte von x auf die Punkte eines gewöhnlichen
Kreises schließen (§ 6 — § 7) und endlich beweisen, daß diese Abbildung
notwendig eine stetige sein muß (§ 8). Nunmehr ergibt sich auch, daß
das ursprünglich konstruierte Punktgebilde Ick mit dem wahren Kreise x
identisch ist (§ 9). Weiter gilt der Satz, daß jeder wahre Kreis inner-
halb x ebenfalls eine geschlossene Jordansche Kurve ist (§ 10 — § 12).

1) Eine Folgerung, die ich im mündlichen Vortrage in der Festsitzung zur
Jubelfeier der Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1901 als besonderes Axiom aufgeführt habe,
ist diese: „Irgend zwei Punkte können durch Bewegung niemals in beliebige Nähe
zu einander geraten." Es wäre zu untersuchen, inwieweit bez. mit welchen Forde-
rungen zusammen diese Forderung das oben aufgestellte Axiom HE zu ersetzen
im stände ist.

2) Vgl. hierzu die ein ähnliches Ziel verfolgende interessante Note von A. Schönflies :
„Über einen grundlegenden Satz der Analysis Situs" Göttinger Nachrichten. 1902.

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 127

Wir wenden uns nun zur Untersuchung der Gruppe der Transforma-
tionen, die bei den Drehungen der Ebene um M der wahre Kreis x
in sich erfährt (§ 13). Diese Gruppe besitzt folgende Eigenschaften:
1) Jede Drehung um M, die einen Punkt von x festläßt; läßt alle Punkte
desselben fest (§ 14). 2) Es gibt stets eine Drehung um M, die irgend
einen gegebenen Punkt von x in irgend einen anderen Punkt von x über-
führt (§ 15). 3) Die Gruppe der Drehungen um M ist eine stetige (§ 16).
Diese drei Eigenschaften bestimmen vollständig den Bau der Gruppe der
Transformationen, die allen Drehungen des wahren Kreises in sich ent-
sprechen. Wir stellen nämlich den folgenden Satz auf: Die Gruppe aller
Transformationen des wahren Kreises x in sich, die Drehungen um M sind,
ist holoedrisch isomorph mit der Gruppe der gewöhnlichen Drehungen
des gewöhnlichen Kreises in sich (§ 17 — § 18).

Nunmehr untersuchen wir die Gruppe der Transformationen aller Punkte
unserer Ebene bei Drehungen um M. Es gilt der Satz, daß es außer
der Identität keine Drehung der Ebene um M gibt, welche jeden Punkt
eines wahren Kreises fi festläßt (§ 19). Wir erkennen jetzt, daß jeder wahre
Kreis eine geschlossene Jordansche Kurve ist, und gewinnen Formeln für
die Transformationen jener Gruppe aller Drehungen um M (§ 20 — § 21).
Endlich folgen leicht die Sätze: Wenn irgend zwei Punkte bei einer Be-
wegung der Ebene festbleiben, so bleiben alle Punkte fest, d. h. die Be-
wegung ist die Identität. Jeder Punkt der Ebene läßt sich durch eine
geeignete Bewegung in jeden anderen Punkt der Ebene überführen (§ 22).

Unser wichtigstes weiteres Ziel besteht darin, den Begriff der wahren
Geraden in unserer Geometrie zu definieren und die für den Aufbau der
Geometrie notwendigen Eigenschaften dieses Begriffes zu entwickeln. Zu-
nächst werden die Begriffe Halbdrehung und Mitte einer Strecke definiert
(§ 23). Eine Strecke hat höchstens eine Mitte (§ 24) und wenn man von
einer Strecke ihre Mitte kennt, so folgt, daß auch jede kleinere Strecke
eine Mitte besitzt (§ 25— § 26).

Um die Lage der Streckenmitten zu beurteilen, haben wir einige
Sätze über sich berührende wahre Kreise nötig, und zwar kommt es vor
allem darauf an, zwei zueinander kongruente Kreise zu konstruieren, die
sich einander von außen in einem und nur in einem Punkte berühren
(§ 27). Wir leiten ferner einen allgemeinen Satz über Kreise, die sich
von innen berühren, ab (§ 28) und sodann einen Satz über den besonderen
Fall, daß der von innen berührende Kreis durch den Mittelpunkt des be-
rührten Kreises geht (§ 29).

Nunmehr wird eine bestimmte genügend kleine Strecke als Einheits-
strecke zu Grunde gelegt und aus dieser durch fortgesetzte Halbierung
und Halbdrehung ein System von Punkten von der Art konstruiert, daß

128 Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

jedem Punkte dieses Systems eine bestimmte Zahl a zugeordnet erscheint,
die rational ist und nur eine Potenz von 2 als Nenner hat (§ 30). Nach
Aufstellung eines Gesetzes über diese Zuordnung (§ 31) werden die Punkte
des gewonnenen Punktsystems untereinander angeordnet, wobei die früheren
Sätze über sich berührende Kreise zur Geltung kommen (§ 32). Jetzt
gelingt der Nachweis, daß die den Zahlen \, \, ^, • ■ • entsprechenden
Punkte gegen den Punkt 0 konvergieren (§ 33). Dieser Satz wird schritt-
weise verallgemeinert, bis wir schließlich erkennen, daß eine jede Punkt-
reihe unseres Systems konvergiert, sobald die entsprechende Zahlenreihe
konvergiert (§ 34 — § 35).

Nach diesen Vorbereitungen gelingt die Definition der wahren Ge-
raden als eines Systems von Punkten, die aus zwei zu Grunde gelegten
Punkten entstehen, wenn man fortgesetzt die Mitten nimmt, Halb-
drehungen ausführt und die Häufungsstellen aller erhaltenen Punkte hin-
zufügt (§ 36). Sodann können wir beweisen, daß die wahre Gerade eine
stetige Kurve ist (§ 37), keinen Doppelpunkt besitzt (§ 38) und mit irgend
einer anderen wahren Geraden höchstens einen Punkt gemein hat (§ 39).
Es ergibt sich ferner, daß die wahre Gerade jeden um einen ihrer Punkte
gelegten Kreis schneidet, und hieraus folgt, daß man irgend zwei beliebige
Punkte der Ebene stets durch eine wahre Gerade verbinden kann (§ 40).
Auch erkennen wir in unserer Geometrie die Kongruenzsätze als gültig,
wobei sich jedoch zwei Dreiecke nur dann als kongruent erweisen, wenn
für sie auch der Umlaufssinn der gleiche ist (§ 41).

Hinsichtlich der Lage des Systems aller wahren Geraden gegenein-
ander sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem das Parallelenaxiom
gültig ist oder durch jeden Punkt zu einer gegebenen Geraden zwei Gerade
existieren, die die schneidenden Geraden von den nicht schneidenden Ge-
raden abgrenzen. Im ersteren Falle gelangen wir zur Euklidischen, im
letzteren zur Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie (§ 42).

Es sei M irgend ein Punkt in unserer Geometrie und zugleich der
Bildpunkt in der Zahlenebene x, y. Unser nächstes Zielest dann, um M
gewisse Punktgebilde zu konstruieren, die sich schließlich als die wahren
Kreise um M herausstellen werden.

Wir schlagen in der Zahlenebene um M einen „Zahlenkreis", d. h. einen
Kreis & im Sinne der gewöhnlichen Maßbestimmung, so klein, daß sämt-
liche Punkte innerhalb und auf diesem Kreise $ ebenfalls Bildpunkte sind

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 129

und es auch Punkte außerhalb ® gibt. Dann gibt es gewiß einen zu ®
konzentrischen Kreis f innerhalb ® von der Art, daß sämtliche Bildpunkte
innerhalb dieses Kreises t bei beliebigen Drehungen um M innerhalb des
Kreises ® bleiben.

Um dies zu beweisen, betrachten wir in der Zahlenebene eine unend-
liche Reihe von konzentrischen Zahlenkreisen f1; f2, f3, . . . mit abnehmenden
und gegen 0 konvergierenden Radien und nehmen dann im Gegensatz zur
Behauptung in jedem dieser Kreise einen Bildpunkt von der Art an, daß
derselbe bei einer gewissen Drehung um M an eine außerhalb des Kreises
® gelegene Stelle kommt oder auf die Peripherie des Kreises $ rückt: es
sei A{ ein solcher im Kreise f{ gelegener Bildpunkt, der bei der Drehung
Af in eine außerhalb des Kreises $ oder auf demselben gelegene Stelle über-
geht. Wir denken uns dann von M nach jedem Punkte Ai den Radius ri
des betreffenden Zahlenkreises f,- gezogen und fassen die Kurve yi ins Auge,
in welche der Radius r4 bei der Drehung A^ übergeht. Da diese Kurve yt
vom Punkte M nach einer gewissen Stelle außerhalb oder auf dem Kreise
® läuft, so muß sie notwendig die Peripherie des Kreises ® treffen; es
sei Bt einer dieser Treffpunkte und B eine Verdichtungsstelle der Treff-
punkte B1} B2, B3, . . . . Nun sei allgemein C{ derjenige Punkt auf dem
Radius rv der bei der Drehung A^ in B{ übergeht. Da die Punkte
(7«, Off C%J . . . gegen M konvergieren, so gibt es nach Axiom III eine
Drehung um M, bei welcher der auf der Peripherie des Kreises Ä gelegene
Punkt B in den Punkt M übergeht. Dies widerspricht dem vorhin defi-
nierten Begriff der Bewegung.

§ 2.
Wie bereits in § 1 festgesetzt, sei ? ein Zahlenkreis innerhalb ®, der
die Bedingungen des dort bewiesenen Satzes erfüllt, so% daß sämtliche Bild-
punkte innerhalb ! bei den Drehungen um M innerhalb ® bleiben; ferner
sei k ein Zahlenkreis innerhalb ?, dessen sämtliche Punkte bei den Dre-
hungen um M innerhalb ! bleiben. Dann bezeichnen wir kurz diejenigen
Punkte der Zahlenebene, die bei irgend einer Drehung um M aus Punkten
innerhalb oder auf h entstehen, als bedeckt und diejenigen Punkte, die bei
keiner Drehung um M aus Punkten innerhalb oder auf Je entstehen, als
unbedeckt. Aus Axiom III folgt sofort, daß die bedeckten Punkte eine
abgeschlossene Punktmenge bilden. Ferner sei A ein bestimmter Punkt
außerhalb ft, welcher Bildpunkt für einen Punkt unserer Geometrie ist.
Wenn sich nun ein unbedeckter Punkt Ä durch eine Jordansche Kurve,
die aus lauter unbedeckten Punkten besteht, mit A verbinden läßt, so
heiße Ä außerhalb kk gelegen. Insbesondere sind alle Punkte außerhalb
des Zahlenkreises f gewiß außerhalb kk gelegene Punkte. Jeder bedeckte

Hubert, Grundlagen der Geometrie. 9

130

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

Punkt, zu dem in beliebig kleiner Umgebung sich Punkte außerhalb kk
befinden, heiße ein Punkt auf kk, Die Punkte auf kk bilden eine abge-
schlossene Punktmenge. Diejenigen Punkte J, die weder Punkte außerhalb
kk noch Punkte auf kk sind, sollen Punkte innerhalb kk heißen. Insbe-
sondere sind also alle bedeckten Punkte, zu welchen nicht in beliebiger
Nähe unbedeckte Punkte liegen, wie z. B. der Punkt M und die Punkte
innerhalb k, sicher innerhalb kk gelegen.

§ 3.

Indem wir bedenken, daß, wie f bestimmt war, A bei den Drehungen
um M niemals in das Innere von f hineingelangt, erkennen wir, daß bei
einer jeden Drehung um M die Punkte außerhalb kk wieder in Punkte
außerhalb kk, ferner die Punkte auf kk wieder in Punkte auf kk und
die Punkte innerhalb kk wiederum in Punkte innerhalb kk übersrehen.

Jeder Punkt auf kk ist nach unserer Festsetzung ein bedeckter Punkt,
und da wir wissen, daß die Punkte innerhalb k auch innerhalb kk liegen,
so schließen wir hieraus folgende Tatsache:

Zu jedem Punkte K auf kk gibt es gewiß eine Drehung A um M,
durch welche ein auf der Peripherie von k gelegener Punkt K' nach K

gelangt. Der Radius MK' des Zahlenkreises k liefert nach der Drehung
A um M eine Jordansche Kurve, welche M mit dem Punkte K auf kk
verbindet und die sonst ganz innerhalb kk verläuft.

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 131

Zugleich sehen wir, daß mindestens ein Punkt der Peripherie des
Zahlenkreises k, nämlich gewiß der Punkt K', auf kk liegt.

Wir verbinden den außerhalb kk gelegenen Punkt A durch irgend
eine Jordansche Kurve mit M und bezeichnen jetzt mit K denjenigen
Punkt dieser Jordanschen Kurve, der auf kk liegt und von der Art ist, daß
alle auf der Jordanschen Kurve zwischen K und A gelegenen Punkte
außerhalb kk liegen. Sodann fassen wir das System aller aus K durch
Drehungen um M hervorgehenden Punkte, d. h. den wahren Kreis x um
M durch K ins Auge. Die Punkte dieses wahren Kreises sind sämtlich
Punkte auf kk.

Nach Axiom II enthält x unendlich viele Punkte. Ist K* eine Ver-
dichtungsstelle von Punkten des wahren Kreises x, so gehört diese wegen
Axiom III ebenfalls zum wahren Kreise x. Bezeichnet Kx irgend einen
Punkt des wahren Kreises x, so folgt, wenn wir diejenige Drehung um M
ausführen, welche K* in K± überführt daß auch Kx eine Verdichtungs-
stelle von Punkten des wahren Kreises x ist. Wir erhalten somit den Satz:

Der wahre Kreis x ist eine abgeschlossene und in sich dichte d. h. eine
perfekte Punktmenge.

§4.

Das wichtigste Ziel der nächstfolgenden Entwickelungen besteht darin,
zu zeigen, daß der wahre Kreis x eine geschlossene Jordansche Kurve ist.
Es wird sich ferner herausstellen, daß der wahre Kreis x mit den Punkten
auf kk übereinstimmt.

Zunächst beweisen wir, daß irgend zwei Punkte K1} K2 des wahren
Kreises x sich stets untereinander sowohl durch eine Jordansche Kurve ver-
binden lassen, die abgesehen von den Endpunkten ganz innerhalb kk verläuft,
als durch eine solche Jordansche Kurve, die abgesehen von den Endpunkten
ganz außerhalb kk verläuft.

In der Tat, ziehen wir entsprechend den obigen Ausführungen die
Jordanschen Kurven MKX und MK2, welche innerhalb kk den Mittel-
punkt M mit Kt bezüglich K2 verbinden, und bestimmen auf der Kurve
MKX von M ausgehend den letzten auf MK2 gelegenen Punkt P, so
bildet das Stück PKX der ersteren Jordanschen Kurve zusammen mit dem
Stück PK2 der letzteren Jordanschen Kurve eine Verbindungskurve von
der zuerst verlangten Art.

Andererseits fassen wir die Drehungen um M ins Auge, bei denen
K in Kt bezüglich in K2 übergeht; die Punkte At bez. A2, die dabei aus
A entstehen, sind nach § 3 Punkte außerhalb kk und lassen sich daher außer-
halb kk mit A verbinden. Aus diesen Verbindungskurven und denjenigen

Jordanschen Kurven, die bei jenen Drehungen aus der in § 3 konstruierten

132 Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

Jordanschen Kurve AK entstehen, können wir leicht eine Jordansche
Kurve zwischen Kx und K2 zusammensetzen, die ganz außerhalb hh verläuft.

§5.

Der eben gefundene Satz setzt uns in den Stand, die Punkte des
wahren Kreises x in bestimmter Weise anzuordnen.

Es seien Kx, K2, 2T3, Z"4 irgend vier verschiedene Punkte des wahren
Kreises x. Wir verbinden die Punkte KXK2 einerseits durch eine Jordansche
Kurve, die ganz (d. h. zwischen Kx und K2) innerhalb hh verläuft, und
andererseits durch eine solche, die ganz außerhalb hh verläuft. Da diese
beiden Verbindungskurven einschließlich ihrer Endpunkte Kx , K2 stetig sind,
so bilden sie zusammen eine geschlossene Jordansche Kurve. Eine in dieser
Weise aus Kx , K2 hergestellte Kurve wollen wir stets mit Kx K2 bezeichnen.
Die ganze Zahlenebene zerfällt dann, abgesehen von KXK2 selbst, nach dem
bekannten Jordanschen Satze in zwei Gebiete, nämlich das Innere und das
Äußere dieser Kurve KXK2. Betreffs der Lage der Punkte K3, K± sind nun
zwei Fälle möglich: erstens die Punkte K^^K^ werden durch die Kurve KXK2
nicht getrennt, d.h. sie liegen beide innerhalb oder beide außerhalb derselben;
zweitens die Punkte KZy Kx werden durch die Kurve KXK2 getrennt, d. h.
es liegt Ks innerhalb und JQ außerhalb der Kurve K±K2 oder umgekehrt.

Verbinden wir die Punkte Kx , K2 irgend wie anders durch einen inner-
halb hh und einen außerhalb Ich verlaufenden Weg, so erkennen wir leicht,
daß hinsichtlich der Lage der Punkte K3, K± zu der neu entstehenden
geschlossenen Jordanschen Kurve KXK2 gewiß derselbe Fall eintritt, wie
vorhin. In der Tat, liegt beispielsweise der erste Fall vor, und befinden
sich K3, K± beide im Innern von KXK2, so verbinde man Ks und ÜT4
durch einen innerhalb hh verlaufenden Weg W. Sollte derselbe aus dem
Inneren der geschlossenen Kurve KXK2 heraustreten, so müßte er im wei-
teren Verlauf doch schließlich wieder in dieses Innere zurückführen; es
ist daher gewiß möglich, den außerhalb KXK2 verlaufenden Teil dieses
Weges W durch einen nahe an dem betreffenden Stücke von KXK2 ver-
laufenden Weg zu ersetzen, welcher ganz innerhalb hh und zugleich inner-
halb KXK2 verläuft, so daß dadurch ein Verbindungsweg W* zwischen
K3 und iT4 entsteht, welcher ebenfalls ganz innerhalb hh und innerhalb
Kx K2 verläuft. Setzen wir aus dem innerhalb hh liegenden Teil der Kurve
KXK2 und dem außerhalb hh liegenden Teil der Kurve KXK2 eine neue

geschlossene Jordansche Kurve KXK2 zusammen, so ist W* offenbar ein
Weg, welcher K3 und JBT4 innerhalb dieser neuen Kurve verbindet, ohne

die Kurve KXK2 zu durchsetzen, d. h. K3 und K± werden durch KXK2
gewiß nicht getrennt. Hieraus folgt nach entsprechender Konstruktion

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 133

außerhalb kk, daß K3 und Z"4 auch durch die Kurve KtK2 nicht getrennt
werden. Wir dürfen daher im ersten Falle schlechthin sagen: Das Punkte-
paar K3, K± wird durch das Punktepaar Klt K2 nicht getrennt. Dann aber
folgt auch im zweiten Falle, daß wir schlechthin sagen dürfen: Das Punkte-
paar K3, K± wird durch das Punktepaar Kx, K2 getrennt.

Wir führen nun irgend eine Drehung um M aus, durch welche die
Punkte K1}K2,KS, KA in Kx', K2, K3, K[ übergehen. Bedenken wir, daß
die Drehung nach der Definition eine stetige und eindeutige umkehrbare
Transformation der Zahlenebene ist und die Punkte innerhalb kk in Punkte
innerhalb kk, die Punkte außerhalb kk in Punkte außerhalb Tili überführt,
so folgt, daß die Punktepaare Kx', K2 und K3, K[ voneinander getrennt
oder nicht getrennt liegen, je nachdem die Punktepaare Kl} K2 und K3, K±
sich einander trennen oder nicht, d. h. die gegenseitige Lage der Punkte-
paare K1} K2 und K3, K± bleibt bei einer beliebigen Drehung um M un-
verändert.

Wir leiten in ähnlicher Weise auch die Sätze ab, die den übrigen bekannten
Tatsachen hinsichtlich der gegenseitigen Lage der Punktepaare auf der Peri-
pherie eines gewöhnlichen Zahlenkreises entsprechen, nämlich die Sätze:

Wenn Kx, K2 durch K3, K± getrennt werden, so werden auch K3, K±
durch Kt, K2 getrennt. Wenn Kx, K± durch K2, K5 und K2, K± durch
K3, Kr> getrennt werden, so ivird auch KlyK± durch K3, K5 getrennt.

Dadurch sind wir zu dem folgenden Ergebnis gelangt:

Die Punkte des wahren Kreises x sind cyklisch, d. h. mit Bücksicht
auf die gegenseitige Trennung von Punktepaaren wie die Punkte eines ge-
wöhnlichen Zahlenkreises angeordnet. Diese Anordnung ist gegenüber den
Drehungen um den Mittelpunkt M des wahren Kreises x invariant.

§ 6-

Eine weitere wichtige Eigenschaft des wahren Kreises x sprechen wir
wie folgt aus:

Zu irgend einem Punktepaar des wahren Kreises x gibt es stets ein
Punktepaar dieses Kreises x, welches jenes Punktepaar trennt.

Wir bezeichnen mit Kx einen fest gewählten Punkt des wahren
Kreises x und wollen dann von irgend drei anderen Punkten Kt, K2, K3
des wahren Kreises x sagen, es liege K2 zwischen Kt und K3 bez. nicht
zwischen Kx und K3, je nachdem das Punktepaar Kl} K3 durch das
Punktepaar K2, Km getrennt oder nicht getrennt wird.

Wir nehmen im Gegensatz zu der obigen Behauptung an, es seien
K und K' zwei Punkte des wahren Kreises x, die durch kein Punktepaar
getrennt werden; dann folgt nach unserer Festsetzung gewiß auch, daß
zwischen denselben kein Punkt von x liegt. Ferner dürfen wir annehmen,

134 Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

es gäbe einen Punkt K± von der Art, daß das Punktepaar K1} K durch
das Punktepaar K, Kx getrennt wird; anderenfalls nämlich denken wir
uns in der folgenden Ent Wickelung die Rollen der Punkte K und K' mit-
einander vertauscht. Sodann wählen wir eine unendliche Reihe jR von
Punkten des wahren Kreises x, die gegen den Punkt K konvergieren, und
verbinden Kt mit K' sowohl durch eine innerhalb kk verlaufende Kurve,
wie durch eine außerhalb kk verlaufende Kurve. Durch Zusammensetzung
dieser beiden Kurven erhalten wir eine geschlossene Jordansche Kurve
KXK', welche Kx von K trennt und daher notwendig auch von unendlich
vielen Punkten der gegen K konvergenten Punktreihe B trennen muß.
Es sei K2 einer dieser Punkte der Reihe B. Da K% zwischen Kt und K'
liegt und nicht zwischen K und K' liegen darf, so liegt K2 notwendig
zwischen Kt und K. Nunmehr verbinden wir analog K2 mit K' durch
eine geschlossene Jordansche Kurve K2K' und gelangen ebenso zu einem
Punkte Ks der Reihe B, der zwischen K3 und K liegt u. s. f. Auf diese
Weise erhalten wir eine unendliche Beihe von Punkten K1} K2, K3, . . .
von denen jeder Punkt zwischen dem vorangehenden und K gelegen ist, und
die gegen den Punkt K konvergieren.

Wir führen jetzt eine Drehung um M aus, bei welcher K in einen
der Punkte Kx, K2, K3, . . . , etwa in Kt übergeht. Der Punkt K' gehe
bei dieser Drehung in den Punkt K[ über. Da unserer Annahme zufolge
K und K' durch kein Punktepaar getrennt werden, so ist das gleiche mit
dem Punktepaar Ki} JT/ der Fall. Infolgedessen muß K'{ entweder mit
Ki_x oder mit Ki + 1 zusammenfallen oder zwischen Ki^ml und Ki + 1 liegen;
in jedem Falle liegt also K{ zwischen Ki-2 und Ki+2, so daß auch die
unendliche Reihe von Punkten K1} K3', K6, K^ ', K9, KX1, . . . gewiß von
der Beschaffenheit ist, daß jeder Punkt dieser Reihe zwischen dem voran-
gehenden Punkte und dem Punkte K gelegen ist.

Wir wollen nun zeigen, daß auch die Punkte K3, K/, K[ly . . . gegen
den Punkt K konvergieren müssen. In der Tat, würden die Punkte
Kg'f K7', Kxl, . . . einen von K verschiedenen Punkt Q zur Verdichtungs-
stelle haben, so wähle man aus ihnen einen Punkt Kt' aus. Da
Ki\.i, K{ +8, Ki'+n, ■ ■ ■ sämtlich zwischen K{ und K liegen, so gibt es eine
geschlossene Jordansche Kurve K[K, die den Punkt K^ von den Punkten
Ki + i, K{+8, Ki'+i2, . . . und daher auch von Q trennt, d. h. Q liegt not-
wendig zwischen K[ und K. Wegen der Anordnung der Punkte Ki zu den
Punkten K[ folgt hieraus, daß Q auch zwischen den sämtlichen Punkten
Klf Kb, K(J, . . . einerseits und K andererseits liegt. Die geschlossene
Jordansche Kurve QK^ müßte mithin sämtliche Punkte Klt K0, K9, . . .
von K trennen; dann könnten aber die Punkte K1} K5, K9, ... nicht
gegen K konvergieren, wie es sein sollte.

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 135

Nunmehr betrachten wir die gegen K konvergierenden Punkte K3,
K1} Kn, . . . und die Punkte K3', ÜT7', K[XJ . . . , die nach dem eben Be-
wiesenen ebenfalls gegen K konvergieren. Da mittels einer Drehung um
M der Punkt K in K{ und zugleich K' in K[ übergeht, so müßte es
nach Axiom III auch eine Drehung geben, welche K und zugleich K' in
die gemeinsame Konvergenzstelle K überführt. Dies ist aber ein Wider-
spruch gegen die Definition der Drehung. Somit ist durch Widerlegung
unserer Annahme der zu Anfang dieses § 6 aufgestellte Satz vollständig
bewiesen.

§ 7.

Mit Rücksicht auf die Festsetzungen zu Beginn des § 6 fassen wir
den wahren Kreis x unter Ausschluß des Punktes K^ als eine geordnete
Punktmenge im Sinne Gantors auf: dann besitzt diese PunMmenge den
Ordnungstypus des Linearkontinuums.

Zum Beweise hierfür bestimmen wir zunächst eine abzählbare Menge S
von Punkten des wahren Kreises x, deren Verdichtungsstellen den wahren
Kreis x selbst ausmachen. Eine solche Menge S besitzt nach Cantor1) den
Ordnungstypus des Systems aller rationalen Zahlen in ihrer natürlichen
Rangordnung, d. h. es ist möglich, den Punkten des Systems S derart
die rationalen Zahlen zuzuordnen, daß, wenn A, B, C irgend drei Punkte
in S sind, von denen B zwischen A und G liegt, von den drei zugeord-
neten rationalen Zahlen a, b, c allemal die Zahl b ihrem Werte nach
zwischen a und c liegt.

Es sei nun K irgend ein Punkt des wahren Kreises x, welcher nicht
dem System S angehört; sind dann A, B Punkte von S, so nennen wir
A, B auf verschiedenen Seiten oder auf derselben Seite von K gelegen,
je nachdem K zwischen A und B oder nicht zwischen A und B liegt.
Übertragen wir diese Festsetzung von den Punkten des Systems S auf
die denselben zugeordneten rationalen Zahlen, so erhalten wir unter Ver-
mittelung des Punktes K einen bestimmten Schnitt im Sinne Bedekinds
durch das System der rationalen Zahlen: wir ordnen dem Punkte K die
durch diesen Schnitt definierte irrationale Zahl zu.

Es kann nicht zwei verschiedene Punkte K und K' auf x geben, denen
die gleiche irrationale Zahl zugeordnet erscheint. In der Tat, konstruieren
wir eine geschlossene Jordansche Kurve KK' und sei H irgend ein
zwischen K und K' und folglich innerhalb KK' gelegener Punkt von x,
so muß es, da H eine Verdichtungsstelle von Punkten des Systems S ist,

1) Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Math. Annalen Bd. 46,
§ 9; hinsichtlich der weiteren Schluß weise des Textes vergleiche man insbesondere §11.

136 Anhang IV: Grandlagen der Geometrie.

gewiß auch einen Punkt A in S geben, der innerhalb KK' und daher
auch zwischen K und K' liegt. Die zu A gehörige rationale Zahl a
bedingt daher jedenfalls eine "Verschiedenheit der Schnitte, die unter Ver-
inittelung der Punkte K und K' entstanden sind.

Wir wollen endlich zeigen, daß es auch umgekehrt zu jeder irratio-
nalen Zahl a einen Punkt K auf x gibt, dem diese zugeordnet erscheint.
Zu dem Zwecke sei ax,a2,a3,... eine Reihe zunehmender und bl} b2, b3, . . .
eine Reihe abnehmender Zahlen, deren jede gegen a konvergiert. Man
konstruiere die diesen Zahlen zugehörigen Punkte Ax, A2, A3, . . . bez.
B1} B2, B3, ... und bezeichne mit K irgend eine Verdichtungsstelle dieser

Punkte A1,A2,A3,...,Bl,B2,B3, Der Punkt K gehört dann notwendig

der Zahl a zu. Denn wenn wir allgemein eine geschlossene Jordansche
Kurve AiBi konstruieren, so liegen die Punkte Ai + l, Ai+2, Ai + 3, . ..,
•^i + i? ^i + 2? ^i + 3> • • • und folglich auch der Verdichtungspunkt K inner-
halb AiJBi d. h. zwischen den Punkten Ai} B{. Der unter Vermittelung
von K entstehende Schnitt ist mithin kein anderer als derjenige, der die
Zahl a bestimmt.

Betrachten wir nun die Punkte auf der Peripherie eines gewöhnlichen
Zahlenkreises mit dem Radius 1 und ordnen einem dieser Punkte das
Zeichen + oo und den Punkt Km zu, den übrigen Punkten dagegen in
stetiger Folge die sämtlichen reellen Zahlen und diesen wiederum die ent-
sprechenden Punkte des wahren Kreises x, so gelangen wir zu folgendem
Resultat: Die Punkte des wahren Kreises x lassen sich unter Erhaltung
ihrer Anordnung umkehrbar eindeutig auf die Punkte der Peripherie eines
gewöhnlichen Zahlenkreises mit dem Radius 1 abbilden.

§ 8.

Um das in § 4 bezeichnete Ziel zu erreichen, bleibt nur noch die
Stetigkeit der gewonnenen Abbildung, d. h. die Lückenlosigkeit des wahren
Kreises x zu zeigen übrig. Zu dem Zwecke denken wir uns die Punkte
des wahren Kreises x durch die Koordinaten x, y der Zahlenebene und
andererseits die Punkte des Zahlenkreises mit dem Radius 1 durch den
Bogen t von einem festen Anfangspunkte an bestimmt: dann haben wir
zu beweisen, daß x, y stetige Funktionen von t sind.

Es seien nun tlf t2, t3, . . . irgend eine Reihe gegen <* konvergierender
entweder sämtlich wachsender oder sämtlich abnehmender Werte und
KL, K2, K3, . . . seien bez. die diesen Parameterwerten zugeordneten Punkte
des wahren Kreises x, während der Wert t* einem Punkte K* auf x ent-
sprechen möge. Es sei ferner Q eine Verdichtungsstelle der Punkte
K1} K2, K3, . . . . Konstruieren wir allgemein eine geschlossene Jordansche
Kurve K{K*, so liegen notwendig die Punkte Ki + 1, Ki + 2, Ki + 3> . . . und

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 137

folglich auch deren Verdichtungsstelle Q innerhalb KtK* d. h. es liegt
auch der Punkt Q zwischen K{ und K*; demnach muß sich auch der zu
Q gehörige Wert des Parameters t allgemein zwischen tt und t* befinden.
Der letztere Widerspruch löst sich nur, wenn Q und K* zusammenfällt;
mithin konvergieren die Punkte K1} K2, K3, . . . gegen den Punkt K*.
Damit ist die Stetigkeit der Funktion x, y vom Parameter t völlig be-
wiesen und es folgt eine Tatsache, die wir in § 4 als das erste wichtige
Ziel unserer Entwickelung hingestellt haben, nämlich der folgende Satz:
Der wahre Kreis x ist in der Zahlenebene eine geschlossene Jordanschc

Kurve.

§9.

Wir wissen, daß die Punkte des wahren Kreises x sämtlich zu den
Punkten auf kk gehören; es wird sich auch zeigen, daß letztere Punkte
sämtlich auf x liegen, so daß der weitergehende Satz gilt:

Der wahre Kreis x ist identisch mit den Punkten auf kk; die inner-
halb x liegenden Punkte sind zugleich die Punkte innerhalb kk und die
außerhalb x liegenden Punkte sind zugleich die Punkte außerhalb kk.

Um diesen Satz zu erkennen, zeigen wir zunächst, daß der Punkt M,
der „Mittelpunkt" des wahren Kreises x, mit jedem Punkte J innerhalb x
durch eine stetige Kurve verbunden werden kann, ohne daß dabei der
wahre Kreis x überschritten wird.

In der Tat, ziehen wir durch J irgend eine gewöhnliche Gerade in
der Zahlenebene, eine sogenannte „Zahlengerade", so seien Kx und K2 die
ersten Punkte dieser Zahlengeraden, die auf x liegen, nach den beiden
Richtungen hin von J aus gerechnet. Da Kx und K2 auch Punkte auf
kk sind, so können sie mit M durch je eine Jordansche Kurve MKX bez.
MK2 verbunden werden, die ganz innerhalb kk verlaufen und daher gewiß
nicht den wahren Kreis x überschreiten. Trifft eine dieser Jordanschen
Kurven das Geradenstück KtK2 etwa im Punkte B, so bildet das Kurven-
stück MB mit dem Geradenstück JB zusammen den gesuchten Verbin-
dungsweg. Im entgegengesetzten Falle bilden MKt und MK2 zusammen
mit dem Geradenstück KtK2 eine geschlossene Jordansche Kurve y. Da
diese Kurve y ganz innerhalb des Zahlenkreises ! (§ 1) liegt, so läßt sich
der außerhalb des Zahlenkreises Ä gelegene Punkt A gewiß nicht mit einem
Punkte innerhalb y verbinden, ohne daß dabei ein Punkt der Kurve y
überschritten wird. Die Kurve y besteht nun aus Punkten innerhalb kk,
aus Punkten auf kk und aus Punkten innerhalb x. Da die letzteren Punkte
von A aus nur durch Überschreitung eines Punktes auf x, der ebenfalls
ein Punkt auf kk ist, erreicht werden kann, so liegt das ganze innerhalb y
gelegene Gebiet notwendig auch innerhalb kk, Verbinden wir also M
mit J durch einen stetigen innerhalb y verlaufenden Weg, so überschreitet

138 Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

dieser Weg den wahren Kreis x sicher nicht und ist mithin von der ge-
wünschten Art.

Wir schließen daraus zunächst, daß M innerhalb x liegt, d. h. der
Mittelpunkt M des wahren Kreises x liegt innerhalb desselben.

Da ferner jeder Punkt auf kk mit M durch eine Jordansche Kurve
verbunden werden kann, die, von den Endpunkten abgesehen, ganz inner-
halb kk verläuft und also x gewiß nicht trifft, so liegt jeder Punkt auf kk
notwendig auf x oder innerhalb x. Gäbe es einen Punkt P auf kk, der
innerhalb x liegt, so könnte der außerhalb ® gelegene Punkt A nicht mit
Punkten in beliebiger Nähe von P verbunden werden, ohne daß dabei ein
Punkt von x überschritten wird; da aber jeder Punkt von x zu den be-
deckten gehört, so könnte P nicht ein Punkt auf kk sein; dies ist ein
Widerspruch. Alle Punkte auf kk liegen also zugleich auf x, womit die
obige Behauptung völlig erwiesen ist.

§ 10.

Das Punktgebilde kk ist in § 2 durch eine gewisse Konstruktion aus
dem Zahlenkreise k hervorgegangen. Da der Zahlenkreis k, wie in § 3
gezeigt worden ist, mindestens einen Punkt auf kk enthält und im übrigen
ganz auf oder innerhalb kk liegt und die Punkte auf kk nach § 9 nichts
anderes als der wahre Kreis x sind, so haben wir in der obigen Konstruk-
tion zugleich ein Mittel, um aus dem Zahlenkreise k einen wahren Kreis x
zu konstruieren, welcher eine geschlossene Jordansche Kurve ist und den
Zahlenkreis k umschließt, diesen von außen berührend; hier und im
folgenden sagen wir von zwei Jordanschen Kurven, wenn die eine die
andere im Inneren enthält und mit ihr wenigstens einen Punkt gemein hat,
daß die erste die zweite von außen, diese aber jene von innen berührt.

Durch eine geringe Abänderung des früheren Verfahrens, nämlich
durch eine Vertauschung der Rollen, die den Punkten innerhalb und
außerhalb Jb zugeteilt worden sind, können wir aus dem Zahlenkreise k
noch einen anderen wahren Kreis konstruieren: wir bezeichnen jetzt diejenigen
Punkte der Zahlenebene, die bei irgend einer Drehung um M aus Punkten
außerhalb oder auf k entstehen, als bedeckt; alle anderen Punkte dagegen
als unbedeckt. Wenn nun ein unbedeckter Punkt sich durch eine Jordansche
Kurve, die aus lauter unbedeckten Punkten besteht, mit M verbinden läßt,
so heiße dieser Punkt innerhalb kkk. Die Grenzpunkte dieser Punkte
innerhalb kkk heißen Punkte auf kkk und alle übrigen Punkte heißen
außerhalb kkk. Wir zeigen dann ähnlich wie in § 3 — § 9, daß die Punkte
auf kkk einen wahren Kreis um M bilden, der eine geschlossene Jordansche
Kurve ist, den Mittelpunkt M umschließt und innerhalb des Zahlenkreises k
verläuft, diesen von innen berührend.

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 139

§ 11.

An Stelle des Zahlenkreises k kann man nun eine beliebige geschlossene
innerhalb k verlaufende Jordans che Kurve z wählen, die den Punkt M im
Innern enthält: durch Anwendung der nämlichen Konstruktion erhalten wir
dann zu dieser Kurve z sotvohl einen bestimmten sie umschließenden wahren
Kreis um M, der eine geschlossene Jordansche Kurve ist und z von außen
berührt, als auch einen bestimmten innerhalb z verlaufenden wahren Kreis
um M, der eine geschlossene Jordansche Kurve ist und z von innen berührt.

Wir bemerken noch, daß jeder solche aus einer Jordanschen Kurve z
konstruierte wahre Kreis auch aus einem Zahlenkreise erzeugt werden kann:
man braucht nur denjenigen Zahlenkreis zu wählen, der innerhalb des vor-
gelegten wahren Kreises ihn von innen berührend verläuft bez. ihn von
außen berührend umschließt; denn zwei wahre Kreise, die geschlossene
Jordansche Kurven sind und denselben Zahlenkreis sei es beide umschließend,
sei es beide ganz innerhalb verlaufend berühren, müßten gewiß einen Punkt
gemein haben und wären folglich überhaupt miteinander identisch.

§ 12.

Nunmehr können wir ohne erhebliche Schwierigkeit die wichtige
Tatsache beweisen, daß jeder durch irgend einen Punkt P innerhalb x
gehende wahre Kreis um M ebenso wie die in § 11 konstruierten wahren
Kreise eine geschlossene Jordansche Kurve ist, die M im Innern enthält.

Zum Beweise fassen wir einerseits alle wahren Kreise um M ins
Auge, die geschlossene Jordansche Kurven sind und P ausschließen: sie
mögen wahre Kreise erster Art heißen; und andererseits alle diejenigen,
die geschlossene Jordansche Kurven sind und P einschließen: sie mögen
wahre Kreise zweiter Art heißen.

Wir denken uns zunächst aus jedem Zahlenkreise mit dem Mittel-
punkt M den umschließenden wahren Kreis erzeugt und fassen dann die-
jenigen Zahlenkreise ins Auge, aus denen wahre Kreise entspringen, die
erster Art sind. Sodann suchen wir für diese Zahlenkreise den Grenz-
kreis g, d. h. den kleinsten Zahlenkreis, der sie sämtlich enthält. Alle
Zahlenkreise, die kleiner als g sind, liefern dann wahre Kreise erster Art.
Der aus dem Zahlenkreise g entspringende wahre Kreis y müßte, wenn er
nicht durch P geht, diesen Punkt ebenfalls ausschließen. Denn läge P inner-
halb y, so ziehe man eine ganz innerhalb y verlaufende, die Punkte M und
P umschließende geschlossene Jordansche Kurve und erzeuge aus dieser
den wahren Kreis, der sie umschließt. Dieser wahre Kreis ließe sich, da
er ja gewiß in das Innere des Zahlenkreises g hineintritt, durch einen
Zahlenkreis erzeugen, der kleiner als g ist; er umschließt ferner den Punkt

140 Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

P, was nicht möglich ist. Da, wie erwähnt, alle wahren Kreise um M,
die geschlossene Jordansche Kurven sind, auch aus Zahlenkreisen um M
entspringen, so ist offenbar der aus g entspringende wahre Kreis ein
solcher Kreis erster Art, welcher alle anderen wahren Kreise erster Art
umschließt.

Indem wir andererseits aus jedem Zahlenkreise mit dem Mittelpunkt
M denjenigen wahren Kreis erzeugt denken, der jenen Zahlenkreis aus-
schließt, beweisen wir auf ähnlichem Wege die Existenz eines wahren
Kreises zweiter Art, welcher von allen anderen wahren Kreisen zweiter Art
umschlossen wird.

Würden nun die gefundenen wahren Grenzkreise beide nicht durch
P gehen, so könnte man eine Jordansche Kurve in dem zwischen ihnen
gelegenen ringförmigen Gebiete ziehen, welche sicher durch unser Verfahren
einen wahren Kreis liefern würde, der eine geschlossene Jordansche Kurve,
aber weder von der ersten noch von der zweiten Art wäre; dies ist ein
Widerspruch und damit haben wir die zu Anfang von § 12 aufgestellte
Behauptung bewiesen.

§ 13.

Nachdem wir im vorstehenden die wichtigsten Eigenschaften der
wahren Kreise um M gefunden haben, die durch Punkte innerhalb %
laufen, wenden wir uns nun zur Untersuchung der Gruppe aller Bewegungen,
die hei den Drehungen der Ebene um M der wahre Kreis % in sich
erfährt.

Es seien den Entwickelungen in § 8 gemäß die Punkte des wahren
Kreises x auf die Punkte t der Peripherie eines Zahlenkreises mit dem
Radius 1 unter Erhaltung ihrer Anordnung abgebildet: dann entspricht
einer jeden Drehung A unserer Ebene um M eine bestimmte umkehrbar
eindeutige stetige Transformation der Punkte t des Einheitskreises in
sich, da ja nach § 5 bei einer Drehung die Anordnung der Punkte auf
dem wahren Kreise und daher mit Rücksicht auf § 7 auch die Anordnung
der Parameterwerte t ungeändert bleibt. Diese Transformation läßt sich
durch eine Formel von der Gestalt

t'=A(t)
darstellen, wo A(f) eine stetige Funktion ist, die mit wachsendem t ent-
weder stets wächst oder stets abnimmt und die bei Vermehrung des
Arguments t um 2 % sich ebenfalls um den Betrag 2jt ändert.

Diejenigen Funktionen A(T), die bei wachsendem Argument t ab-
nehmen, entsprechen Transformationen, die den Umlaufssinn auf dem
wahren Kreise ändern, und da zufolge unserer Fassung des Begriffes der
Bewegung bei einer Bewegung der Umlaufssinn stets derselbe bleiben soll,

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 141

so ergibt sich, daß die Funktion A(t) bei wachsendem Argument t stets
wachsen muß.

§ 14.

Wir fragen zunächst, ob es in dieser Gruppe aller Drehungen um M
eine Drehung geben kann, bei welcher ein Punkt A des wahren Kreises x
ungeändert bleibt. Es sei t = a der Parameterwert für einen solchen
Punkt A und dieser bleibe bei der eigentlichen Drehung A fest, die durch
die Formel

t'= A(i)

dargestellt wird. Ferner sei B irgend ein Punkt des wahren Kreises mit
dem Parameterwert t = b, der bei der Drehung A seine Lage verändere;
wir machen etwa die Annahme b < a, worin keine Einschränkung liegt.

Sowohl A(t) als auch die umgekehrte Funktion A-1(£) sind von der
Art, daß sie bei zunehmendem Argument zunehmen. Wegen A(a) = a
schließen wir hieraus der Reihe nach, daß sämtliche Größen, die durch
die symbolischen Potenzen

A(b), AA(6) - A\b), A3(6), . . ., A"1^), A~\b), A~\b), . . .
dargestellt werden, unterhalb a liegen. Nun bilden, falls A(b) > b aus-
fällt, die Größen

A{b),A\b),A\b),...

eine Reihe beständig zunehmender Werte; im Falle A(b) < b gilt das
gleiche von der Größenreihe

A-\b),A-*(b),A-*(b),....
Aus diesen Tatsachen entnehmen wir, daß im ersteren Falle die direkten
Wiederholungen der Drehung A auf b angewandt, im letzteren die symbo-
lischen Potenzen von A(fo) mit negativen Exponenten sich einem Grenzwert//
nähern müssen, der zwischen a und b liegt oder mit a übereinstimmt. Ent-
spricht der Grenzzahl g etwa der Punkt G auf dem wahren Kreise x, so
bilden die Potenzen von A mit positiven bez. negativen Exponenten Be-
wegungen, so daß durch sie der Punkt B schließlich in beliebige Nähe von G
übergeht und zugleich durch sie Punkte in beliebig kleiner Umgebung von G
in beliebig kleiner Umgebung von G bleiben. Nach Axiom III müßte es dem-
nach eine Bewegung geben, welche B in G überführt und zugleich G unge-
ändert läßt; dies widerspräche dem Begriffe der Bewegung. Es ist demnach
die Drehung A, welche den Punkt A festläßt, notwendig eine solche, die alle
Punkte des Kreises % festläßt, d. h. für diesen Kreis die Identität ist.

§ 15.
Aus der Definition des wahren Kreises leuchtet unmittelbar die folgende
Tatsache ein:

142 Anhang IV : Grundlagen der Geometrie.

Es gibt stets eine Drehung um M, welche den beliebig gegebenen Punkt 0
des wahren Kreises x in einen anderen beliebig gegebenen Punkt S desselben
überführt.

§ 16.

Wir leiten jetzt eine weitere Eigenschaft für die Gruppe der Be-
wegungen eines wahren Kreises in sich ab.

Es seien 0, S, T, Z vier solche Punkte auf dem wahren Kreise x, daß
diejenige Drehung um M, vermöge welcher 0 in S übergeht, den Punkt
T nach Z bewegt, so daß die Lage von Z eindeutig durch die Punkte
0, S, T mitbestimmt ist. Halten wir 0 fest und bewegen S und T auf
dem wahren Kreise, so erfolgt bei stetiger Änderung von S und T auch die
Änderung von Z stetig.

Um dies zu beweisen, wählen wir eine unendliche Reihe von Punkten
Sx, S2, S3, . . . , die gegen den Punkt S konvergieren, und eine unendliche
Reihe von Punkten Tlf T2, T3, . . ., die gegen den Punkt T konvergieren.
Die Drehungen um M, vermöge deren 0 in 8U S2, S3, . . . übergeht, be-
zeichnen wir bez. mit A1? A2, A3, . . . und die durch diese Drehungen bez.
aus T1,T2,T3, ... entspringenden Punkte seien Zx, Z2, Z3, . . . ; dann haben
wir zu zeigen, daß die Punkte Z1} Z2, Z3, . . . gegen Z konvergieren. Es

sei Z* eine Verdichtungsstelle der Punkte Zlf Z2f Z3, Nach Axiom III

gibt es dann eine Drehung um M, vermöge deren 0 in S und zugleich
T in Z* übergeht. Hierdurch erweist sich aber Z* als eindeutig bestimmt
und mit Z identisch.

§ 17.
In § 14 — § 16 haben wir erkannt, daß die Gruppe aller Drehungen
des wahren Kreises % in sich die folgenden Eigenschaften besitzt:

1. Es gibt außer der Identität keine Drehung um M, welche einen
Punkt des wahren Kreises x festläßt.

2. Wenn 0, S irgend zwei beliebige Punkte des wahren Kreises %
sind, so gibt es gewiß eine Drehung um M, welche 0 in S überführt.

3. Bei einer Drehung um M, die 0 nach S bewegt, gehe zugleich
T in Z über; der somit durch 0, S, T eindeutig bestimmte Punkt Z
erfährt auf x eine stetige Änderung, wenn S und T auf x stetig ihre
Lage ändern.

Diese drei Eigenschaften bestimmen vollständig den Bau der Gruppe
der Transformationen A(£), die den Bewegungen des wahren Kreises in
sich entsprechen. Wir stellen nämlich den folgenden Satz auf:

Die Gruppe aller Bewegungen des wahren Kreises % in sich, die Drehungen
um M sind, ist holoedrisch -isomorph mit der Gruppe der gewöhnlichen
Drehungen des Zahleneinheitskreises um M in sich.

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 143

§ 18.

Wenn wir uns diejenige Drehung um M, die den Punkt 0 des wahren
Kreises % mit dem Parameterwert 0 in den Punkt S mit dem Parameter-
wert s überführt, durch die Transformationsformel

f'- A(t,s)
dargestellt denken, wobei wir den Funktionswert A(t,Ö) = t nehmen, so
erkennen wir auf Grund der gefundenen Eigenschaften der Drehungs-
gruppe, daß die Funktion A(t, s) eindeutig und stetig für alle Werte der
beiden V eränderlichen t, s ist. Auch folgt, da s bis auf Vielfache von 2 %
eindeutig durch zwei zusammengehörige Werte t und t' bestimmt ist, daß
die Funktion A(t, s) bei konstantem t mit wachsendem s nur entweder
beständig wächst oder abnimmt, und da sie für t = 0 in s übergeht, so
tritt notwendig der erstere Fall ein. Nun ist

A{t,t)>A{0,t), A(ö,9-*; (*>o)

und wegen

A(2jt, s) = 2x + A(0, s) = 2x + s
folgt

A(2ar, 2x) = 4jt.

Mithin hat die Funktion A (t} t) (> t) der einen Veränderlichen t die Eigen-
schaft, beständig von 0 bis 4ji zu wachsen, während das Argument t von
0 bis 2it wächst. Aus diesem Umstände schließen wir sofort folgende
Tatsache:

Wenn irgend eine positive Zahl t' <L2it vorgelegt ist, so gibt es
stets eine und nur eine positive Zahl t, so daß

A{t,t) = f
wird; es ist t < t '. Der Parameterwert t liefert einen Punkt des wahren
Kreises von der Art, daß bei einer gewissen Drehung um M der Punkt
t = 0 sich nach t und zugleich der Punkt t nach t' bewegt.

Wir bezeichnen nun denjenigen Wert von t, für welchen

A(t, t) = 2%
wird, mit 9>(J), denjenigen, für welchen

wird, mit <p\^), denjenigen, für welchen

A(M) = 9>(^f)
wird, mit <p(ös)> ' ' ''i ferner setzen wir allgemein

144 Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

wo 2 a eine gerade ganze Zahl bedeutet und n eine ganze Zahl ^> 1 ist,
und ferner setzen wir

9>(0) = 0, cp(l) = 2x.
Damit ist die Funktion qp für alle rationalen Argumente, deren Nenner
eine Potenz von 2 ist, widerspruchslos definiert.

Ist nun 6 ein beliebiges positives Argument < 1 , so entwickeln wir
6 in einen Dualbruch von der Form

u 2 T 22 T 23 ' *

wo 0U eS} 0ti .> . lauter Ziffern 0, 1 bedeuten. Da die Zahlen der Reihe

gewiß niemals abnehmen und sämtlich ^y>(l) bleiben, so nähern sie sich
einem Grenzwert; diesen bezeichnen wir mit (p{p). Die Funktion <p(<j)
ist eine Funktion, die mit wachsendem Argument stets wächst; wir wollen
beweisen, daß sie auch stetig ist. In der Tat, wäre sie an einer Stelle

ff = y + 2Sf + 2* + "'==jL ?~'L —#->

\2n 2 T 2* T " . ' T 2V

nicht stetig, so müßten die beiden Grenzwerte

L<p(^) und Ly(^±l)

n= oo n = oo

voneinander verschieden ausfallen und mithin die unendliche Reihe von
Punkten, die den Parametern

«-»fr). "-HW. <'»(£)'••

entsprechen, gegen einen anderen Punkt konvergieren als die unendliche
Reihe von Punkten, die den Parametern

entsprechen. Nun führt dieselbe Drehung, vermöge deren der Punkt
t = (jp( —J in den Punkt £ = <)p( -~- — ) übergeht, auch zugleich den Punkt

t==<p(-ä) *n ^en Punkt t = <p(-—i) über, und da die Zahlen <p (--) >

«p (st) » V (o» ) > ' " " Deständig abnehmen und die diesen Parameterwerten
entsprechenden Punkte daher jedenfalls gegen eine gewisse Stelle A kon-
vergieren müssen, so konvergieren mit Rücksicht auf Axiom III einer oft

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 145

angewandten Scklußweise zufolge auch die vorhin genannten unendlichen
Reihen von Punkten beide gegen denselben Punkt.

Die Funktion <p(<?) gestattet, da sie stets wächst und stetig ist, auch
eine eindeutige und stetige Umkehrung.

Die Drehung um M, durch welche der Punkt t = 0 in den

Punkt t = cp \~) übergeht, führt zugleich den Punkt t = qp (-j-j-J in

t = <P ( -^ + -£ ) über, unter om irgend eine ganze Zahl verstanden. Da für

(a \ / b a \

— I gegen <p (ö) und zugleich die Zahlen <p I ■— + -; )

gegen q> ( -jjj + * ) konvergieren, so gibt es nach Axiom III eine Drehung,

welche den Punkt t = 0 nach t — 9 (<f) und zugleich den Punkt £ = <p ( -~ j

nach ^ = 9(-^ + öj bewegt, d. h. es ist

und, da (? eine stetige Funktion ist, so folgt hieraus allgemein für be-
liebige Parameter werte r, 6

A(<p(T),<p(a)) = (p(r+ 6).

Damit ist bewiesen, daß, wenn wir in der Transformationsformel

t - A ft s)

mittels einer gewissen umkehrbar eindeutigen Funktion <p an Stelle von
t} t'f s neue Parameter r, t', <j gemäß

£ = 9>(t), ^-f.(V), s = y(ff)
einführen, sich die Drehung in den neuen Parametern durch die Formel

x = t + *
ausdrückt. Dieser Satz lehrt die Richtigkeit der in § 17 aufgestellten
Behauptung.

Wir setzen noch an Stelle des Parameters 6 den Parameter ra = 2jrtf,
und nennen diesen Parameterwert & den Winkel oder die Bogenlänge
zwischen den Punkten 0 (<5 — 0) und 8 (d. h. <?) auf dem wahren Kreise x;
die Drehung, bei welcher der Punkt 0 (ö = 0) in den Punkt 8 (d. h. <y)
übergeht, heiße eine Drehung A [co] des wahren Kreises x in sich um den
Winkel co.

Hubert, Grundlagen der Geometrie. 10

146 Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

§ 19.

Durch diesen Beweis des Satzes in § 17 haben wir die Untersuchung
der Drehungen des wahren Kreises x in sich beendet. Wegen § 11 und
§ 12 erkennen wir, daß die in § 13 — § 18 für den wahren Kreis jc an-
gewandten Schlußweisen und bewiesenen Tatsachen auch für alle wahren
Kreise um M gültig sind, die innerhalb ?c liegen.

Wir wenden uns nun zu der Gruppe der Transformationen aller Punkte
bei den Drehungen der Ebene um den festen Punkt M und beweisen der
Reihe nach folgende Sätze:

Es sei von einem wahren Kreise ft um M bekannt, daß er eine ge-
schlossene Jordansche Kurve ist, in deren Innerem M liegt: dann gibt es
außer der Identität keine Drehung der Ebene um M, welche jeden Punkt
des wahren Kreises [i festläßt.

Zum Beweise bezeichnen wir eine Drehung um M, die jeden Punkt
auf yu festläßt, mit M und nehmen dann erstens im Gegensatz zur Be-
hauptung an, es gäbe auf (i einen Punkt A, in dessen beliebiger Nähe
Punkte liegen, die ihre Lage bei einer Drehung M verändern. Um A
schlagen wir, was nach § 12 gewiß möglich ist, einen wahren Kreis a,
der durch einen gegenüber M veränderlichen Punkt gehe und hinreichend
klein ist, so daß zufolge der obigen Bemerkung der Satz in § 14 für ihn
zutrifft. Es sei B ein Schnittpunkt dieses Kreises mit ju.; dann charakte-
risiert sich die Bewegung M zugleich als eine Drehung des Kreises a in sich,
bei der B festbleibt. Bei einer solchen Drehung bleiben aber nach § 14
alle Punkte auf a fest, was nicht der Fall ist; unsere erstere Annahme
erweist sich demnach als unzulässig.

Wir konstruieren nunmehr ein System von geschlossenen Jordanschen
Kurven um M, zu denen [i gehört und von denen jede die andere ent-
weder ganz ein- oder ganz umschließt, so daß durch jeden Punkt der
Zahlenebene eine und nur eine Kurve des Systems hindurchgeht. Dann
nehmen wir zweitens im Gegensatz zur obigen Behauptung au, es sei X
eine Kurve dieses Systems innerhalb [i bez. außerhalb ^,, so daß alle Punkte
in dem ringförmigen Gebiete zwischen fi und X bei jeder Drehung M fest-
bleiben, während in beliebiger Nähe der Kurve X solche Punkte vorhanden
sind, die nicht bei jeder Drehung M festbleiben.

Es sei A ein Punkt auf X, in dessen beliebiger Nähe bei M bewegliche
Punkte liegen; dann schlagen wir um A einen wahren Kreis, der durch
einen dieser beweglichen Punkte läuft und hinreichend klein ist, so daß
der Satz in § 14 für ihn zutrifft. Da dieser Kreis bei genügender Klein-
heit jedenfalls durch einen Teil des ringförmigen bei den Bewegungen M
festbleibenden Gebietes hindurchläuft, so charakterisiert sich die Be-

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 147

wegung M zugleich als eine Drehung des Kreises a in sich, bei welcher
unendlich viele Punkte von a festbleiben. Bei M müßten daher nach § 14
alle Punkte von a festbleiben, was nicht der Fall ist. Damit ist gezeigt,
daß bei den Drehungen M alle Punkte der Ebene festbleiben.

§ 20.

Wir stellen nun folgende wichtige Behauptung auf:
Jeder wahre Kreis ist eine geschlossene Jordansche Kurve: das System
aller wahren Kreise um irgend einen Punkt M erfüllt lückenlos unsere
Ebene, so daß jeder wahre Kreis um M jeden anderen solchen Kreis ein-
oder umschließt. Die sämtlichen Drehungen A [eo] unserer Ebene um M
werden durch Transformationsformeln von der Gestalt

x=f{x,y;<a), y=g{x,y;co)
ausgedrückt; darin bedeuten x, y bez. x, y die Koordinaten in der Zahlen-
ebene und f, g eindeutige stetige Funktionen in den drei Veränderlichen
x, y, a. Ferner haben für jeden Punkt x, y die Funktionen f, g hinsichtlich
des Argumentes co die Zahl 2% zur kleinsten simultanen Periode, d. h. man
erhält jeden Punkt des wahren Kreises durch den Punkt (x, y) je einmal
und nur einmal, wenn man a die Werte von 0 bis 2 7t durchlaufen läßt.
Endlich gilt für die Zusammensetzung zweier Drehungen um die Winkel a, a'

die Formel

A[a>]A[ß/] = A[(o + <l.

§ 21.

Zum Beweise der aufgestellten Behauptungen fassen wir wiederum zu-
nächst den in § 3 — § 18 untersuchten wahren Kreis x um M ins Auge, der
eine geschlossene Jordansche Kurve ist, und betrachten die Drehungen
dieses wahren Kreises x in sich. Nach § 18 führen wir den Winkel co
ein, so daß durch die Angabe eines Wertes von co zwischen 0 und 2 a
eine Bewegung des wahren Kreises x in sich eindeutig bestimmt ist. Nun
entspricht aber einer jeden Drehung des wahren Kreises x in sich nur
eine bestimmte Drehung der Ebene um M, da ja nach § 19 bei Fest-
haltung aller Punkte auf x überhaupt alle Punkte der Ebene festbleiben.
Daraus folgt, daß in den in § 20 aufgestellten Formeln für die Drehung
der Ebene um M die Funktionen f, g für alle x,y}a eindeutige Funktionen
sind, die hinsichtlich oo die Periode 2% besitzen.

Wir beweisen nun, daß /', g stetige Funktionen in x, y, eo sind. Zu
dem Zwecke sei 0 irgend ein Punkt auf x, ferner au co2, co3, . . . eine
unendliche Reihe von Werten, die gegen einen bestimmten Wert co
konvergieren, und Tlf 1\, 1\, . . . eine unendliche Reihe von Punkten
unserer Ebene, die gegen irgend einen Punkt T konvergieren. Diejenigen

10*

148 Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

Punkte, die aus 0 bez. bei Anwendung der Drehungen um den Winkel
<o1} g>2, «3, . . . hervorgehen, bezeichnen wir mit S1} S2, S3, . . . und die
Punkte, die aus Tlf Tt) Tlt . . . bez. bei den Drehungen co1} co2, a3, . . . ent-
stehen, mögen Z17 Z2, Z3) . . . heißen. Endlich mögen die Punkte, die
aus 0 bez. T durch eine Drehung um den Winkel co hervorgehen, bez.
mit 8, Z bezeichnet werden. Es kommt darauf an, zu zeigen, daß die
Punkte Z1} Z2, Z3, . . . gegen Z konvergieren.

Da die Punkte Tlf Tit T9J . . . gegen T konvergieren, so können wir
ein Jordansches Gebiet G bestimmen, in dessen Innerem die sämtlichen
Punkte M, T, T1} T2, T3, . . . liegen. Auf dieses Jordansche Gebiet wenden
wir dann diejenige Drehung um M an, welche 0 nach S bewegt. Das
so aus G entstehende Jordansche Gebiet heiße H; dasselbe enthält gewiß
die Punkte M und Z. Endlich konstruieren wir eine geschlossene
Jordansche Kurve a, die das Gebiet H ganz im Inneren enthält d. h.
umschließt, ohne daß ein Punkt auf H liegt.

Wir wollen nun beweisen, daß von den Punkten Z1} Z2, Z3, .. . gewiß
nur eine endliche Anzahl außerhalb der Kurve a liegen. In der Tat,
würden unendlich viele von ihnen, etwa die Punkte Zi , Z{ , Z{ , . . . außer-
halb a liegen, so denke man sich allgemein M mit Tih durch eine
Jordansche innerhalb G verlaufende Kurve yh verbunden und dann mit yh
die Drehung um den Winkel aih ausgeführt. Die so entstehende Kurve
verbindet M mit Zifi und schneidet folglich die Kurve a gewiß in einem
Punkte, etwa jBa; es sei Ah der Punkt auf yh, der bei der Drehung um
den Winkel o,-A in Bh übergeht. Da die Punkte A1} A2, Az, . . . sämtlich
innerhalb G und die Punkte Blf J82, B3, . . . sämtlich auf a bleiben, so
gibt es gewiß eine unendliche Reihe von Indices Äj, \, Ji3, . . . von der
Art, daß Ah , A^ , Ah , . . . gegen einen Punkt A innerhalb G oder auf
der Grenze von G und zugleich Bh , BK, Bh , . . . gegen einen Punkt B
auf a konvergieren. Nun wissen wir, daß die Punkte S1} S2, S3, . . . gegen
S konvergieren; mit Rücksicht auf Axiom III müßte es demnach eine
Drehung um M geben, die 0 nach 8 und zugleich A nach B bewegt;
dies ist aber nicht möglich. Denn bei dieser Drehung müßte A in einen
Punkt innerhalb H oder auf der Grenze von H übergehen; dagegen
ist B ein Punkt auf der Kurve a, die das Gebiet H ganz im Inneren
enthält.

Damit haben wir erkannt, daß das Punktsystem Zu Z2, Z3, . . . ganz
innerhalb eines gewissen Jordanschen Gebietes liegen muß.

Es sei nun Z* eine Verdichtungsstelle der Punkte Z1} Z2> Ztt . . .
Da die Punkte 8lf S2, 83, . . . gegen S konvergieren, so gibt es nach
Axiom III eine Drehung um M, bei welcher 0 in 8 und zugleich T in Z*
übergeht. Da aber bei derjenigen Drehung um M, welche 0 in 8 über-

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 149

führt, T in Z übergehen sollte, so folgt wegen der vorhin bewiesenen
Eindeutigkeit der Funktionen f, g notwendig Z* = Z, d. h. die Punkte
ZltZi}ZZf... verdichten sich nur an einer Stelle, nämlich an der Stelle Z.
Damit ist die Stetigkeit der Funktionen f, g in x, y, eo bewiesen.

Wir setzen jetzt in f, g für x, y die Koordinaten irgend eines Punktes P
unserer Ebene ein, der innerhalb oder außerhalb des Kreises % liegt. Die
dann entstehenden Funktionen f(co),g(a) in der Veränderlichen co allein
dürfen nicht beliebig kleine simultane Perioden haben. Denn da sie stetige
Funktionen von cd sind, so wären sie in diesem Falle Konstante; dann
aber würde der Punkt P bei allen Drehungen der Ebene um M fest-
bleiben, was Axiom II widerspräche. Die kleinste simultane Periode jener

beiden Funktionen f(a),g (to) muß demnach von der Form - - sein, wo n

eine ganze positive Zahl bedeutet. Hieraus folgt, daß der durch P gehende
wahre Kreis erhalten wird, wenn man in den Formeln

2 7t

den Wert co von 0 bis — laufen läßt. Diese Kurve ist geschlossen und

ohne Doppelpunkte; sie stellt daher den durch P gehenden wahren
Kreis um M dar. Wenden wir nunmehr auf die Ebene eine Drehung um

2 7t

den Winkel — an, so bleiben dabei alle Punkte dieses durch P gelegten

wahren Kreises fest, und daher müßten nach § 19 alle Punkte der Ebene
festbleiben; die Punkte auf dem wahren Kreise x bleiben aber bei jener
Drehung nur fest, wenn n = 1 ist, und damit haben wir die Aussagen
des in § 20 aufgestellten Satzes in allen Teilen bewiesen.

§ 22.

Wir erkennen jetzt leicht auch die Richtigkeit der folgenden Tatsachen:

Wenn irgend zwei Punkte bei einer Beivegung der Ebene festbleiben,
so bleiben alle Punkte fest, d. h. die Bewegung ist die Identität.

Jeder Punkt der Ebene läßt sich durch eine Bewegung (d. h. zwei
Drehungen) gewiß in jeden anderen Punkt der Ebene überführen.

Die erstere Tatsache folgt sofort mit Rücksicht auf den Satz in § 20;
die letztere, wenn wir um jeden der Punkte den wahren Kreis durch den
anderen legen, wobei diese Kreise sich notwendig treffen müssen.

§ 23.

Unser wichtigstes weiteres Ziel besteht darin, den Begriff der wahren
Geraden in unserer Geometrie einzuführen und die für den Aufbau der
Geometrie notwendigen Eigenschaften dieses Begriffes zu entwickeln.

150 Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

Zu dem Zwecke setzen wir zunächst folgende Benennungen fest: Wenn
A, B und Ä, B' zwei Paare von Bildpunkten von der Art sind, daß sich
vermöge einer Bewegung A in Ä und zugleich B in B' überführen läßt,
so sagen wir, die (wahre) Strecke AB sei kongruent (in Zeichen =) der
(wahren) Strecke A'B ' . Ferner nennen wir zwei wahre Kreise kongruent,
wenn es eine Bewegung gibt, welche ihre Mittelpunkte und zugleich sie
selbst ineinander überführt.

Unter einer Halbdrehung H um einen Punkt M verstehen wir eine
Drehung um den Winkel %, d. h. eine Drehung, die noch einmal aus-
geführt die Identität ergibt. Wenn A, B, C drei Punkte sind, so daß A
bei einer Halbdrehung um B in C und demnach auch zugleich C bei
dieser Halbdrehung in A übergeht, so heiße B die Mitte der Strecke AC.

Wenn C ein Punkt innerhalb bez. außerhalb des um A durch B
geschlagenen wahren Kreises ist, so nennen wir die Strecke AC kleiner
bez. größer als die Strecke AB. Um in analoger Weise die Begriffe
„kleiner" und „größer" für beliebige Strecken bez. für beliebige Kreise
zu definieren, führe man Bewegungen aus, vermöge welcher die Anfangs-
punkte der Strecken bez. die Mittelpunkte der Kreise in den nämlichen
Punkt fallen.

§ 24.

Eine wahre Strecke AC hat höchstens eine Mitte; gäbe es nämlich
für AC zwei Mitten und bezeichnen wir die Halbdrehungen um diese
Mitten mit Hx und H2, so würde die zusammengesetzte Substitution
HxHt~l eine Bewegung darstellen, welche jeden der Punkte A und C
festließe, und somit entnehmen wir nach § 22, indem wir symbolisch die
Identität mit 1 bezeichnen,

B1jy2-1 = l d.h. Ht^H2-
mithin stimmen auch die Mitten selbst überein. Insbesondere folgern wir
hieraus die weitere Tatsache:

Wenn zwei Strecken einander kongruent sind, so sind auch ihre
Hälften einander kongruent.

§ 25.

Für die weiteren Entwicklungen brauchen wir folgenden Hilfssatz:
Es mögen die Punkte Alf A%, A3, . . . gegen den Punkt A und die
Punkte Mx, M2, M3, . . . gegen den Punkt M konvergieren; wenn dann
allgemein bei Ausführung der Halbdrehung um M{ der Punkt A{ in B{
übergeht, so konvergieren die Punkte Blf B2, B3, . . . ebenfalls und zwar
gegen denjenigen Punkt B, der durch die Halbdrehung um M aus A
entsteht.

Anhang IT: Grundlagen der Geometrie. 151

Zunächst läßt sieh gewiß ein Jordansehes Gebiet finden, innerhalb
dessen du Punktsystem 2^, i^, B3, . . . gelegen ist Davon überzeugen
wir uns durch das nämliche SehlnßTerfahren, welches in § 21 auf das
Punktsystem Zx, Z^, Z%, . . . angewandt worden ist

Wir bezeichnen nun mit B* eine Yerdiehtungsstelle der Punkte
B. . Bi. B>. . . . Auf Grund des Axioms HE muß es dann eine Bewegung
geben, welche die Punkte A, 31, B* bez. in die Punkte B*, M, A über-
fuhrt; <L h. B* gebt ans A durch die Halbdrehung um 31 herror. Da
aber aneh B ans A durch die Halbdrehung um 31 hervorgeht, so folgt
B* = B and damit ist der gewünschte Nachweis erbracht.

§26.

Es sei M die Mitte einer gewissen Strecke AB; dann wollen wir
sagen, daß jede Streckt AC, die Meiner als AB ist, ebenfalls eine
Wsn v kssH

Zu dem Zwecke ziehen wir irgend eine stetige Eurre y Ton Abis 31
and soeben za jedem Punkte 3£ dieser Eurre y den. Punkt B", so daß
31' die Mitte ron AB' wird; dam ist der Ort der Punkte B', wie wir
ans dem in § 25 bewiesenem Hflftwatre schließen, eine stetige Eurre y.
Diese Eurre y mündet gewiß in A, wenn der Punkt 31' auf der
Eurre y nach A hin läuft Denn im anderen Falle nehmen wir an, es
sei 311. 31t, 2£,, . . . eine unendliche Reihe ron Punkten auf y, die gegen

A kontei gieren, and Blf Br, B$, die entsprechenden Punkte auf der

Eurre /. Würden nun B1, Bif B.. . . . eine ron A verschiedene Ter-
dichtangssteDe J* besitzen, so entnehmen wir daraus, daß es eine Be-
wegung gibt, welche gen ist Punkte in beliebiger Nähe ron A in be-
liebiger Nähe ron A* läßt und zugleich den Punkt A in beliebige Sähe
ron A* bringt. Dann müßte also auf Grund des Axioms HI bei einer
gewissen Bewegung A festbleiben und zugleich in J* übergehen, was
-:-— '-'.-/..: l .-:

Da nun anserci *-•■-■!■■■ zufolge J.C kleiner als AB ist, so muß
der um A durch C geschlagene wahre Kreis die A mit B verbindende
stetige Surre 7' in irgend einem Punkte & treffen. Der diesem Punkte
...i.r.,l»..u Punkt Jf ' auf y ist die Mitte der wahren Strecke AB'
and da J^C = AB' ist, so findet man durch eine geeignete Drehung um A
aas JT aneh die gesuchte Mitte JF ron AC.

Da die Strecke JLC durch ihre Halbdrehung am ihre Mitte X in
die Strecke CA übergeht, so folgt aus unserem eben bewiesenen Satze:

Die Strecke AC ist stets der Strecke CA kongruent — Torausgesetzt,
daß die Strecke AC kleiner ab die bestimmte am Anfange dieses § 26 zu
Grande gelegte Strecke AB ist

152

Anhang IY: Grundlagen der Geometrie.

Zugleich erkennen wir, daß, wenn die Punkte ClfC2,Cs,... gegen
den Punkt A konvergieren, stets auch die Mitten Nlt N2, N3, . . . der
Strecken bez. AC1} AC2, ACS, . . . gegen A konvergieren.

§ 27.

Für unsere weiteren Entwicklungen haben wir einige Sätze über sich
berührende wahre Kreise nötig und zwar kommt es vor allem darauf an,
zwei zueinander kongruente Kreise zu konstruieren, die sich einander von
außen in einem und nur in einem Punkte oerühren.

Zu dem Zwecke wählen wir einen Kreis x so klein, daß innerhalb
desselben keine Strecke liegt, die der bestimmten in § 26 zu Grunde

gelegten Strecke AB
kongruent wird; der
Satz in § 20 zeigt,
daß dies gewiß mög-
lich ist, da sich
sonst die Punkte A
und B gleichzeitig
beliebig nahe an M
bewegen ließen. So-
dann sei x ein inner-
halb x liegender
Kreis um denselben
Mittelpunkt wie x .
Wir nehmen nun auf
dem Kreise x irgend
zwei Punkte an und
schlagen um diese
zueinander kongru-
ente Kreise a und ß
so klein, daß irgend zwei Punkte auf x, die innerhalb cc liegen, niemals
von irgend zwei Punkten auf x, die innerhalb ß liegen, im Sinne
der Anordnung der Punkte auf x getrennt liegen können. Außerdem
seien die Kreise cc, ß so klein gewählt, daß sie ganz innerhalb des
Kreises x liegen. Dann nehme man einen Punkt P' an, der innerhalb cc
und außerhalb x liegt, und einen Punkt R' an, der innerhalb ß und
innerhalb x liegt, und schlage dann um P' und R' zueinander kongruente
Kreise % und q so klein, daß % ganz innerhalb cc und außerhalb x und
ferner q ganz innerhalb ß und innerhalb x fällt. Nun führe man eine
Drehung um den Mittelpunkt von a aus, so daß der Kreis %' in einen
Kreis %" übergeht, der den Kreis x von außen berührt: die Berührungs-

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 153

punkte bilden ein Punktsystem, welches mit S bezeichnet werden möge.
Sodann führe man eine Drehung um den Mittelpunkt von ß aus, so daß
der Kreis q' in einen Kreis q übergeht, der den Kreis x von innen be-
rührt. Die Berührungspunkte bilden ein Punktsystem, welches mit T
bezeichnet werden möge.

Da wegen der Wahl der Kreise a, ß keine zwei Punkte des Systems S
durch ein Punktepaar des Systems T auf x getrennt werden, so ist es
gewiß möglich, durch eine Drehung der Ebene um den Mittelpunkt des
Kreises x einen der äußersten Punkte von 8 auf x mit einem der äußersten
Punkte von T auf x derartig zur Deckung zu bringen, daß die übrigen
Punkte von S in Punkte übergehen, die von den Punkten des Systems T
durchweg verschieden sind. Bei dieser Drehung gelangt der Kreis %" mit
dem Kreise q in Berührung in der Weise, daß der Punkt G, in dem das
Zusammenfallen stattfindet, der einzige Berührungspunkt wird. Wir be-
zeichnen den Kreis 7t" in seiner neuen Lage mit % und die Mittelpunkte
von % und q bez. mit P und B.

Wir wollen nun beweisen, daß der Berührungspunkt C notwendig
die Mitte zwischen den beiden Mittelpunkten P, B ist. In der Tat,
wegen unserer Wahl von x ist die Strecke PB notwendig kleiner als
die bestimmte Strecke AB und besitzt daher nach § 26 gewiß eine
Mitte; dieselbe heiße 0*. Dann geht jeder der beiden Kreise 7t, q durch
eine Halbdrehung um C* in den anderen über und daher wird aus jedem
Punkte des einen Kreises ein Punkt des andern. Da der Punkt C beiden
Kreisen 7t, q gemeinsam ist, so muß er bei einer solchen Halbdrehung
ebenfalls in einen den Kreisen %, q gemeinsamen Punkt übergehen, er
muß folglich bei dieser Halbdrehung ungeändert bleiben und stimmt mithin
notwendig mit dem Punkte C* überein, um welchen die Halbdrehung
ausgeführt wurde.

Aus dem eben bewiesenen Satze erkennen wir zugleich folgende
Tatsache :

Aus dem Kreise % entsteht durch Halbdrehung um den Punkt C auf %
der Kreis q , der % in C von außen' berührt; es gibt außer q keinen anderen
Kreis, der mit dem Kreise % kongruent ist und ihn im Punkte C und nur
in diesem einen Punkte von außen berührt.

§ 28.

Ferner gilt der Satz:

Wenn irgend ein Kreis v von dem Kreise 7t umschlossen und berührt
wird, so findet diese Berührung nur in einem Punkte statt.

Zum Beweise nehmen wir an, es seien Q, Q' zwei voneinander ver-
schiedene Berührungspuukte der Kreise t und %. Dann führen wir eine

154

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

Halbdrehung um Q' aus; durch diese geht % in einen Kreis %' über,
der % nur im Punkte Q' berührt, und i geht in einen Kreis i über, der

innerhalb ri und daher gewiß ganz außerhalb %
verläuft, beide Kreise n, % nur in Q' berüh-
rend. Führen wir jetzt diejenige Drehung
um den Mittelpunkt des Kreises % aus, durch
welche Q in Q' übergeht, so entsteht aus i
ein Kreis i", welcher ganz innerhalb it und
daher gewiß auch außerhalb i liegt, diesen
nur in Q' berührend Damit haben wir
zwei Kreise i, i", die beide den kongruenten
Kreis li in Q' und nur in diesem Punkte von
außen berühren, und dieser Umstand wider-
spricht dem Satze in § 27.
Die in § 27 und § 28 gefundenen Tatsachen bleiben gültig, wenn
wir statt %} q kleinere Kreise nehmen.

§ 29.
Es sei P der Mittelpunkt des in § 27 konstruierten Kreises % und Q
ein Punkt auf %, ferner sei 0 ein beliebiger Punkt. Dann können wir
unter Heranziehung der Bemerkung am Schluß von § 26 und wie in § 27
auf Grund des Satzes in § 20 gewiß einen Punkt E in solcher Nähe
von 0 angeben, daß innerhalb des Kreises l, der um die Mitte M der
Strecke OE durch 0 und E gelegt wird, keine zu PQ kongruente Strecke
existiert und das gleiche auch für jeden Punkt E' und den entsprechenden
Kreis t gilt, wenn E' noch näher als E an dem Punkte 0 gelegen ist.
Alsdann gilt der Satz:

Der um die Mitte M {bez. M') von OE (bez. OE') durch 0 gelegte
Kreis i (bez. t) wird von dem Kreise um 0 durch E (bez. E') ganz um-
schlossen und nur in E (bez. E') berührt.

Zum Beweise konstruieren wir zunächst
denjenigen Kreis co um 0, der den Kreis i
umschließt und zugleich berührt. Dieser Kreis co
ist notwendig kleiner als der Kreis ?r; denn
im anderen Falle würde der um 0 gelegte
zu 7t kongruente Kreis ins Innere des Kreises i
eintreten und dann müßte innerhalb i eine zu
PQ kongruente Strecke existieren, was nicht
der Fall sein sollte. Nach dem in § 28 bewiesenen
Satze kann dieser Kreis co mit i nur einen Berührungspunkt haben; derselbe
sei Ev Wäre nun 22, verschieden von E, so führe man um M diejenige

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 155

Drehung aus, durch welche E1 nach 0 gelangt; bei dieser Drehung ge-
langt dann 0 in einen Punkt E2 des Kreises i, der von E1 verschieden
sein müßte. Da die Strecke OE1 der Strecke E20 und also auch OE%
kongruent wird, so müßte E2 ebenfalls ein Punkt des Kreises a sein,
dies widerspräche dem Umstände, daß E± der einzige den Kreisen co und i
gemeinsame Punkt sein sollte; d. h. der Kreis to läuft durch E und
damit ist unsere Behauptung bewiesen.

§ 30.

Bei den folgenden Entwicklungen legen wir die zu Beginn des § 29
konstruierte Strecke OE zu Grunde und erteilen den Punkten 0, E die
Zahlenwerte 0 bez. 1; sodann konstruieren wir die Mitte von OE und
erteilen dieser Mitte den Zahlenwert \, ferner erteilen wir den Mitten
der Strecken (0, \) bez. (£, 1) die Werte \ bez. £ und dann den Mitten
der Strecke (0, \) bez. (*,*), % £), (f , 1) die Werte | bez. |, f, f;
und so fort. Ferner führen wir mit der ganzen Strecke (0, 1) um den
Punkt 0 eine Halbdrehung aus und erteilen allgemein demjenigen Punkte,
der aus dem zur Zahl a gehörigen Punkte hervorgeht, den Zahlen-
wert — a; sodann führen wir um den Punkt 1 eine Halbdrehung aus
und erteilen allgemein demjenigen Punkte, der aus dem zur Zahl a ge-
hörigen Punkte hervorgeht, den Zahlenwert 2 — a und so fort denken
wir uns abwechselnd Halbdrehungen um 0 und um E ausgeführt und
die neu entstehenden Punkte entsprechend benannt, bis schließlich jede
Zahl a einem bestimmten Punkte zugeordnet erscheint, wenn a eine
rationale Zahl bedeutet, deren Nenner eine Potenz von 2 ist.

§ 31.

Wir erkennen durch diese Zuordnung leicht folgendes Gesetz:
Durch eine Halbdrehung um den zur Zahl a gehörigen Punkt geht
jeder Punkt X in den Punkt 2 a — x über. Wenn wir mithin erst eine
Halbdrehung um den Punkt 0 = 0 und dann eine solche um den Punkt a
ausführen, so wird jeder Punkt x in den Punkt x -\- 2 a verwandelt.

§ 32.

Um die Punkte, denen Zahlen zugehören, untereinander anzuordnen
und die von ihnen begrenzten Strecken miteinander zu vergleichen, be-
nutzen wir den in § 29 aufgestellten Satz über sich berührende Kreise
in folgender Weise:

Der Kreis um den Punkt 0 durch den Punkt £ umschließt ganz den
Kreis um \ durch £, und da dieser die Kreise um •£ durch f = \ und

156

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

um | durch £ = \ umschließt, die letzteren wiederum die Kreise um ~
durch ^ = |, um x| durch ^ = i, um x| durch jf = f, um ^ durch

i| = 4-, u. s. f., so erkennen wir,
daß die Strecke (0, |-) größer
als alle Strecken (0, a) ist, wenn
a eine positive rationale Zahl
bedeutet, deren Nenner eine Po-
tenz von 2 ist und deren Wert
unterhalb £ liegt.

Ferner umschließt der Kreis
um 0 durch \ den Kreis um £
durch | == \- Der zweite um-
schlossene Kreis umschließt seiner-
seits die Kreise um ~ durch
-Xg und um -^ durch ~, diese
umschließen wiederum die klei-
neren Kreise um ä|, g| bez. 3|, ^ u. s. f.; daraus erkennen wir, daß die
Strecke (0, \) größer ist als alle Strecken (0, a), wenn a eine positive
rationale Zahl bedeutet, deren Nenner eine Potenz von 2 ist und deren
Wert unterhalb \ liegt.

Weiter betrachten wir den Kreis um 0 durch £; derselbe umschließt
den Kreis um ~ durch j| = £ und dieser wiederum umschließt die kleineren
Kreise um gj durch g| u. s. f.; daraus erkennen wir, daß die Strecke (0, ^)
größer als alle Strecken (0, a) ist, wenn a eine positive rationale Zahl
bedeutet, deren Nenner eine Potenz von 2 ist und deren Wert unter-
halb -J liegt. Durch Fortsetzung dieses Schlußverfahrens finden wir das
allgemeine Resultat:

Ist a eine positive rationale Zahl, deren Nenner eine Potenz von 2 ist
und deren Wert unterhalb — liegt, so ist die Strecke (0, a) stets Meiner

als die Strecke

(o, £)

§ 33.

Nunmehr sind wir im stände, der Reihe nach folgende Hilfssätze
zu beweisen:

Die Punkte, die den Zahlen \, \, \, x| . . . entsprechen, konvergieren
gegen den Punkt 0.

Denn im entgegengesetzten Falle müßten, da die Strecken (0, ^),
(9) i)> (0> i); (0; a)j • • • beständig kleiner werden, die Punkte -£, \, \t ^, . . .
ihre Verdichtungsstellen auf einem bestimmten wahren Kreise x um den

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 157

Punkt 0 haben. Es sei etwa -=-,-=->—,••• eine Reihe von Punkten, die

2ni 2^ 2 J

gegen einen Punkt K auf k konvergieren: dann mögen die Puukte

2«i + i ' 2"1 + i ' 2Wa + * '
im Punkte ÜT* eine Verdichtungsstelle haben. Aus dem Satze im § 25
geht hervor, daß dann K* die Mitte der Strecke OK sein müßte; dies
widerspricht unter Hinzuziehung der am Schlüsse von § 21 gefundenen
Tatsache dem Umstände, daß K* ebenfalls auf dem Kreise x liegt.

§ 34.

Es mögen at, a2, as, . . . positive rationale Zahlen bedeuten, deren Nenner
Potenzen von 2 sind. Wenn dann die unendliche Zahlenreihe alfa2,a3, . . .
gegen 0 konvergiert, so konvergiert auch die diesen Zahlen entsprechende
Punktreihe gegen den Punkt 0.

Zum Beweise wählen wir die ganzen Exponenten n1} w2, n3) . . .
derart, daß

1 2 l 2^ 2n3

wird, und die Reihe — , —, — ,• • • ebenfalls gegen 0 konvergiert. Da
zufolge des Satzes in § 32 allgemein der Punkt a{ innerhalb des Kreises
um 0 durch — liegt und nach dem in § 33 bewiesenen Hilfssatze die

Kreise um 0 durch — , — , — , • • • gegen 0 konvergieren, so folgt sofort
auch die zu beweisende Behauptung.

§ 35.

Endlich gilt der folgende Satz:

Es seien ax, a2, a3) . . . eine unendliche Reihe von rationalen Zahlen,
deren Nenner Potenzen von 2 sind und die gegen irgend eine reelle Zahl a
konvergieren: dann konvergieren die entsprechenden Punkte a1} «2, a3, . . .
ebenfalls gegen einen bestimmten Punkt.

Zum Beweise nehmen wir das Gegenteil an: es seien etwa V und V"
zwei voneinander verschiedene Verdichtungsstellen der Punkte at, a2, a3, . . .
und zwar mögen die Punkte av, av, a3,, . . . gegen V und av,, a%„, a3„, . . .
gegen V" konvergieren. Nach den Bemerkungen in § 31 gibt es für
jeden Punkt ak eine aus zwei Halbdrehungen zusammengesetzte Be-
wegung, die allgemein den Punkt a{, in den Punkt a{. — ak und zugleich
den Punkt ai„ in den Punkt a{„ — ak überführt, und da sowohl die Zahlen-

158 Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

werte av — ak als auch die Zahlenwerte a^, — ak mit wachsenden Indices
beliebig nahe an 0 kommen, so erkennen wir mit Rücksicht auf den Satz
in § 34, daß es Bewegungen gibt, die einen Punkt in beliebiger Nähe
von V und zugleich einen Punkt in beliebiger Nähe von V" in beliebige
Nähe des Punktes 0 bringen. Dies ist im Hinblick auf Axiom III einer
oft angewandten Schlußweise zufolge nicht möglich.

§ 36.

Erteilen wir nun dem Punkte, gegen den die Punkte a1} a2, a3, . . .
konvergieren, den Zahlen wert a, so ist damit überhaupt jedem reellen
Zahlenwerte ein bestimmter Punkt unserer Ebene zugeordnet; wir nennen
das System aller dieser Punkte eine wahre Gerade, so daß also unter dieser
wahren Geraden dasjenige System von Punkten verstanden wird, die aus den
Punkten 0, E entstehen, wenn man fortgesetzt die Mitten nimmt, Halb-
drehungen ausführt und die Häufungsstellen aller erhaltenen Punkte hinzu-
fügt. Sämtliche durch Bewegung aus dieser wahren Geraden entstellenden
Punktsysteme heißen wiederum wahre Gerade. Die wahre Gerade zerfällt
von jedem ihrer Punkte aus in zwei Halbgerade.

§ 37.

Mit Benutzung des Hilfssatzes in § 25 erkennen wir leicht, daß bei
der Halbdrehung um einen beliebigen Punkt a unserer wahren Geraden
allgemein der Punkt x in den Punkt 2a — x übergeht; bei der Aus-
führung zweier Halbdrehungen um die Punkte 0 und a geht also all-
gemein x in x -\- 2 a über.

Aus dem Satze in § 35 folgern wir leicht, daß auch dann, wenn
ait a2, a3, . . . beliebige gegen a konvergente Zahlen sind, die entsprechen-
den Punkte ax,a2,a3, . . . stets gegen den entsprechenden Punkt a kon-
vergieren; d. h. die wahre Gerade ist eine stetige Kurve.

§ 38.

Versuchen wir die Annahme, daß es zwei Zahlenwerte a und b gäbe,
die auf der wahren Geraden den nämlichen Punkt P der Ebene darstellen.

Der Punkt a~t ist die Mitte der Strecke («,&); derselbe müßte daher
mit dem Punkte P übereinstimmen. Das gleiche müßte dann von den
Mitten den Strecken (a, a"Z~ J und V~Z, f b) d. h. den Punkten — ^-
und — ^j — gelten. Indem wir fortgesetzt die Mitten nehmen, erkennen
wir, daß sämtliche Punkte — — - — — , wo An) Bn positive ganze Zahlen

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 159

mit der Summe 2n bedeuten, mit P identisch sein müßten, und hieraus
folgt nach § 37, daß überhaupt allen zwischen a und b gelegenen reellen
Zahlen der nämliche Punkt P der Geraden entsprechen müßte. Dieser
Widerspruch zeigt, daß die wahre Gerade keinen Doppelpunkt besitzt.
Ebenso erkennen wir, daß die wahre Gerade nicht in sich selbst zurück-
laufen kann.

§ 39.

Zwei Gerade haben höchstens einen Punkt gemein.

In der Tat, hätten sie die zwei Punkte A und B gemein und ent-
sprächen diesen Punkten auf der einen Geraden die Zahlenwerte a, b und
auf der andern Geraden die Zahlenwerte a, b', so müßten nach § 24 auch

die Mitten — — und — y— miteinander übereinstimmen. Indem wir fort-
gesetzt wie in § 38 die Mitten nehmen, schließen wir in ähnlicher Weise,
daß sämtliche zwischen a und b bez. a und b' gelegenen Punkte auf
beiden Geraden und mithin diese Geraden selbst miteinander identisch sind.

§ 40.

Unsere wahre Gerade schneidet jeden um einen ihrer Punkte, etwa um
den Punkt 0 gelegten Kreis.

In der Tat, bei der entgegengesetzten Annahme sind nur zwei Fälle
möglich: entweder es gibt einen bestimmten Kreis x um den Punkt 0,
der von der wahren Geraden g noch getroffen wird, während die den
Kreis x umschließenden Kreise um 0 von g nicht mehr getroffen werden;
oder es gibt einen bestimmten Kreis x, der von g nicht getroffen wird,
während alle innerhalb x verlaufenden Kreise um den Punkt 0 von g
getroffen werden.

Da die Gerade g ihrer Konstruktion gemäß über jeden ihrer Punkte
hinaus stets fortgesetzt werden kann und, wie in § 38 gezeigt worden ist,
keinen Doppelpunkt besitzen darf, so müßte es im ersteren Falle gewiß
einen innerhalb x verlaufenden Kreis um den Punkt 0 geben, den sie auf
derselben Seite von 0 an zwei Stellen A, B träfe, wobei B auf der Fort-
setzung von g hinter A und genügend nahe an A innerhalb x zu nehmen
ist. Führt man nun eine Drehung um den Punkt 0 aus, durch welche A
in B übergeht, so würde dabei unsere Gerade g in eine andere übergehen,
welche g außer in 0 noch in B schnitte; dies ist dem in § 39 be-
wiesenen Satze zufolge unmöglich.

Im zweiten Falle bezeichne K einen Punkt des Kreises x, in dessen
beliebige Nähe die wahre Gerade g gelangt. Man schlage dann um K
einen wahren Kreis jr*, der kleiner als x ist und g etwa im Punkte M
treffe. Sodann schlage man um M einen Kreis %, der größer als tc* und

160 Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.

kleiner als % ist. Dieser Kreis n enthält, da er größer als n* ist, den
Punkt K im Inneren, und da er kleiner als % ist, so ergibt unsere An-
nahme in Verbindung mit dem vorhin Bewiesenen, daß die durch M
gehende Gerade g stetig innerhalb % verläuft, nach der einen oder anderen
Richtung hin verlängert je durch einen Punkt auf % aus dem Kreise it
heraustritt und dann nicht mehr in den Kreis tc zurückläuft. Da die
Gerade g andererseits dem innerhalb % gelegenen Punkte K beliebig nahe
kommen soll, so enthält sie notwendig den Punkt K selbst; hierin liegt
ein Widerspruch mit unserer gegenwärtigen Annahme.

Da das System aller Kreise um einen Punkt die ganze Ebene
lückenlos bedeckt, so folgt zugleich aus dem vorigen, daß irgend zwei
Punkte in unserer ebenen Geometrie stets durch eine wahre Gerade ver-
bunden werden können.

§ 41.

Wir haben nun zu zeigen, daß die Kongruenzaxiome in unserer ebenen
Geometrie gültig sind.

Zu dem Zwecke wählen wir einen bestimmten wahren Kreis x aus
und führen für die Punkte desselben nach § 18 die Parameterdarstellung
durch den Winkel o ein: dann wird, wenn a die Werte 0 bis 2ic erhält,
der wahre Kreis in einem bestimmten Sinne durchlaufen. Aus dieser
Einführung folgt für jeden anderen mit % kongruenten Kreis ebenfalls
ein bestimmter Umlaufssinn, nämlich derjenige, der sich ergibt, wenn
wir den Mittelpunkt des Kreises ?c nach § 22 durch zwei hintereinander
angewandte Drehungen mit dem Mittelpunkt des vorgelegten Kreises zur
Deckung bringen. Da es im Hinblick auf den zu Anfang dieser Ab-
handlung definierten Begriff der Bewegung nicht möglich ist, den ur-
sprünglichen Kreis n mit sich selbst im umgekehrten Umlaufssinn zur
Deckung zu bringen, so existiert in der Tat für jeden Kreis ein be-
stimmter Umlaufssinn.

Jetzt nehmen wir zwei von einem Punkte M ausgehende Halbgeraden,
die nicht beide zusammen eine wahre Gerade ausmachen, schlagen um M
einen zu % kongruenten Kreis und fixieren dasjenige von den Halbgeraden
ausgeschnittene Stück dieses Kreises, welches einem unterhalb der Zahl %
liegenden Parameterintervall entspricht. Der festgesetzte Umlaufssinn führt
dann innerhalb des fixierten Kreisbogenstückes von einer der beiden Halb-
geraden zu der anderen Halbgeraden: wir bezeichnen die erstere Halb-
geraden als den rechten, die letztere Halbgerade als den linken Schenkel
des Winkels zwischen beiden Halbgeraden, während das Parameterintervall
(< ■£) selbst das Maß für diesen Winkel abgibt. Aus unserem Begriffe

Anhang IV: Grundlagen der Geometrie. 161

der Bewegung folgt dann der erste Kongruenzsatz für zwei Dreiecke in
folgender Gestalt:

Wenn für zwei Dreiecke ABC und ÄB'C die Kongruenzen
AB = ÄB\ AC = ÄCr, ^LBAC = ^B'ÄCr
gelten, ivenn ferner AB bez. AB' die rechten, AC bez. A'C die linken
Schenkel der Winkel BAC bez. B'ÄC sind, so gelten stets auch die
Kongruenzen

^ABG = ^A'B'C' und ^AGB = ^iÄC'B'}
BC^B'C.

§ 42.

Nachdem in §§ 30 — 40 die wahre Gerade definiert und ihre Eigen-
schaften abgeleitet worden sind, haben wir zwei Fälle zu unterscheiden:

Erstens nehmen wir an, daß es durch einen Punkt nur eine Gerade
gibt, die eine gegebene Gerade nicht schneidet (Parallelenaxiom). Für
unsere Ebene gelten dann die sämtlichen ebenen Axiome, die ich in
meiner Festschrift über die Grundlagen der Geometrie (Kap. I) aufgestellt
habe, nur daß das Kongruenzaxiom IV, 6 dort in der yorhin in § 41
aufgestellten engeren Fassung zu nehmen ist. Auch bei dieser engeren
Fassung des letzten Kongruenzaxioms folgt mit Notwendigkeit die
Euklidische ebene Geometrie (vgl. Anhang II S. 92 — S. 95).

Zweitens nehmen wir an, daß es durch jeden Punkt A zwei Halb-
gerade gibt, die nicht zusammen ein und dieselbe Gerade ausmachen,
und die eine gegebene Gerade g nicht schneiden, während jede in dem
durch sie gebildeten Winkelraum gelegene von A ausgehende Halbgerade
die Gerade g schneidet; dabei liege A außerhalb g.

Mit Hilfe der Stetigkeit folgt dann leicht, daß auch umgekehrt zu
irgend zwei von einem Punkte A ausgehenden Halbgeraden, die nicht zu-
sammen ein und dieselbe Gerade ausmachen, stets eine bestimmte Gerade g
gehört, die jene beiden Halbgeraden nicht schneidet, dagegen von jeder
anderen Halbgeraden getroffen wird, die von A ausgeht und in dem
Winkelraum zwischen den beiden gegebenen Halbgeraden verläuft. Unter
diesen Umständen folgt dann die Bolyai-Lobatschefskysche ebene Geo-
metrie, auch wenn wir das Kongruenzaxiom IV, 6 in der vorhin auf-
gestellten engeren Fassung zu Grunde legen, wie sich dies mit Hilfe
meiner „Enden"- Rechnung1) zeigen läßt.

1) Vgl. meine Abhandlung: Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen
Geometrie, Anhang ÖL Das dort eingeschlagene Beweisverfahren ist für den gegen-
wärtigen Zweck in geeigneter Weise abzuändern, so daß die Stetigkeit herangezogen,
dagegen die Anwendung des Satzes von der Gleichheit der Basiswinkel im gleich-

Hilbert, Grundlagen der Geometrie. 11

162 Anhang V: Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung.

Zum Schlüsse möchte ich auf den charakteristischen Unterschied hin-
weisen, der uns entgegentritt, wenn wir die vorstehende Begründung der
Geometrie mit derjenigen vergleichen, die ich in meiner Festschrift „Grund-
lagen der Geometrie" zu geben versucht habe. In dieser Festschrift ist
eine solche Anordnung der Axiome befolgt worden, wobei die Stetigkeit
hinter allen übrigen Axiomen an letzter Stelle gefordert wird, so daß
dann naturgemäß die Frage in den Vordergrund tritt, inwieweit die be-
kannten Sätze und Schlußweisen der elementaren Geometrie von der
Forderung der Stetigkeit unabhängig sind. In der vorstehenden Unter-
suchung dagegen wird die Stetigkeit vor allen übrigen Axiomen an erster
Stelle durch die Definition der Ebene und der Bewegung gefordert, so daß
hier vielmehr die wichtigste Aufgabe darin bestand, das geringste Maß
von Forderungen zu ermitteln, um aus demselben unter weitester Be-
nutzung der Stetigkeit die elementaren Gebilde der Geometrie (Kreis und
Gerade) und ihre zum Aufbau der Geometrie notwendigen Eigenschaften
gewinnen zu können. In der Tat hat die vorstehende Untersuchung ge-
zeigt, daß hierzu die in den obigen Axiomen I — III ausgesprochenen
Forderungen hinreichend sind.

Göttingen, den 10. Mai 1902.

Anhang V.
Über Flächen von konstanter Granßscher Krümmung1).

Über Flächen von negativer konstanter Krümmung.

Nach Beltrami2) verwirklicht eine Fläche von negativer konstanter
Krümmung ein Stück einer L ob atschefsky sehen (Nicht- Euklidischen)
Ebene, wenn man als Geraden der Lob atschefsky sehen Ebene die geodä-
tischen Linien der Fläche von konstanter Krümmung betrachtet und als
Längen und Winkel in der Lobatschefskyschen Ebene die wirklichen
Längen und Winkel auf der Fläche nimmt. Unter den bisher unter-
suchten Flächen negativer konstanter Krümmung finden wir keine, die
sich stetig und mit stetiger Änderung ihrer Tangentialebene in der Um-
gebung jeder Stelle überallhin ausdehnt; vielmehr besitzen die bekannten

schenkligen Dreiecke vermieden wird. Um die Sätze über die Addition der Enden
(S. 115 — S. 117) zu gewinnen, betrachten wir die Addition als Grenzfall einer Drehung
der Ebene, wenn der Drehpunkt auf einer Geraden ins Unendliche rückt.

1) Presented to the Society, October 27, 1900. Received for publication
October 9, 1900.

2) Giornale di Matematiche, Bd. 6, 1868.

Anhang V: Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung. 163

Flächen negativer konstanter Krümmung singulare Linien, über die hinaus
eine stetige Fortsetzung mit stetiger Änderung der Tangentialebene nicht
möglich ist. Aus diesem Grunde gelingt es mittels keiner der bisher
bekannten Flächen negativer konstanter Krümmung, die ganze Loba-
tschefskysche Ebene zu verwirklichen, und es erscheint uns die Frage
von prinzipiellem Interesse, ob die ganze Lobatschefskysche Ebene
überhaupt nicht durch eine analytische1) Fläche negativer konstanter Krüm-
mung auf die Beltramische Weise zur Darstellung gebracht werden kann.

Um diese Frage zu beantworten, gehen wir von der Annahme einer
analytischen Fläche der negativen konstanten Krümmung — 1 aus, die
im Endlichen überall sich regulär verhält und keine singulären Stellen
aufweist; wir werden dann zeigen, daß diese Annahme auf einen Wider-
spruch führt. Eine solche Fläche, wie wir sie annehmen wollen, ist durch
folgende Aussagen vollständig charakterisiert:

Jede im Endlichen gelegene Verdichtungsstelle von Punkten
der Fläche ist ebenfalls ein Punkt der Fläche.

Bedeutet 0 irgend einen Punkt der Fläche, so ist es stets
möglich, die rechtwinkligen Koordinatenaxen x,y,z so zu legen,
daß 0 der Anfangspunkt des Koordinatensystems wird und die
Gleichung der Fläche in der Umgebung dieses Punktes 0 wie
folgt lautet:

(1) 8 - ax2 + by2 + ^ (x, y),

wo die Konstanten a, b die Relation

4a&— 1
befriedigen und die Potenzreihe ^ (x, y) nur Glieder dritter
oder höherer Dimension in x, y enthält. Offenbar ist dann die
0-Achse die Normale der Fläche und die x- und «/-Achse geben
die Richtungen an, die durch die Hauptkrümmungen der Fläche
bestimmt sind.

Die Gleichung

ax2 -f by2 = 0

bestimmt die beiden Haupttangenten der Fläche durch den Punkt 0 in
der xy- Ebene; dieselben sind daher stets voneinander getrennt und geben

1) Der leichteren Ausdrucksweise wegen setze ich hier für die zu betrachtende
Fläche analytischen Charakter voraus, obwohl die Beweisführung und das erlangte
Resultat (vgl. S. 172) gültig bleiben, wenn in Gleichung (1) ^(x,y) eine genügend
oft differentierbare nicht analytische Funktion von x,y bedeutet. Daß es tatsächlich
reguläre und nicht analytische Flächen von konstanter negativer Krümmung gibt, hat
auf meine Anregung hin G. Lütkemeyer in seiner Inauguraldissertation: Über den
analytischen Charakter der Integrale von partiellen Differentialgleichungen, Göttingen
1902, bewiesen.

11*

164

Anhang V: Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung.

die Richtungen an, in denen die beiden Asymptotenkurven der Fläche
durch den beliebigen Punkt 0 verlaufen. Jede dieser Asymptotenkurven
gehört einer einfachen Schar von Asymptotenkurven an, die die ganze
Umgebung des Punktes 0 auf der Fläche regulär und lückenlos über-
decken. Verstehen wir daher unter u, v genügend kleine Werte, so können
wir gewiß folgende Konstruktion ausführen. Wir tragen auf einer der
beiden durch 0 gehenden Asymptotenkurven den Parameterwert u von 0
als Länge ab, ziehen durch den erhaltenen Endpunkt die andere mögliche
Asymptotenkurve und tragen auf dieser den Parameterwert v als Länge ab:
der nun erhaltene Endpunkt ist ein Punkt der Fläche, der durch die
Parameterwerte u, v eindeutig bestimmt ist. Fassen wir demgemäß die
rechtwinkligen Koordinaten x, y, z der Fläche als Funktionen von u, v
auf, indem wir setzen:

(1) x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v),

so sind diese jedenfalls für genügend kleine Werte von u, v reguläre
analytische Funktionen von u, v.

Die bekannte Theorie der Flächen von der konstanten Krümmung — 1
liefert uns ferner die folgenden Tatsachen:

Bedeutet <p den Winkel zwischen den beiden Asymptotenkurven durch

den Punkt u, v, so erhalten die drei Fundamentalgrößen der Fläche

die Werte: ,~ ,, /0 . , ,*-,

'dx\* , fdy\ , /dzy

r dx_dx dy dy . dz dz

' du dv du ov dudv

COS €p

fiy

dz'

f-tö>-®+®-i

und mithin wird das Quadrat der Ableitung der Bogenlänge einer be-
liebigen Kurve auf der Fläche nach einem
Parameter t von der Form:

(2) y ={dd+2cos<pdi-dt-+{di) •

Der Winkel <p genügt als Funktion von u, v
der partiellen Differentialgleichung

(3) iürt, = *m<P

dudv
Die Formeln (2) und (3) beweisen den bekannten Satz:1)

1) Dini, Annali di Mathematica, Bd. 4, 1870, S. 175. Darboux, Lecons sur la
theorie generale des surfaces, Bd. 3, Nr. 773. Bianchi, Lezioni di geometria dif-
ferenziale, § 67.

Anhang V: Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung. 165

In jedem Vierecke, das von vier Asymptotenkurven unserer
Fläche gebildet wird, sind die gegenüberliegenden Bogen ein-
ander gleich.
Die Formel (3) gestattet die Berechnung des Flächeninhaltes eines
von Asymptotenkurven gebildeten Viereckes mittels seiner Winkel;
Darboux1) ist auf diesem Wege zu dem folgenden Satze gelangt:

Der Flächeninhalt eines aus Asymptotenkurven gebildeten
Viereckes auf unserer Fläche ist gleich der Summe der Winkel
des Viereckes vermindert um 2jr.
Die Formeln (1) liefern eine Parameterdarstellung unserer Fläche,
bei welcher die Koordinatenlinien

u = const . , v — ■ const .

die Asymptotenkurven sind. Nach den obigen Ausführungen erweisen
sich die rechtwinkligen Koordinaten x, y, z gewiß für genügend kleine
Werte von u, v als umkehrbar eindeutige Funktionen der Variabein u, v
d. h. die Formeln (1) vermitteln jedenfalls die umkehrbar eindeutige Ab-
bildung eines Stückes der wv-Ebene in der Umgebung des Punktes u = 0,
i) = 0 auf ein Stück unserer Fläche in der Umgebung des Punktes 0.
Unsere Aufgabe besteht darin, die gesamte Abbildung der uv- Ebene auf
unsere Fläche zu untersuchen, welche durch die analytische Fortsetzung
der Formeln (1) erhalten wird.

Fassen wir irgend eine Asymptotenkurve unserer Fläche ins Auge,
so erkennen wir sofort, daß dieselbe im Endlichen keinen singulären
Punkt haben und daher auch nirgends aufhören darf; denn bei Amiahme
einer solchen singulären Stelle könnten wir in dieselbe den Punkt 0 ver-
legen und dies gäbe einen Widerspruch mit unseren früheren Aus-
führungen, wonach durch 0 stets zwei reguläre Asymptotenkurven hin-
durchlaufen und eine genügend kleine Umgebung des Punktes 0 auf
unserer Fläche durch regulär verlaufende Asymptotenkurven lückenlos
erfüllt wird.

Aus diesem Umstände entnehmen wir die analytische Tatsache, daß
die Funktionen x, y, z für alle rellen u, v eindeutig und unbegrenzt fort-
setzbar sind. Um dies sicher zu erkennen, tragen wir vom Punkte 0
aus auf der Asymptotenkurve v = 0 die Länge u nach der einen oder
anderen Richtung, jenachdem u positiv oder negativ ist, ab, ziehen
durch den erhaltenen Endpunkt die andere Asymptotenkurve, tragen dann
auf dieser die Länge v nach der einen oder anderen Richtung hin, je-

1) loc. cit., Bd. 3, Nr. 773.

166 Anhang V: Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung.

nachdem v positiv oder negativ ausfällt, ab und erteilen endlich dem so
erhaltenen Endpunkte, der die rechtwinkligen Koordinaten x, yy g haben
möge, die Parameterwerte u, v. Auf diese Weise ist jedem Punkte der
uv- Ebene jedenfalls ein bestimmter Punkt unserer Fläche zugeordnet
und die Funktionen x,y,z, die diese Zuordnung vermitteln, sind ein-
deutige für alle reellen Variabein u, v definierte und reguläre analytische
Funktionen.

Auch zeigt sich sofort, daß umgekehrt jedem Punkte unserer Fläche
mindestens ein Wertepaar u, v entspricht. Um dies einzusehen, bezeichnen
wir diejenigen Punkte, deren Koordinaten durch Funktionswerte

x (u, v), y(u,v), z(u,v)

dargestellt werden, mit P, dagegen die Punkte der Fläche, die durch
unsere Abbildung nicht betroffen werden, mit Q. Würden nun im
Endlichen ein oder mehrere Punkte Q vorhanden sein, so müßte es gewiß
mindestens einen Punkt A auf der Fläche geben, in dessen beliebiger
Nähe sowohl Punkte P als auch Punkte Q gelegen sind.

Nach den früheren Ausführungen existieren nun für die Umgebung
des Punktes A zwei Scharen von Asymptotenkurven, deren jede diese
Umgebung einfach und lückenlos überdeckt. Unter diesen Asymptoten-
kurven muß notwendig mindestens eine solche vorhanden sein, die sowohl
einen Punkt P als auch einen Punkt Q enthält. In der Tat, fassen wir
eine der beiden durch A hindurchgehenden Asymptotenkurven ins Auge
und nehmen wir an, dieselbe bestände aus lauter Punkten P (bez. Q),
so würden die Asymptotenkurven derjenigen Schar, zu welcher jene erstere
Asymptotenkurve nicht gehört, mindestens je einen Punkt P (bez. Q)
nämlich den Schnittpunkt mit der ersteren Asymptotenkurve enthalten.
Die sämtlichen Kurven dieser Schar können aber gewiß nicht aus lauter
Punkten P (bez. Q) bestehen, da sonst die ganze Umgebung von A nur
Punkte P (bez. Q) enthielte.

Es sei nun l die Länge eines Stückes einer Asymptotenkurve, deren
Anfangspunkt ein Punkt P und deren Endpunkt ein Punkt Q sein möge.
Fassen wir die beiden durch den Anfangspunkt P laufenden Asymptoten-
kurven der Fläche ins Auge, so ist jenes Stück von der Länge l not-
wendig die Fortsetzung einer dieser beiden Asymptotenkurven, und wenn
daher u, v die Koordinaten des Anfangspunktes P sind, so wird der
Endpunkt jenes Kurvenstückes entweder durch die Parameterwerte u + l, v
oder u,v + 1 dargestellt — entgegen unserer Annahme, derzufolge der
Endpunkt Q nicht durch die Formeln (1) darstellbar sein sollte.

Damit ist bewiesen worden, daß durch die Formeln (1) die ganze Fläche
zur Darstellung gebracht wird, wenn u, v alle reellen Zahlenwerte durchläuft.

Anhang V: Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung. 167

Endlich ist es für unsere Untersuchung notwendig, einzusehen, daß
die Formeln (1) jeden Punkt der Fläche nur durch ein Wertepaar u, v
darstellen, d. h. daß die gefundene Abbildung unserer Fläche auf
die uv -Ebene nicht bloß für genügend kleine Gebiete, sondern im ganzen
genommen eine umkehrbar-eindeutige sein muß.

Wir beweisen zu dem Zwecke der Reihe nach folgende Sätze:

1. Es gibt auf unserer Fläche Iceine geschlossene, d. h. in sich zurück-
kehrende Asymptotenkurve.

Zum Beweise nehmen wir im Gegenteil an, es sei eine solche
Asymptotenkurve auf unserer Fläche vorhanden. Wir konstruieren durch
jeden Punkt derselben die andere Asymptotenkurve und tragen auf diesen
Kurven stets ein Stück s nach derselben
Seite ab. Die erhaltenen Endpunkte
werden dann entweder eine in sich zu-
rücklaufende Asymptotenkurve bilden,
oder die Endpunkte des Stückes s be-
schreiben erst nach zweimaligem Durch-
laufen der Grundkurve eine in sich zu-
rückkehrende Asymptotenkurve — ein
Fall, der eintreten könnte, wenn unsere Fläche eine sogenannte Doppel-
fläche wäre. Fassen wir nun eine derjenigen Asymptotenkurven von der
Länge s ins Auge, die uns vorhin zur Konstruktion der neuen geschlossenen
Asymptotenkurve dienten, so bildet dieselbe doppelt gerechnet zusammen
mit den beiden geschlossenen Asymptotenkurven ein Asymptotenviereck,
dessen Winkelsumme offenbar genau gleich 2x ist. Diese Tatsache aber
steht im Widerspruch zu dem vorhin angeführten Satze^ wonach der
Inhalt eines Asymptotenkurvenvierecks stets gleich dem Überschuß der
Summe seiner Winkel über 2n ist und dieser Überschuß daher notwendig
positiv sein muß.

2. Irgend zwei durch einen Punkt gehende Asymptotenkurven schneiden
sich in keinem anderen Punkte unserer Fläche.

Wir denken uns eine Asymptotenkurve a nach beiden Richtungen
hin ins Unendliche verlängert und dann durch einen Punkt P0 derselben
nach einer Seite die andere Asymptotenkurve b gezogen. Nehmen wir
dann im Gegensatz zu unserer Behauptung an, daß diese Asymptoten-
kurve b die ursprüngliche a zum erstenmal im Punkt Pt schnitte, so
sind die folgenden zwei Fälle denkbar:

Fastens: die Asymptotenkurve b könnte so verlaufen, daß sie in Px
von derselben Seite der Asymptotenkurve a her eintritt, als sie dieselbe

verlassen hat;

Zweitens: die Asymptotenkurve b könnte derart verlaufen, daß sie

168 Anhang V: Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung.

von der anderen Seite der ursprünglichen Asymptotenkurve a herkommt
und mithin nach Verlassen des Schnittpunktes Px nach der nämlichen
Seite der Asymptotenkurve a gerichtet ist, wie anfänglich, als sie vom
Punkte P0 ausging.

Wir wollen zeigen, daß beide Fälle unmöglich sind. Was den ersten
Fall betrifft, so bezeichnen wir die Länge der Strecke PQP1 auf a mit l
und die Mitte dieser Strecke mit Q. Sodann denken wir uns durch jeden
Punkt der Asymptotenkurve a die andere Asymptotenkurve gezogen und
nach der Seite, nach welcher hin die fragliche Strecke P0P1 auf b liegt,
die Länge \l abgetragen. Aus den Punkten P0 und Px der Kurve a

erhalten wir auf diese
Weise den nämlichen
Punkt Q als Endpunkt.
Die sämtlichen erhaltenen
Endpunkte bilden mithin
eine Asymptotenkurve,
welche durch den Punkt
Q geht und zu demselben
Punkte Q mit der näm-
lichen Tangente zurück-
kehrt. Dies ist unmöglich, da es nach 1. auf unserer Fläche keine ge-
schlossene Asymptotenkurve gibt.

Damit ist gezeigt, daß der erste Fall nicht stattfinden kann. Aber
auch der zweite Fall ist unmöglich. Verliefe nämlich die Asymptoten-
kurve in der Weise, daß sie nach Überschreitung des Schnittpunktes P±
die nämliche Richtung aufweist, wie früher in P0, so könnten wir die
Fortsetzung dieses Stückes P0Pt der Asymptotenkurve b über Px hinaus
offenbar dadurch erhalten, daß wir von P0 ausgehend durch jeden Punkt
des Stückes P0Pt von b die andere Asymptotenkurve konstruieren und
auf allen diesen Asymptotenkurven nach der betreffenden Seite hin das
gleiche Stück P0P± der Asymptotenkurve a abtragen. Die erhaltenen End-
punkte bilden die Fortsetzung der Asymptotenkurve b von Px bis zu einem
Punkte P2 auf a. Aus diesem Stücke Pt P2 der Asymptotenkurve b können
wir in gleicher Weise ein neues Stück der Asymptotenkurve b konstruieren,
welches über P2 hinausgeht und bis zu einem Punkte P3 auf a reicht u. s. f.
Auch ist klar, wie wir die Asymptotenkurve b nach der anderen Richtung
hin über P0 hinaus durch die entsprechende Konstruktion fortsetzen können
und so der Reihe nach zu den Kurvenstücken P0P_1} P_XP_2> . . . ge-
langen. Die Asymptotenkurve b schneidet also die Asymptotenkurve a in
den unendlich vielen gleichweit voneinander entfernten Punkten:

Anhang V: Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung. 169

P P P V V V V

Die Winkel, die die Asymptotenkurve b mit a in bestimmtem Sinne in
jenen Schnittpunkten bildet, bezeichnen wir bez. mit

• • • a-3> a-2> a-D aof ai> a%i azt • • •
Wir betrachten nun das Asymptotenkurven viereck P0 Pt Pa Pt P0,
welches von den Stücken PQPX auf a, PtP2 auf b, P2PX auf a, P^q
auf b gebildet wird. Die vier Winkel dieses Vierecks sind

und da nach dem angeführten Satze über das Asymptotenkurvenviereck
der Inhalt desselben gleich dem Überschuß der Summe seiner Winkel
über 2 n ist und dieser Überschuß daher positiv sein muß, so folgt

a0 + % — ax + a2 + n — at > 2n,
d. h.

(4) a0 — ax > at — a2 .
Ebenso folgt allgemein

(5) <h-ük+i><H+i-<h+i> (*— 0, ±1, ±2,...).

Wegen der obigen Ungleichung (4) können jedenfalls ct0 — at und ax — a2
nicht zugleich 0 sein; wir dürfen die Annahme

a0 - «j 4= 0
treffen. Aus (5) folgen die Ungleichungen:

Op-1,2,3,...).

(6) a-p - a-p+i > % ~ ai
und a0 — ax > ap — ap+l
oder

(7) ap+1 — % >a1-a0

Bilden wir die Ungleichungen (6) und (7) für p = 1, 2, 3 ... , n, so folgt
durch Addition derselben leicht

170 Anhang V: Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung.

Fällt nun a0 — ax > 0 aus, so ist für genügend große Werte von n jeden-
falls die erstere dieser beiden Gleichungen unmöglich, da die Winkel ak
sämtlich kleiner als jz sind; fällt dagegen a1 — a0 > 0 aus; so folgt aus
demselben Grunde für genügend große Werte von n die Unmöglichkeit
der letzteren Gleichung.

Die Asymptotenkurve b darf daher auf keine der beiden angenommenen
Arten verlaufen und mithin ist der Beweis für 2. vollständig erbracht.

3. Eine Asymptotenkurve unserer Fläche durchsetzt sich selbst an keiner
Stelle, d. h. sie besitzt keinen Doppelpunkt.

Zum Beweise nehmen wir im Gegenteil an, es existiere eine Asymp-
totenkurve mit einem Doppelpunkt; dann verlegen wir den Anfangspunkt
der krummlinigen Koordinaten u, v in diesen Doppelpunkt und wählen
die beiden Zweige der Kurvenschleife zu Koordinatenlinien, nach der
Schleife hin den positiven Sinn gerechnet.

Wir ziehen jetzt vom Punkte (— s, 0) beginnend auf der u- Koordinaten-
linie durch jeden Punkt derselben die andere Asymptotenkurve und tragen
auf dieser nach der positiven Seite hin eine Strecke s ab: wählen wir diese

Strecke s genügend klein, so
werden die sämtlichen erhalte-
nen Endpunkte nach einem oben
j / yS X \ angeführten Satze über das

e c / / / i I Asymptotenkurvenviereck wie-

derum eine Asymptotenkurve

—8,0 «s,,^ *5Z _ T*"""4 — " "^ J bilden. Diese Asymptotenkurve

W^V ^s geht vom Punkte (— s, s) aus,

läuft durch den Punkt (s, s)
und endigt im Punkte (s, 0)
bez. (— s, 0), durchsetzt sich daher selbst in (s, s) bez. (— s, s). Wir sehen
also, daß die soeben konstruierte Asymptotenkurve die ursprüngliche
Asymptotenkurve in zwei verschiedenen Punkten (0,s) und (s,0) bez. (0,s)
und (— s, 0) schneidet; dies ist nach 2. unmöglich.

4. Wenn wir durch jeden Punkt einer Asymptotenkurve a die andere
Asymptotenkurve ziehen und auf dieser nach der nämlichen Seite hin eine
bestimmte Strecke s abtragen, so bilden die erhaltenen Endpunkte eine neue

Asymptotenkurve b, die die ursprüng-
liche Asymptotenkurve a an keiner
Stelle schneidet.

Denn wäre P ein Schnittpunkt
-2/\^ "* J der Asymptotenkurve b mit der

ursprünglichen a, und tragen wir
der im Satze angegebenen Kon-

Anhang V: Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung. 171

struktion zufolge von P aus auf der Asymptotenkurve b die Strecke s
nach der betreffenden Seite von a hin ab, so bekommen wir einen durch
den entstehenden Endpunkt Q hindurchgehenden Asymptotenkurvenzweig,
der ebenfalls zur Asymptotenkurve b gehören müßte und andererseits den
anfangs betrachteten Zug der Kurve b in Q schneidet; mithin wäre Q ein
Doppelpunkt der Asymptotenkurve &; das Auftreten eines Doppelpunktes
ist aber nach 3. unmöglich.

Aus den Sätzen 1. bis 4. können wir sofort diese Schlußfolgerungen ziehen:

Die sämtlichen Asymptotenkurven unserer Fläche zerfallen in zivei
Scharen. Irgend zwei derselben Schar angehörende Asymptotenkurven
schneiden sich nicht; dagegen schneiden sich je zwei Asymptotenkurven, die
verschiedenen Scharen angehören, stets in einem und nur einem Punkte
der Fläche.

Die Koordinatenlinien u = 0, v = 0 sind zwei Asymptotenkurven, die
verschiedenen Scharen angehören. Wegen der Bedeutung der Koordi-
naten u, v als Längen gewisser Koordinatenabschnitte entnehmen wir aus
den eben ausgesprochenen Tatsachen zugleich, daß zu bestimmt ge-
gebenen Werten von u, v stets nur ein Punkt unserer Fläche gehört
d. h. die zu untersuchende Abbildung (1) unserer Fläche auf die uv-Ebene
ist notwendig eine umkehrbar eindeutige. Insbesondere folgt hieraus, daß
unsere Fläche einen einfachen Zusammenhang besitzt und keine Doppel-
fläche ist.

Nachdem wir zu dieser wichtigen Einsicht gelangt sind, berechnen
wir den gesamten Inhalt unserer Fläche auf zwei Wegen; wir werden
dadurch zu einem Widerspruch gelangen.

Der erstere Weg ist der folgende. Wir betrachten auf unserer Fläche
dasjenige aus Asymptotenkurven gebildete Viereck, dessen Ecken durch
die Koordinaten

U, V] — U, V] — U, — V] u, — v

bestimmt sind. Da jeder Winkel dieses Vierecks < n sein muß, so ist
die Summe der Winkel des Vierecks jedenfalls < 4n und der Inhalt des
Vierecks d. h. der Überschuß der Summe seiner Winkel über 2n ist
mithin notwendig <C2ti. Lassen wir nun die Werte von u, v unbegrenzt
wachsen, so kommt jeder bestimmte Punkt der Fläche sicher einmal im
Inneren eines Viereckes zu liegen und bleibt dann im Inneren aller
weiteren Vierecke, so daß das unbegrenzt wachsende Viereck schließlich
die ganze Oberfläche umfaßt. Wir entnehmen daraus, daß der Gesamt-
inhalt unserer Fläche <I 2 % sein muß.

Andrerseits betrachten wir die geodätischen Linien auf unserer Fläche.
Wegen der negativen Krümmung unserer Fläche ist jede geodätische

172 Anhang V: Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung.

Linie zwischen irgend zweien ihrer Punkte gewiß kürzeste Linie, d. h.
von kleinerer Länge als jede andere Linie, die auf der Fläche zwischen
den nämlichen zwei Punkten verläuft und sich durch stetige Änderung
in die geodätische Linie überführen läßt. Wir fassen nun irgend zwei
vom Punkt 0 ausgehende geodätische Linien auf unserer Fläche ins Auge
und nehmen an, dieselben schnitten sich noch in einem anderen Punkt P
der Fläche. Da nach dem oben Bewiesenen unsere Fläche einen ein-
fachen Zusammenhang besitzt, so läßt sich jede dieser beiden geodätischen
Linien OB in die andere durch stetige Veränderung überführen; es müßte
also nach dem eben Ausgeführten jede derselben kürzer sein als die andere,
was nicht möglich ist. Unsere Annahme der Existenz eines Schnitt-
punktes P ist also zu verwerfen. Durch die nämlichen Schlüsse erkennen
wir auch, daß eine geodätische Linie unserer Fläche weder sich durch-
setzen noch in sich selbst zurücklaufen darf.

Denken wir uns nun auf allen von 0 ausgehenden geodätischen
Linien die gleiche Länge r abgetragen, so bilden die erhaltenen Endpunkte
eine geschlossene doppelpunktslose Kurve auf unserer Fläche. Das von
dieser Kurve umspannte Gebiet besitzt nach den bekannten Formeln der
Lobatschefskyschen Geometrie den Flächeninhalt

% \e2 — e V

Da dieser Ausdruck für unendlich wachsende Werte von r selbst über
alle Grenzen wächst, so entnehmen wir hieraus, daß auch der Gesamt-
inhalt unserer Fläche unendlich groß sein müßte. Diese Folgerung steht
im Widerspruch mit der vorhin bewiesenen Tatsache, wonach jener Inhalt
stets <[ 2x ausfallen sollte. Wir sind daher gezwungen, unsere Grund-
amiahme zu verwerfen, d. h. wir erkennen, daß es eine singularitätenfreie
und überall regulär analytische Fläche von konstanter negativer Krümmung
nicht gibt. Insbesondere ist daher auch die zu Anfang aufgeworfene Frage
2U verneinen, ob auf die Bei tramische Weise die ganze hob atschefsky sehe
Ebene durch eine regulär analytische1) Fläche im Baume sich verwirk-
lichen läßt.

Über Flächen von positiver konstanter Krümmung1*).

Wir gingen zu Anfang dieser Untersuchung aus von der Frage nach
einer Fläche negativer konstanten Krümmung, die überall im End-
lichen regulär analytisch verläuft, und gelangten zu dem Resultate, daß

1) Vgl. die Anmerkung auf S. 163.

2) Die Frage der Verwirklichung der Nicht-Euklidischen elliptischen ebenen
Geometrie durch die Punkte einer überall stetig gekrümmten Fläche ist auf meine

Anhang V: Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung. 173

es eine solche Fläche nicht gibt. Wir wollen nunmehr mittels der ent-
sprechenden Methode die gleiche Frage für positive konstante Krüm-
mung behandeln. Offenbar ist die Kugel eine geschlossene singularitäten-
freie Fläche positiver konstanten Krümmung, und nach dem von H. Lieb-
mann1) auf meine Anregung hin geführten Beweise gibt es auch keine
andere geschlossene Fläche von derselben Eigenschaft. Diese Tatsache
nun wollen wir aus einem Satze herleiten, der von einem beliebigen
singularitätenfreien Stücke einer Fläche positiver konstanten Krümmung2)
gilt und folgendermaßen lautet:

Auf einer Fläche der positiven konstanten Krümmung -f 1 sei ein
singularitätenfreies einfach oder mehrfach zusammenhängendes Gebiet im
Endlichen abgegrenzt; denken wir uns dann in jedem Punkte dieses
Gebietes sowie in den Randpunkten desselben die beiden Hauptkrümmungs-
radien der Fläche konstruiert, so wird das Maximum der größeren und
folglich auch das Minimum der kleineren der beiden Hauptkrümmungs-
radien gewiß in keinem Punkte angenommen, der im Inneren des Ge-
bietes liegt — es sei denn unsere Fläche ein Stück der Kugel mit dem
Radius 1.

Zum Beweise bedenken wir zunächst, daß wegen unserer Voraus-
setzung das Produkt der beiden Hauptkrümmungsradien überall = 1 und
daher der größere der beiden Hauptkrümmungsradien stets jj> 1 sein muß.
Aus diesem Grunde ist das Maximum der größeren Hauptkrümmungs-
radien offenbar nur dann = 1, wenn beide Hauptkrümmungsradien in
jedem Punkte unseres Flächenstückes = 1 sind. In diesem besonderen
Falle ist jeder Punkt des Flächenstückes ein Nabelpunkt, und man schließt
dann leicht in der bekannten Weise, daß das Flächenstück ein Stück der
Kugel mit dem Radius 1 sein muß.

Nunmehr sei das Maximum der größeren der beiden Hauptkrümmungs-
radien unserer Fläche > 1; dann nehmen wir im Gegensatz zu der Be-
hauptung an, es gäbe im Inneren des Flächenstückes einen Punkt 0, in

Anregung von W. Boy untersucht worden: Über die Curvatura integra und die
Topologie geschlossener Flächen. Inauguraldissertation, Göttingen 1901 und Math.
Ann. Bd. 57 1903. W. Boy hat in dieser Arbeit eine topologisch sehr interessante
ganz im Endlichen gelegene einseitige geschlossene Fläche angegeben, die abgesehen
von einer geschlossenen Doppelkurve mit dreifachem Punkt, in welcher sich die
Mäntel der Fläche durchdringen, keine Singularität aufweist und den Zusammenhang
der Nicht-Euklidischen elliptischen Ebene besitzt.

1) Göttinger Nachrichten 1899, S. 44. Vgl. ferner die interessanten Arbeiten
desselben Yerfassars in Math. Ann. Bd. 53 und Bd. 54.

2) Den analytischen Charakter der Flächen konstanter positiver Krümmung
nachzuweisen ist G. Lütkemeyer in der S. 163 genannten Inauguraldissertation und
E. Holmgren in den Math. Ann. Bd. 57 gelungen.

174 Anhang V: Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung.

welchem jenes Maximum stattfinde. Da dieser Punkt 0 gewiß kein
Nabelpunkt sein kann und überdies ein regulärer Punkt unserer Fläche
ist, so wird die Umgebung dieses Punktes lückenlos und einfach
von jeder der beiden Scharen von Krümmungslinien der Fläche be-
deckt. Benutzen wir diese Krümniungslinien als Koordinatenlinien und
den Punkt 0 selbst als Anfangspunkt des krummlinigen Koordinaten-
systems, so gelten nach der bekannten Theorie der Flächen positiver kon-
stanter Krümmung die folgenden Tatsachen1).

Es bedeute rt den größeren der beiden Hauptkrümmungsradien für
den Punkt (ti, v) in der Umgebung des Anfangspunktes 0 = (0, 0); es ist
in dieser Umgebung rx > 1. Man setze

dann genügt die positive reelle Größe p als Funktion von u, v der
partiellen Differentialgleichung

Da bei abnehmendem t\ die Funktion p notwendig wächst, so muß p
als Funktion von uf v an der Stelle u = Q, v = 0 einen Minimalwert
aufweisen, und demnach hat die Entwicklung von p nach Potenzen der
Variabein u, v notwendig die Gestalt

p = a -f «m2 + 2ßuv + yv2 -\ ,

wo a, a, ß, y Konstante bedeuten und dabei die quadratische Form

au2 + 2ßuv -f yv%

für reelle u, v niemals negative Werte annehmen darf. Aus letzterem
Umstände folgen für die Konstanten a und y notwendig die Un-
gleichungen:

(9) «^0 und y^O.

Andererseits wollen wir die Entwicklung für p in die Differential-
gleichung (8) einsetzen: für u = 0, v = 0 erhalten wir dann

-2<z_ Ja

Da die Konstante a den Wert von p im Punkte 0 = (0, 0) darstellt und
mithin positiv ausfällt, so ist hier der Ausdruck rechter Hand jeden-
falls < 0; die letztere Gleichung führt deshalb zu der Ungleichung

a + y<0,

1) Darboux, Lecons sur la theorie generale des surfaces, Bd. 3, Nr. 776.
Bianchi, Lezioni di geometria differenziale, § 264.

Anhang V: Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung. 175

welche mit den Ungleichungen (9) in Widerspruch steht. Damit ist
unsere ursprüngliche Annahme, wonach die Stelle des Maximums im
Inneren des Flächen Stückes liege, als unzutreffend und mithin der oben
aufgestellte Satz als richtig erkannt.

Der eben bewiesene Satz lehrt offenbar folgende Tatsache. Wenn
wir aus der Kugeloberfläche ein beliebiges Stück ausgeschnitten denken
und dann dieses Stück beliebig verbiegen, so findet sich das Maximum
aller größeren vorkommenden Hauptkrümmungsradien stets auf dem
Rande des Flächenstückes. Eine geschlossene Fläche besitzt keinen
Rand und daraus folgt, wie bereits oben bemerkt, sofort der Satz, daß
eine geschlossene singularitätenfreie FläcJie mit der positiven konstanten
Krümmung 1 stets die Kugel mit dem Radius 1 sein muß. Dieses
Resultat drückt zugleich aus, daß man die Kugel als Ganzes nicht
verbiegen kann, ohne daß auf der Fläche irgendwo eine Singularität
auftritt.

Göttingen, 1900.

Zum Schlüsse spreche ich meinem Freunde Hermann Minkowski
und Dr. Max Dehn für ihre Unterstützung beim Lesen der Korrektur
und die empfangenen mannigfachen und wertvollen Ratschläge meinen
herzlichsten Dank aus.

Göttingen, August 1903.

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